Bài tập Đạo hàm

Đạo hàm là một trong những khái niệm cốt lõi trong Giải tích và có vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học THPT cũng như trong các kỳ thi tốt nghiệp, đại học. Trong đó, việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số dựa trên kiến thức đạo hàm là một dạng bài tập phổ biến và thường xuyên xuất hiện. Ở bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng bài tập đạo hàm, đặc biệt là cách giải và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến một cách dễ hiểu, có ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết để bạn có thể nắm vững kiến thức và áp dụng linh hoạt vào bài thi.

A. Đạo Hàm

1. Đạo hàm là gì?

Kí hiệu: \(f'\left( x_{0} \right)\) hoặc \(y'\left( x_{0} \right)\).

Nhận xét:

• \(\Delta x = x - x_{0}\) gọi là số gia của biến số tại điểm \(x_{0}\).
• \(\Delta y = f\left( x_{0} + \Delta x \right) - f\left( x_{0} \right)\) gọi là số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \(x_{0}\).

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1}\) tại \(x_{0} = - 2\) .

Hướng dẫn giải

Tại \(x_{0} = - 2\) ta có:

\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = f(x) - f( - 2)\)

\(= \frac{1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{4 - 2 + 1}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{3 - x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{3}.\frac{- x^{2} - x + 2}{x^{2} + x + 1}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}\)

\(\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{f(x) - f( - 2)}{x + 2}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}.\frac{1}{x + 2}\)

\(= - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\)

\(\Rightarrow f'( - 2) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)

\(= \lim_{x \rightarrow - 2}\left\lbrack - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} \right\rbrack\)

\(= - \frac{1}{3}.\frac{- 2 - 1}{( - 2)^{2} - 2 + 1} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(f'( - 2) = \frac{1}{3}\) .

 

3. Quy Tắc Đạo Hàm

Giả sử các hàm số \(f = f(x),g = g(x)\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Khi đó:

\((f + g)' = f' + g'\)	\((f - g)' = f' - g'\)
\((f.g)' = f'.g + f.g'\)	\(\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - f.g'}{g^{2}};\left( g = g(x) \neq 0 \right)\)

Chú ý: Cho hàm số \(f = f(x)\) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định:

• Với \(C\) là hằng số thì \((C.f)' = C.f'\)
• Với \(\left( \frac{1}{f} \right)' = - \frac{f'}{f^{2}};\left( f = f(x) \neq 0 \right)\)
• Nếu y = f(x), u = u(x) ⇒ y'_x = y'_u.u'_x

Ví dụ. Tìm \(m\) để các hàm số \(y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1\) có \(y' \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}\)

A. \(m \geq 3\).                   B. \(m \geq 1\).                   C. \(m \geq 4\).                     D. \(m \geq 4\sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: \(y' = 3\left\lbrack (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \right\rbrack\)

Do đó \(y' \geq 0\)

\(\Leftrightarrow (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \geq 0\)

\(\bullet\) \(m = 1\) thì bất phương trình \(\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1\) nên \(m = 1\)

\(\bullet\) \(m \neq 1\) thì đúng với \(\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4\)

Vậy \(m \geq 4\) là những giá trị cần tìm.

Ví dụ. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - 3x} \right)\). Tập nghiệm S của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là:

A. S =\(\varnothing\)                                         B. \(S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}\)

C. S = {0;3}                                    D. S = {1}

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: \(x^{2} - 3x > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 3 \end{matrix} \right.\).

Ta có \(f^{'(x)} = \frac{2x - 3}{x^{2} - 3x} = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)

Kết hợp với điều kiện, ta loại \(x = \frac{3}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là \(S = \varnothing\)

Ví dụ. Cho \(f(x) = \frac{1}{2}.5^{2x +1};g(x) = 5^{x} + 4x.\ln5.\) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\) là:

A. \(x > 1.\)                B. \(x > 0.\)                C. \(0 < x < 1.\)                         D. \(x < 0.\)

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có \(f'(x) = 5^{2x + 1}ln5,g'(x)= \left( 5^{x} + 4 \right)\ln5.\)

Suy ra \(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 5^{2x + 1} > 5^{x} + 4\)

\(\Leftrightarrow 5\left( 5^{x} \right)^{2} - 5^{x} - 4 > 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5^{x} > 1 \\ 5^{x} < - \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 5^{x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\).

4. Công thức Đạo hàm

• (C)' = 0 ; (x)' = 1
• (xⁿ)' = n.x^{n - 1} ⇒ (uⁿ)' = n.u_{n - 1.}u'; (n ∈ \(\mathbb{N}\), n ≥ 2)
• \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }},\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }};\left( {u > 0} \right)\)
• \(\left( e^{x} \right)' = e^{x}\)
• \(\left( a^{x} \right)' = a^{x}\ln a\) với \(0 < a \neq 1\)
• \(\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}\) với \(x \in (0; + \infty)\)
• \(\left( \log_{a}x \right)' =\frac{1}{x\ln a}\) với \(x \in (0; + \infty),0 < a \neq 1\)
• (sin x)' = cos x ⇒ (sin u)' = u' . cos u
• (cos x)' = -sin x ⇒ (cos u)' = -u' . sin u
• (tan x)' = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) ⇒ (tan u)' = \(\frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\)
• (cot x)' = \(- \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) ⇒ (cot x)' = \(- \frac{u'}{{{{\sin }^2}u}}\)

Tham khảo bài: Bảng đạo hàm cơ bản

5. Công thức tính gần đúng đạo hàm

f(x_o + Δx) ≈ f(x_o) + f'(x_o).Δx

6. Phương trình tiếp tuyến

Ví dụ: Cho hàm số \(y = x^{2} + 2x - 4\) có đồ thị \((C)\)

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 1\) thuộc \((C)\) .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 0\) thuộc \((C)\) .

Hướng dẫn giải

Tại \(x_{0}\mathbb{\in R}\) ta có:

\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{2} + 2x - 4 - {x_{0}}^{2} - 2x_{0} + 4\)

\(= \left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)\)

\(\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)}{x - x_{0}}\)

\(= x + x_{0} + 2\)

\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x + x_{0} + 2 \right) = 2x_{0} + 2\)

\(\Rightarrow y' = 2x + 2\)

a) Hệ số góc tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 1\) là:

\(k = y'(1) = 4\)

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 0\) thuộc \((C)\) là:

\(y = y'(0)(x - 0) + y(0)\)

\(\Leftrightarrow y = 2x - 4\).

Ví dụ. Cho hàm số \(y = x^{3} - mx^{2} - mx + 2m - 3\) có đồ thị là \((C)\) , với \(m\) là tham số thực. Gọi \(T\) là tập tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để mọi đường thẳng tiếp xúc với \((C)\) đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của \(T\) .

A. \(3\) . B. \(6\) . C. \(- 6\) . D. \(- 3\) .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: \(y' = 3x^{2} - 2mx - m\) .

Gọi \(M\left( x_{0};\ y_{0} \right) \in (C)\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là:

\(k = y^{'\left( x_{0} \right)} = 3x_{0}^{2} - 2mx_{0} - m\)

\(= 3\left( x_{0} - \frac{m}{3} \right)^{2} - \left( \frac{m^{2}}{3} + m \right) \geq - \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right)\) .

Để mọi đường thẳng tiếp xúc với \((C)\) đều có hệ số góc dương thì:

\(- \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 0\) .

\(\Rightarrow\) Tập các giá trị nguyên của \(m\) là: \(T = \left\{ - 2;\ - 1 \right\}\) .

Vậy tổng các phần tử của \(T\) là: \(- 3\) .

2. Bài tập Đạo hàm lớp 11

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{2}{x^5} + \frac{2}{3}{x^4} - {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 4x - 5\)

b) \(y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\)

c) \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x\)

d) \(y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x\)

e) \(y = \frac{x}{a} + \frac{b}{{{x^2}}} + c\sqrt x + \frac{{{a^2}}}{2} - \sqrt[3]{b}\) (với a; b; c là hằng số).

Đáp số:

a. \(y' = \frac{5}{2}{x^4} + \frac{8}{3}{x^3} - 3{x^2} - 3x + 4\)

b. \(y' = - \frac{1}{3} + 2x - 2{x^3}\)

c. y' = x³ - x² + x - 1

Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x - 3)(x⁵ - 2x)                                 b) y = x(2x - 1)(3x + 2)

c) \(y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)\)             d) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)                      e) \(y = \frac{3}{{2x - 5}}\)

f) \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\)                      g) \(y = \frac{{2{x^2} - 4x + 5}}{{2x + 1}}\)                h) \(y = x + 1 - \frac{2}{{x + 1}}\)

i) \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\)                      k) \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

Đáp số:

a. y' = 12x5 - 8x -15x4 + 6	b. y' = 18x2 + 2x - 2
c. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{2x\sqrt x }}\)	d. y' = -1/(x- 1)2
e. y' = -6/(2x - 5)2	f. y' = (x2 - 2x -1)/(x - 1)2
g. y'=(8x3 - 8x2 + 4x - 10)/(2x + 1)2	h. y' = 1 + 2/(x + 1)2
i. y' = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 + x + 1)2	k. y' = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 - x + 1)2

Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 6x + 1} \right)^2}\)                      b) \(y = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\)

c) \(y = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\)             d) \(y = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\)

e) \(y = \sqrt {1 + 2x - {x^2}}\)                                     f) \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {1 - {x^2}}\)

Bài 4: Cho hàm số \(y = - \frac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\). Xác định giá trị của tham số m để:

a. y' ≤ 0, ∀ x∈ \(\mathbb{R}\).

b. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

c. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² = 3.

Bài 5: Cho hàm số (C): y = mx⁴ + (m² - 9)x² + 10 (1) (m là tham số). Xác định giá trị của m để hàm số có y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 6: Cho hàm số (C): y = x² - 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a. Tại điểm có hoành độ x₀ = 2.

b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x - y = 9.

c. Vuông góc với đường thẳng 2x + 4y - 2011 = 0.

d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0).

Bài 7: Cho hàm số: \(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\) (1).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1;-1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 4x - y + 1 = 0.

e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d'): 4x + y - 8 = 0.

Bài 8: Cho hàm số y = x³ - 3x² (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1;-2).

b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.

Bài 9: Cho hàm số: \(y = \frac{{3x + 1}}{{x + 1}}\) (1). Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm sô (1) tại điểm M(-2; 5).

Bài 10: Cho hàm số (C): \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\). Tìm điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 2.

Bài 11:

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x⁴ - 2x² + 5 tại điểm A(2;13).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2.

d. Cho hàm số y = 3x³ + x² - 2 có đồ thị C. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y" = 0 là bao nhiêu?

e. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x³ - 3x + 1 tại điểm có hoành độ = 1 có hệ số góc là k bằng bao nhiêu? Tìm điểm cực tiểu của hàm số: y = -x² + 2x - 1?

---------------------------------------------------------

Thông qua những ví dụ và hướng dẫn cụ thể trong bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Đây là một trong những ứng dụng thực tế và quan trọng nhất của đạo hàm trong Toán học. Để thành thạo kỹ năng này, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao và thường xuyên ôn lại các công thức đạo hàm cơ bản.

Nếu bạn đang tìm kiếm thêm tài liệu, bài giảng, hay bộ đề luyện tập về bài tập đạo hàm hoặc muốn nắm vững phương pháp viết phương trình tiếp tuyến theo từng dạng bài cụ thể, đừng ngần ngại theo dõi các bài viết tiếp theo trên website của chúng tôi. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới!