Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số lượng giác lớp 11
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết với nội dung bám sát chương trình trọng tâm Toán 11 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, tích lũy kiến thức làm bài tập nâng cao về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
I. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
\(y=4\sin x\cos x+1\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y=4\sin x\cos x+1=2\sin 2x+1\)
Do \(-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin 2x\le 2\Rightarrow -2+1\le 2\sin 2x+1\le 2+1\)
\(\Rightarrow -1\le 2\sin 2x+1\le 3\) hay \(-1\le y\le 3\)
- \(y=3\) khi và chỉ khi \(\sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=-1\) khi và chỉ khi \(\sin 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=4-3{{\sin }^{2}}x\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 0\ge -3{{\sin }^{2}}x\ge -3\Rightarrow 4-0\ge y\ge 4-3\Rightarrow 4\ge y\ge 1\)
- \(y=4\) khi và chỉ khi \({{\sin }^{2}}x=1\Rightarrow {{\cos }^{2}}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=1\) khi và chỉ khi \({{\sin }^{2}}x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=6{{\cos }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}2x\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y=6{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x=6{{\cos }^{2}}x+{{(2{{\cos }^{2}}x-1)}^{2}}=4{{\cos }^{4}}x+2{{\cos }^{2}}x+1\)
Đặt \(t={{\cos }^{2}}x, t\in \left[ 0,1 \right]\)ta có hàm số \(y=4{{t}^{2}}+2t+1\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi \(\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi \(\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
\(a. y=3\sin x+4\cos x+5\)
\(b. y=\sqrt{2\sin x+3}\)
Hướng dẫn giải
a. Xét phương trình \(y=3\sin x+4\cos x+5\Leftrightarrow 3\sin x+4\cos x+5-y=0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm
\(\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}\ge {{(5-y)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y\le 0\Leftrightarrow 0\le y\le 10\)
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0
b. Ta có: \(-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2\Rightarrow -2+3\le 2\sin x+3\le 2+3\)
\(\Rightarrow 1\le 2\sin x+3\le 5\)
\(\Rightarrow 1\le y\le 5\)
- \(y=5\) khi và chỉ khi \(\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=1\) khi và chỉ khi \(\sin x=0\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1
Ví dụ 5: Tìm tất cả các gía trị của m để hàm số sau chỉ nhận giá tri dương:
\(y={{(3\sin x-4\cos x)}^{2}}-6\sin x+8\cos x+2m-1\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(t=3\sin x-4\cos x\Rightarrow t\in [-5;5]\)
Khi đó: \(y={{t}^{2}}-2t+2m-1={{(t-1)}^{2}}+2m-2\)
Do \(t\in [-5;5]\Rightarrow 0\le {{(t-1)}^{2}}\le 36\Rightarrow y\ge 2m-2\Rightarrow \min y=2m-2\)
\(\Leftrightarrow y>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \min y>0\Leftrightarrow 2m-2>0\Leftrightarrow m>1\)
Vậy \(m>1\) thì hàm số chỉ nhận giá trị dương
Ví dụ 6: Cho \(x,y\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) thỏa mãn \(\cos 2x+\cos 2y+2\sin (x+y)=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{{{\sin }^{4}}x}{y}+\frac{{{\cos }^{4}}y}{x}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\cos 2x+\cos 2y+2\sin (x+y)=2\)
\(\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\sin (x+y)\)
Suy ra \(x+y=\frac{\pi }{2}.\)
Áp dụng bđt: \(\frac{{{a}^{2}}}{m}+\frac{{{b}^{2}}}{n}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{m+n}\Rightarrow P\ge \frac{{{({{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y)}^{2}}}{x+y}=\frac{2}{\pi }\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{\pi }{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{2}{\pi }\).
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = 1 - 2|cos3x|.\)
Gợi ý:
Áp dụng lý thuyết về tập giá trị của hàm số lượng giác; cụ thể là cos(x) và kết hợp với trị tuyệt đối.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(- 1 \leq cos3x \leq
1\overset{}{\rightarrow}0 \leq |cos3x| \leq 1\overset{}{\rightarrow}0
\geq - 2|cos3x| \geq - 2\)
\(\overset{}{\rightarrow}1 \geq 1 -
2|cos3x| \geq - 1\overset{}{\rightarrow}1 \geq y \geq -
1\overset{}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix}
M = 1 \\
m = - 1 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 4sin^{2}x +
\sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right).\)
Gợi ý:
Biến đổi hàm số \(y = 4sin^{2}x +
\sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right).\)
Áp dụng lý thuyết về tập giá trị của hàm số lượng giác; cụ thể là sin(x).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = 4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left(
2x + \frac{\pi}{4} \right) = 4\left( \frac{1 - cos2x}{2} \right) + sin2x
+ cos2x\)
\(= sin2x - cos2x + 2 = \sqrt{2}\sin\left(
2x - \frac{\pi}{4} \right) + 2.\)
Mà \(- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{4}
\right) \leq 1\overset{}{\rightarrow} - \sqrt{2} + 2 \leq
\sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + 2 \leq \sqrt{2} +
2\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(2 +
\sqrt{2}.\)
Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = 2sin^{2}x +
\sqrt{3}sin2x\).
Gợi ý:
Biến đổi hàm số \(y = 2sin^{2}x +
\sqrt{3}sin2x\)
Áp dụng lý thuyết về tập giá trị của hàm số lượng giác; cụ thể là sin(x).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 1 -
cos2x + \sqrt{3}sin2x\)
\(\begin{matrix}
= \sqrt{3}sin2x - cos2x + 1 = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x -
\frac{1}{2}cos2x \right) + 1 \\
= 2\left( sin2x\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}cos2x \right) + 1 =
2sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) + 1. \\
\end{matrix}\)
Mà \(- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6}
\right) \leq 1\overset{}{\rightarrow} - 1 \leq 1 + 2sin\left( 2x -
\frac{\pi}{6} \right) \leq 3\overset{}{\rightarrow} - 1 \leq y \leq
3.\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-
1.\)
Ví dụ 10. Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = sin^{2}x - 4sinx + 5\). Tính \(P = M - 2m^{2}.\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = sin^{2}x - 4sinx + 5 = \left(
\sin x - 2 \right)^{2} + 1.\)
Do \(- 1 \leq \sin x \leq
1\overset{}{\rightarrow} - 3 \leq \sin x - 2 \leq -
1\overset{}{\rightarrow}1 \leq \left( \sin x - 2 \right)^{2} \leq
9\)
\(\overset{}{\rightarrow}2 \leq \left( \sin
x - 2 \right)^{2} + 1 \leq 10\overset{}{\rightarrow}\left\{
\begin{matrix}
M = 10 \\
m = 2 \\
\end{matrix} \right.\ P = M - 2m^{2} = 2.\)
Ví dụ 11. Hàm số \(y = cos^{2}x + 2sinx +
2\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x_{0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(x_{0} = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \
k\mathbb{\in Z}.\) B. \(x_{0} = -
\frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \ k\mathbb{\in Z}.\)
C. \(x_{0} = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\in
Z}.\) D. \(x_{0} = k2\pi,\ \
k\mathbb{\in Z}.\)
Gợi ý:
Biến đổi biểu thức \(y = cos^{2}x + 2sinx +
2\)
Áp dụng lý thuyết về tập giá trị của hàm số lượng giác; cụ thể là của sin (x).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(y = cos^{2}x + 2sinx + 2 = 1 -
sin^{2}x + 2sinx + 2\)
\(= - sin^{2}x + 2sinx + 3 = - \left( \sin
x - 1 \right)^{2} + 4.\)
Mà \(- 1 \leq \sin x \leq
1\overset{}{\rightarrow} - 2 \leq \sin x - 1 \leq
0\overset{}{\rightarrow}0 \leq \left( \sin x - 1 \right)^{2} \leq
4\)
\(\overset{}{\rightarrow}0 \geq - \left(
\sin x - 1 \right)^{2} \geq - 4\overset{}{\rightarrow}4 \geq - \left(
\sin x - 1 \right)^{2} + 4 \geq 0\).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(0\).
Dấu \('' = ''\) xảy ra \(\Leftrightarrow \sin x = - 1
\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \left( k \in \mathbb{Z}
\right).\)
Ví dụ 12. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm 2022 được cho bởi một hàm số \(y = 4sin\left\lbrack
\frac{\pi}{178}(t - 60) \right\rbrack + 10\) với \(t\mathbb{\in Z}\) và \(0 < t \leq 365\). Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Gợi ý:
Áp dụng lý thuyết về tập giá trị của hàm số lượng giác; cụ thể là của sin (x).
Lập luận được rằng: Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất chính là GTLN.
Hướng dẫn giải:
Vì \(\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t -
60) \right\rbrack \leq 1\overset{}{\rightarrow}y = 4sin\left\lbrack
\frac{\pi}{178}(t - 60) \right\rbrack + 10 \leq 14.\)
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất \(\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow
\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60) \right\rbrack = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{178}(t - 60)
= \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.\)
Do \(0 < t \leq
365\overset{}{\rightarrow}0 < 149 + 356k \leq 365 \Leftrightarrow -
\frac{149}{356} < k \leq \frac{54}{89}\overset{k\mathbb{\in
Z}}{\rightarrow}k = 0\).
Với \(k = 0\overset{}{\rightarrow}t =
149\) rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \(0 < t \leq 365\) thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
II. Bài tập tự luyện tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của các hàm số sau:
\(1. y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}\)
\(2. y=\frac{4}{1+2{{\sin }^{2}}x}\)
\(3. y=2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x\)
\(4. y=3\sin x+4\cos x+1\)
\(5. y=\sin x+\sqrt{2-{{\sin }^{2}}x}\)
\(6. y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x\)
\(7. y=2{{\sin }^{2}}x+2\sin x-1\)
Bài 2: Xác định m để hàm số xác định với mọi x
\(y=\sqrt{5\sin 4x-6\cos 4x+2m-1}\)
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc R
\(\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{{\cos }^{2}}x+}\le m+1\)
Trên đây là Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...
Một số tài liệu liên quan:
