Quy tắc đếm

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Quy tắc đếm môn Toán 11. Nội dung tài liệu đi sâu vào hướng dẫn chi tiết cách định hướng làm bài tập sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

• Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
• Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
• Trắc nghiệm Toán lớp 11 theo từng chương

Quy tắc đếm

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp làm bài tập

1. Quy tắc cộng

a. Định nghĩa: Xét một công việc A.

Giả sử A có k phương án _{\({{A}_{i}},i=\overline{1,k}\)} thực hiện công việc A

Nếu có _{\({{a}_{1}}\)} cách thực hiện phương án _{\({{A}_{1}}.\)}

Nếu có  cách thực hiện phương án _{\({{A}_{2}}.\)}

Nếu có _{\({{a}_{3}}\)} cách thực hiện phương án _{\({{A}_{3}}\)}.

…

Nếu có _{\({{a}_{k}}\)} cách thực hiện phương án _{\({{A}_{k}}.\)}

Mỗi cách thực hiện phương án _{\({{A}_{i}}\)} không trùng với cách thực hiện \({{A}_{j}}, \left( i\ne j,i,j\in \overline{1,k} \right)\)

Thì khi đó có cách thực hiện công việc A

b. Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập _{\({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\)} đôi một rời nhau, khi đó \(\left| {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right|={{A}_{1}}+{{A}_{2}}+...+{{A}_{n}}\)

2. Quy tắc nhân

a. Định nghĩa: Xét công việc A.

Giả sử A có k công đoạn _{\({{A}_{i}},i=\overline{1,k}\)} thực hiện công việc A. Công đoạn _{\({{A}_{1}}\)} có _{\({{a}_{1}}\)} cách thực hiện, công đoạn \({{A}_{2}}\) có \({{a}_{2}}\) cách thực hiện,…, Công đoạn _{\({{A}_{k}}\)} có \({{a}_{k}}\) cách thực hiện. Khi đó công việc có _{\({{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{k}}\)} cách thực hiện công việc.

b. Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập _{\({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\)} đôi một rời nhau, khi đó _{\(\left| {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap ...\cap {{A}_{n}} \right|={{A}_{1}}.{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\)}

3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc cộng

Để đếm số cách thực hiện một công việc A theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc A đó có bao nhiêu phương án thực hiện, mỗi phương án có bao nhiêu cách lựa chọn.

4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc nhân

Để đếm số cách thực hiện công việc A theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc A được chia làm bao nhiêu giai đoạn _{\({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\)} và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn

5. Các dạng bài toán đếm thường gặp

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên:

\(· {{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,3,...,9 \right\},{{a}_{1}}\ne 0\)

· X là số chẵn _{\(\Leftrightarrow {{a}_{n}}\)} là số chẵn

· X là số lẻ _{\(\Leftrightarrow {{a}_{n}}\)} là số lẻ

· X chia hết cho 3 _{\(\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}\)} chia hết cho 3

· X chia hết cho 5 _{\(\Leftrightarrow {{a}_{n}}\in \left\{ 0,5 \right\}\)}

· X chia hết cho 6 _{\(\Leftrightarrow x\)} là số chẵn và chia hết cho 3

· X chia hết cho 8 _{\(\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}\)} chia hết cho 8

· X chia hết cho 9 _{\(\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}\)} chia hết cho 9

· X chia hết cho 11 _{\(\Leftrightarrow\)} tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

II. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Khi đi từ thành phố A đến thành phố B có 8 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố C, biết rằng bắt buộc phải đi qua thành phố B.

Hướng dẫn giải

Từ A đến B có 8 con đường

Từ B đến C có 5 con đường

Vậy từ A đến C có 8.5 = 40 con đường

Bài 2: Từ các số tự nhiên _{\(0,1,2,4,5,6,8\)} có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là _{\(\overline{abcd},a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 \right\}\)}

Cách 1: Đếm trực tiếp

Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn nên _{\(d\in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}\)}

_{\(TH1: d=0\)}. Vậy d chỉ có 1 cách chọn

Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a, _{\(a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\)}

Vói mỗi cách chọn _{\(\left\{ a,d \right\}\)} ta có 5 cách chọn b, _{\(b\in \{1,2,4,5,6,8\}\backslash \left\{ a \right\}\)}

Với mỗi cách chọn \(\left\{ a,d,b \right\}\) ta có 4 cách chọn c, _{\(c\in \{1,2,4,5,6,8\}\backslash \left\{ a,b \right\}\)}

Vậy với d = 0 ta có 6.5.4.1=120 số

_{\(TH2: d\ne 0\)} số tự nhiên cần tìm là số chẵn vậy d có 4 cách chọn

Với mỗi cách chọn d và _{\(a\ne 0\)} nên a có 5 cách chọn, _{\(a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ d \right\}\)}

