Các bài toán đếm liên quan đến hình học

Trong chương trình Toán THPT, các bài toán đếm liên quan đến hình học luôn nằm trong nhóm câu hỏi vận dụng và vận dụng cao, đặc biệt phổ biến trong các đề thi học kỳ và kỳ thi tốt nghiệp THPT. Những bài toán này yêu cầu học sinh kết hợp quy tắc đếm với tư duy không gian hình học, từ đó xác định số lượng điểm, đường, tam giác, hình tứ giác… theo yêu cầu đề bài.
Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp các dạng bài đếm hình trong không gian và mặt phẳng, đồng thời hướng dẫn cách áp dụng quy tắc cộng – quy tắc nhân một cách chính xác. Kèm theo đó là bài tập vận dụng cao có lời giải chi tiết giúp bạn nắm chắc kiến thức và nâng cao khả năng tư duy logic.

A. Đề bài các bài toán đếm trong hình học

Bài 1. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chép gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.

Bài 2. Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O.

Bài 3. Cho đa giác đều \(A_{1}A_{2}...A_{2n};\left( n \geq 2;n\mathbb{\in Z} \right)\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong \(2n\) điểm \(A_{1};A_{2};...;A_{2n}\) nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm \(A_{1};A_{2};...;A_{2n}\). Tìm \(n\)?

Bài 4: Xét tam giác có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều H có 10 cạnh a) Có tất cả bao nhiêu tam giác? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh của H?

b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào của H?

Bài 5. Cho 15 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các đường thẳng đi qua 2 trong 15 điểm đã cho. Số giao điểm khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng này tạo thành là bao nhiêu?

Bài 6. Cho 2 họ đường thẳng cắt nhau: Họ \(\left( L_{1} \right)\) gồm 10 đường thẳng song song với nhau, họ \(\left( L_{2} \right)\) gồm 15 đường thẳng song song với nhau. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành bởi \(\left( L_{1} \right)\) và \(\left( L_{2} \right)\)?

Bài 7: Cho hình thập giác lồi. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi, nhưng cạnh của tam giác không phải là cạnh của thập giác lồi?

B. Hướng dẫn giải các bài toán đếm hình học

Bài 1

Chọn 2 trong n đình của n – giác ta sẽ có 1 cạnh hoặc 1 đường chéo.

=> Tổng số cạnh và số đườn chéo của n – giác là \(C_{n}^{2}\)

=> Số đường chéo của n – giác là \(C_{n}^{2} - n\)

Theo đề bài ta có phương trình:

\(C_{n}^{2} - n = 2n \Leftrightarrow n = 7\)

Vậy đa giác đều có 7 cạnh.

Nhận xét: Bài này có thể dùng công thức tính số đường chéo của n – giác đều là \(\frac{n(n - 3)}{2}\) ta có phương trình \(\frac{n(n - 3)}{2} = 2n \Leftrightarrow n = 7\).

Bài 2

Ta thấy hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành từ 2 đường chéo bất kỳ đi qua tâm O của đa giác đều 20 cạnh nói trên.

Mà đa giác đều 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O có 10 đường chéo đi qua tâm.

=> Số hình chữ nhật cần tìm là \(C_{10}^{2} = 45\).

Bài 3

Ta có số các hình chữ nhật tạo thành từ đa giác đều \(2n\) cạnh nội tiếp đường tròn \((O)\) là \(C_{n}^{2}\)

Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác nói trên là \(C_{2n}^{3}\)

Theo đề bài ta có phương trình \(C_{2n}^{3} = 20.C_{n}^{2} \Leftrightarrow n = 8\).

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

----------------------------------------------------------------

Trên đây là hệ thống kiến thức và bài tập trọng tâm về các bài toán đếm trong hình học, bao gồm các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao như: đếm số đoạn thẳng, tam giác, hình tứ giác, đa giác… kết hợp cùng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Việc luyện tập nhiều dạng bài sẽ giúp bạn làm quen với mô hình đề thi mới, đặc biệt là các bài vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia.
Đừng quên ôn tập lại quy tắc đếm cơ bản và luyện giải thêm các dạng bài toán thực tế kết hợp hình học và tổ hợp, để phát triển toàn diện kỹ năng giải toán. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong mọi kỳ thi!