Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số lượng giác lớp 11

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số lượng giác lớp 11

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết với nội dung bám sát chương trình trọng tâm Toán 11 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, tích lũy kiến thức làm bài tập nâng cao về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

I. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $y=4\sin x\cos x+1$ $y=4\sin x\cos x+1$

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$y=4\sin x\cos x+1=2\sin 2x+1$}

Do _{$-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin 2x\le 2\Rightarrow -2+1\le 2\sin 2x+1\le 2+1$}

_{$\Rightarrow -1\le 2\sin 2x+1\le 3$} hay _{$-1\le y\le 3$}

_$y=3$ khi và chỉ khi _{$\sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}
_$y=-1$ khi và chỉ khi _{$\sin 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: _{$y=4-3{{\sin }^{2}}x$}

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 0\ge -3{{\sin }^{2}}x\ge -3\Rightarrow 4-0\ge y\ge 4-3\Rightarrow 4\ge y\ge 1$}

_$y=4$ khi và chỉ khi _{${{\sin }^{2}}x=1\Rightarrow {{\cos }^{2}}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}
_$y=1$ khi và chỉ khi _{${{\sin }^{2}}x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=6{{\cos }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}2x$ $y=6{{\cos }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}2x$

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$y=6{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x=6{{\cos }^{2}}x+{{(2{{\cos }^{2}}x-1)}^{2}}=4{{\cos }^{4}}x+2{{\cos }^{2}}x+1$}

Đặt _{$t={{\cos }^{2}}x, t\in \left[ 0,1 \right]$}ta có hàm số _{$y=4{{t}^{2}}+2t+1$}

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi _{$\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi _{$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

$a. y=3\sin x+4\cos x+5$ $a. y=3\sin x+4\cos x+5$

$b. y=\sqrt{2\sin x+3}$ $b. y=\sqrt{2\sin x+3}$

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình _{$y=3\sin x+4\cos x+5\Leftrightarrow 3\sin x+4\cos x+5-y=0$}

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}\ge {{(5-y)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y\le 0\Leftrightarrow 0\le y\le 10$ $\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}\ge {{(5-y)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y\le 0\Leftrightarrow 0\le y\le 10$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0

b. Ta có: _{$-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2\Rightarrow -2+3\le 2\sin x+3\le 2+3$}

$\Rightarrow 1\le 2\sin x+3\le 5$ $\Rightarrow 1\le 2\sin x+3\le 5$

$\Rightarrow 1\le y\le 5$ $\Rightarrow 1\le y\le 5$

$y=5$ khi và chỉ khi _{$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}
$y=1$ khi và chỉ khi _{$\sin x=0\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

Ví dụ 5: Tìm tất cả các gía trị của m để hàm số sau chỉ nhận giá tri dương:

$y={{(3\sin x-4\cos x)}^{2}}-6\sin x+8\cos x+2m-1$ $y={{(3\sin x-4\cos x)}^{2}}-6\sin x+8\cos x+2m-1$

Hướng dẫn giải

Đặt _{$t=3\sin x-4\cos x\Rightarrow t\in [-5;5]$}

Khi đó: _{$y={{t}^{2}}-2t+2m-1={{(t-1)}^{2}}+2m-2$}

Do _{$t\in [-5;5]\Rightarrow 0\le {{(t-1)}^{2}}\le 36\Rightarrow y\ge 2m-2\Rightarrow \min y=2m-2$}

$\Leftrightarrow y>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \min y>0\Leftrightarrow 2m-2>0\Leftrightarrow m>1$ $\Leftrightarrow y>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \min y>0\Leftrightarrow 2m-2>0\Leftrightarrow m>1$

Vậy _$m>1$ thì hàm số chỉ nhận giá trị dương

Ví dụ 6: Cho _{$x,y\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$} thỏa mãn _{$\cos 2x+\cos 2y+2\sin (x+y)=2$}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức _{$P=\frac{{{\sin }^{4}}x}{y}+\frac{{{\cos }^{4}}y}{x}$}

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$\cos 2x+\cos 2y+2\sin (x+y)=2$}

$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\sin (x+y)$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\sin (x+y)$

Suy ra _{$x+y=\frac{\pi }{2}.$}

Áp dụng bđt: _{$\frac{{{a}^{2}}}{m}+\frac{{{b}^{2}}}{n}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{m+n}\Rightarrow P\ge \frac{{{({{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y)}^{2}}}{x+y}=\frac{2}{\pi }$}

Đẳng thức xảy ra khi _{$x=y=\frac{\pi }{4}$}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là _{$\frac{2}{\pi }$}

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của các hàm số sau:

$1. y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$ $1. y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

$2. y=\frac{4}{1+2{{\sin }^{2}}x}$ $2. y=\frac{4}{1+2{{\sin }^{2}}x}$

$3. y=2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x$ $3. y=2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x$

$4. y=3\sin x+4\cos x+1$ $4. y=3\sin x+4\cos x+1$

$5. y=\sin x+\sqrt{2-{{\sin }^{2}}x}$ $5. y=\sin x+\sqrt{2-{{\sin }^{2}}x}$

$6. y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x$ $6. y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x$

$7. y=2{{\sin }^{2}}x+2\sin x-1$ $7. y=2{{\sin }^{2}}x+2\sin x-1$

Bài 2: Xác định m để hàm số xác định với mọi x