Với mỗi cách chọn _{\(\left\{ a,d \right\}\)} ta có 5 cách chọn b, _{\(b\in \{0,1,2,4,5,6,8\}\backslash \left\{ a,d \right\}\)}

Do đó ta có 4 cách để chọn c

Vậy với _{\(d\ne 0\)} ta có 4.5.5.4=400 số

\(\Rightarrow\) Có tất cả 120 + 400 = 520 số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ dãy số 0,1,2,4,5,6,8

Cách 2: Đếm gián tiếp hay tính phần bù

Ta gọi :

A = { Tập hợp các số số tự nhiên có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}

B = { Tập hợp các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}

C ={ Tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}

\(\left| C \right|=\left| A \right|-\left| B \right|\)

Dễ dàng tính được _{\(\left| A \right|=6.6.5.4=720\)} số

Xét B:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là _{\(\overline{abcd},a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 \right\}\)}

Do B là tập các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số tạo bởi dãy số \(0,1,2,4,5,6,8\) nên _{\(d\in \left\{ 1,5 \right\}\)} vậy d có 2 cách chọn

Ta có: _{\(a\ne 0,a\ne d\Rightarrow a\)} có 5 cách chọn

Số cách chọn b là 5 cách và số cách chọn c là 4 cách

Vậy _{\(\left| B \right|=2.5.5.4=200\)} số

_{\(\Rightarrow \left| C \right|=\left| A \right|-\left| B \right|=720-200=520\)} số

Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh gồm 3 học sinh nữ, 2 học sinh nam vào một bàn dài sao cho:

a. 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau

b. 2 học sinh nam ngồi kề nhau

Hướng dẫn giải

a. Số cách sắp xếp thỏa mãn là: _\(3!.3!=36\)

b. Số cách sắp xếp thỏa mãn là: _\(2!.4!=48\)

Bài 4: Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia thi đấu với phương thức đấu vòng tròn, biết cứ 2 đội thì gặp nhau đúng 1 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.

Hướng dẫn giải

Cứ 1 đội sẽ đấu 19 trận vậy 20 đội sẽ đấu 20.19 = 380 trận

Nhưng theo cách tính như vậy thì mỗi đội sẽ đấu với nhau 2 lần

Vậy số trận đấu xay ra mà mỗi đội gặp nhau 1 lần là: 380 : 2 = 190 trận

Bài 5: Cho tập _{\(A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}\)}

a. Có bao nhiêu tập con chứa số 1 mà không chứa số 5

b. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số không bắt đầu bằng 123

Hướng dẫn giải

a. Giả sử tập _{\(B=\left\{ 2,3,4,6,7,8 \right\}\)} không chứa 5

Gọi C là tập con của A và thỏa mãn đề yêu cầu bài toán bằng số tập con khi và chỉ khi C\{2} là tập con của B. Do đó, số tập con của A thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số tập con của B bằng \({{2}^{6}}=64\)

b. Gỉa sử số tự nhiên lẻ có 5 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A là _{\(\overline{abcde}\)}

Vì _{\(\overline{abcde}\)} là số lẻ nên _{\(e\in \left\{ 1,3,5,7 \right\}\)} nên có 4 cách chọn e

4 số còn lại được lập từ 7 chữ số còn lại của tập A\{e} nên có _{\(7.6.5.4=840\)} cách

Vậy có tất cả 4.840 = 3360 số tự nhiên lẻ

Có 5.4 = 20 số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123

Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3360 – 20 = 3340

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Trên giá sách có 20 quyển sách Toán, 12 cuốn sách Văn, 7 cuốn sách Tiếng Anh, mỗi cuốn sách là khác nhau. Mỗi học sinh được lựa chọn 5 cuốn sách trên giá. Hỏi học sinh có bao nhiêu cách chọn sách mà có đủ cả 3 môn Toán, Văn, Tiếng Anh.

Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người A, B, C, D vào 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa cả 4 người.

Bài 3: Cho dãy số _{\(1,2,4,5,7,8\)}

a. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số từ dãy số trên

b. Có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ có 4 chữ số từ dãy số trên

c. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 5

d. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và không vượt quá 4120

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp 2 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách Tiếng Anh lên giá sách sao cho cuốn sách cùng môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.

Bài 5: An có 10 bông hoa, 4 bông hoa hồng, 3 bông hoa hướng dương, 3 bông hoa cẩm chướng cắm . An cần chọn ra 4 bông hoa để cắm vào lọ hoa, hỏi có bao nhiêu cách để An cắm hoa sao cho hoa trong lọ phải có đủ 3 loại hoa.

Bài 6: Có 6 nam, 4 nữ cùng ngồi vào 1 tổ gồm 5 bàn, mỗi bàn 2 người:

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp nam nữ ngồi cùng bàn

b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 bàn liên tiếp chỉ nam ngồi cùng nhau.

Xem thêm các bài tiếp theo tại:

https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Quy tắc đếm. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.