VnDoc.com

Toán 11 Quy tắc tính đạo hàm

Lí thuyết và Bài tập Quy tắc tính đạo hàm

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Quy tắc tính đạo hàm

A. Lí thuyết Quy tắc tính đạo hàm
- I. Các quy tắc tính đạo hàm
- II. Phương pháp tính đạo hàm
B. Giải bài tập Toán 11
C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Lí thuyết và Bài tập Quy tắc tính đạo hàm được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Toán 11 Quy tắc tính đạo hàm

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết Quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm số $y = x^{n},\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)$

Hàm số $y = x^{n},\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left( x^{n} \right)' = n.x^{n - 1}$ .

$(x)' = 1;\left( x^{2} \right)' = 2x$

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = x^{7}$ . Xác định f'(1);f'(2) ?

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số $y = f(x) = x^{7}$ là:

$f'(x) = \left( x^{7} \right)' = 7.x^{7 - 1} = 7.x^{6}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(1) = 7.1^{6} = 7 \\ f'(2) = 7.2^{6} = 448 \end{matrix} \right.$

2. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ và $\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\begin{matrix} \left( x^{\alpha} \right)' = \alpha.x^{\alpha - 1};\left( \alpha\mathbb{\in R};x > 0 \right) \\ (C)' = 0,(C = const) \\ \left( \frac{1}{x} \right)' = - \frac{1}{x^{2}},(x \neq 0) \end{matrix}$

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm hàm lượng giác

$\left( \sin x \right)' = \cos x$	$\left( \cos x \right)' = - \sin x$
$\left( \tan x \right)' = \frac{1}{cos^{2}x}$ với $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right)$	$\left( \cot x \right)' = - \frac{1}{sin^{2}x}$ với $x \neq k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right)$

4. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Công thức đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit

$\left( e^{x} \right)' = e^{x}$	$\left( a^{x} \right)' = a^{x}\ln a$ với $0 < a \neq 1$
$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$ với $x \in (0; + \infty)$	$\left( log_{a}x \right)' = \frac{1}{x\ln a}$ với $x \in (0; + \infty),0 < a \neq 1$

5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số

Giả sử các hàm số có đạo hàm trên khoảng . Khi đó:


	$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}};\left( v = v(x) \neq 0 \right)$

Chú ý:

Với $u = C,(C = const) \Rightarrow (C.v)' = C.v'$

Với $u = 1 \Rightarrow \left( \frac{1}{v} \right)' = - \frac{v'}{v^{2}};\left( v = v(x) \neq 0 \right)$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a) $y = \left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( x^{2} + 1 \right)$	b) $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$
c) $y = \left( \sin x + 2cosx \right)\left( \sin x - 2cosx + 1 \right)$	d) $y = \frac{\tan x - 1}{\cot x + 2}$
e) $y = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$	f) $y = (3lnx + 2)\left( 2log_{3} x - 5\right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $y = \left( \sqrt{a} + 2 \right)\left( a^{2} + 1 \right)$

$\Rightarrow y' = \left( \sqrt{a} + 2 \right)'\left( a^{2} + 1 \right) + \left( \sqrt{a} + 2 \right)\left( a^{2} + 1 \right)'$

$= \frac{1}{2\sqrt{a}}\left( a^{2} + 1 \right) + \left( \sqrt{a} + 2 \right).2a$ $= \frac{a^{2} + 1}{2\sqrt{a}} + 2a\left( \sqrt{a} + 2 \right)$

b) Ta có: $y = \frac{m - 1}{m^{2} + 1}$

$\Rightarrow y' = \left( \frac{m -1}{m^{2} +1} \right)'$

$= \frac{(m - 1)'\left( m^{2} + 1 \right) - (m - 1)\left( m^{2} + 1 \right)'}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}$ $= \frac{\left( m^{2} + 1 \right) - (m - 1).2m}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}$ $= \frac{- m^{2} + 2m + 1}{\left(m^{2} +1 \right)^{2}}$

c) Ta có: $y = \left( \sin x + 2cosx \right)\left( \sin x - 2cosx + 1 \right)$

$\Rightarrow y' = \left( \sin x + 2cosx \right)'\left( \sin x - 2cosx + 1 \right) + \left( \sin x + 2cosx \right)\left( \sin x - 2cosx + 1 \right)'$

$= \left( \cos x - 2sinx \right)\left( \sin x - 2cosx + 1 \right) + \left( \sin x + 2cosx \right)\left( \cos x + 2sinx \right)$

$= \sin x.cosx - 2cos^{2}x + \cos x - 2sin^{2}x + 4sinx\cos x - 2sinx + \sin x\cos x$

$+ 2cos^{2}x + 2sin^{2}x + 4sinx\cos x$ $= 10sinx\cos x + \cos x - 2sinx$

d) Ta có: $y = \frac{\tan x - 1}{\cot x + 2}$

$\Rightarrow y' =\left( \frac{\tan x- 1}{\cot x + 2} \right)'$ $= \frac{\left( \tan x - 1\right)'\left(\cot x + 2 \right) - \left( \cot x + 2\right)'\left( \tan x - 1 \right)}{\left( \cot x + 2\right)^{2}}$

$= \frac{\left( 1 + tan^{2}x \right)\left( \cot x + 2 \right) + \left( \tan x - 1 \right)\left( 1 + cot^{2}x \right)}{\left( \cot x + 2 \right)^{2}}$ $= \frac{2cotx + 2tanx + 2tan^{2}x - cot^{2}x + 1}{\left( \cot x + 2 \right)^{2}}$

e) Ta có: $y = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$

$\Rightarrow y' = \left( \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1} \right)'$

$= \frac{\left( 2^{x} + 1 \right)'\left( 2^{x} - 1 \right) - \left( 2^{x} - 1 \right)'\left( 2^{x} + 1 \right)}{\left( 2^{x} - 1 \right)^{2}}$ $= \frac{2^{x}ln2\left( 2^{x} - 1 \right) - 2^{x}ln2\left( 2^{x} + 1 \right)}{\left( 2^{x} - 1 \right)^{2}}$

$= \frac{2^{x}ln2\left\lbrack \left( 2^{x} - 1 \right) - \left( 2^{x} + 1 \right) \right\rbrack}{\left( 2^{x} - 1 \right)^{2}}$ $= \frac{- 2^{x + 1}ln2}{\left( 2^{x} - 1 \right)^{2}}$

f) Ta có: $y = (3lnx + 2)\left( 2log_{3}x - 5 \right)$

$\Rightarrow y' = (3lnx + 2)'\left( 2log_{3}x - 5 \right) + (3lnx + 2)\left( 2log_{3}x - 5\right)'$

$= \frac{3}{x}\left( 2log_{3}x - 5\right) + \frac{2}{x \ln3}(3\ln x + 2)$ $= \frac{1}{x}\left( 6log_{3}x + \frac{6}{ln3}\ln x - 15 + \frac{4}{ln3} \right)$

5. Đạo hàm của hàm hợp

Cho hàm số có đạo hàm $u'_{x}$ tại x và hàm số có đạo hàm $y'_{u}$ tại u thì hàm số hợp $y = f\left( g(x) \right)$ có đạo hàm tại $y'_{x}$ là $y'_{x} = y'_{u}.u'_{x}$ .

Ta có bảng công thức đạo hàm các hàm hợp như sau:

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{2 + sin3x}$	b) $y = ln^{2}(3x + 2)$
c) $y = \tan\left( \cot x \right)$	d) $y = log_{3}\left( x^{2} - x \right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $y = \sqrt{2 + sin3x}$

$\Rightarrow y' = \left( \sqrt{2 + sin3x} \right)' = \frac{(2 + sin3x)'}{2\sqrt{2 + sin3x}}$ $= \frac{cos3x.(3x)'}{2\sqrt{2 + sin3x}} = \frac{3cos3x}{2\sqrt{2 + sin3x}}$

b) Ta có: $y = ln^{2}(3x + 2)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack ln^{2}(3x + 2) \right\rbrack' = 2ln(3x + 2)\left\lbrack \ln(3x + 2) \right\rbrack'$

$= 2ln(3x + 2).\frac{(3x + 2)'}{3x + 2} = \frac{6}{3x + 2}.ln(3x + 2)$

c) Ta có: $y = \tan\left( \cot x \right)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack \tan\left( \cot x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( \cot x \right)'}{cos^{2}\left( \cot x \right)} = - \frac{1}{sin^{2}xcos^{2}\left( \cot x \right)}$

d) Ta có: $y = log_{3}\left( x^{2} - x \right)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack log_{3}\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( x^{2} - x \right)'}{\left( x^{2} - x \right)ln3}$ $= \frac{2x - 1}{x(x - 1)ln3}$

7. Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a,b)$ . Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số tại x, kí hiệu là y'' hoặc f''(x) .

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'$ $= \frac{1}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1 + tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

$= \frac{1}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1 + tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

$y'' = \left\lbrack 1 + tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'$ $= 2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'$ $= \frac{2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}$

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số có gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:

a(t) = f''(t)

II. Phương pháp tính đạo hàm

1. Sử dụng định nghĩa đạo hàm

2. Sử dụng bảng công thức tính đạo hàm

B. Giải bài tập SGK Toán 11 kết nối tri thức

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập Toán 11

C. Giải sách bài tập Toán 11 KNTT

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải SBT Toán 11

-------------------------------------------------

Trên đây là Lí thuyết và bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

- Một số tài liệu liên quan:

Tải về

Chọn file muốn tải về: