Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11
VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình lượng giác cơ bản gồm câu hỏi bài tập, ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết cách giải các phương trình sinx, cosx, tanx, cotx hỗ trợ quá trình ôn luyện cho bạn đọc. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Phương trình lượng giác cơ bản
I. Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình 
\(\sin x=a\) (1)
- Nếu \(\left| a \right|>1\) thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(\left| a \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right],\sin \beta =a\)
\((1)\Rightarrow \sin x=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\beta +k2\pi \\
x=\pi -\beta +k2\pi \\
\end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu \(\beta\) thỏa mãn điều kiện thì \(\beta =\arcsin a\)
- Một số phương trình đặc biệt:
\(i. \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(ii. \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(iii. \sin x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- Mở rộng phương trình ta có: \(\sin f(x)=\sin g(x) \\\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[ \begin{matrix}
f(x)=g(x)+k2\pi \\
f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\
\end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right.\)
2. Phương trình \(\cos x=a\) (2)
- Nếu \(\left| a \right|>1\) thì phương trình vô nghiệm
- Nếu \(\left| a \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ 0,\pi \right],\cos \beta =a\)
\((2)\Rightarrow \cos x=\cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\beta +k2\pi \\
x=-\beta +k2\pi \\
\end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu \(\beta\) thỏa mãn điều kiện thì \(\beta =\arccos a\)
- Một số phương trình đặc biệt:
\(i. \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(ii. \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(iii. \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- Mở rộng phương trình ta có: \(\cos f(x)=\cos g(x)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
f(x)=g(x)+k2\pi \\
f(x)=-g(x)+k2\pi \\
\end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \\\)
3. Phương trình \(\tan x=a\) (3)
- Với \(\forall m\Rightarrow \exists \alpha \in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\tan \beta =a\)
\((3)\Leftrightarrow \tan x=\tan \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(\beta =\arctan a\)
- Một số phương trình đặc biệt:
\(i. \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi\)
\(ii. \tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi\)
\(iii. \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi\)
- Mở rộng phương trình ta có:
\(\tan f(x)=\tan g(x)\)
\(\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
4. Phương trình \(\cot x=a\) (4)
- Với \(\forall m\Rightarrow \exists \alpha \in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\cot \beta =a\)
\((4)\Leftrightarrow \cot x=\cot \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(\beta = arccota\)
- Một số phương trình đặc biệt:
\(i. \cot x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(ii. \cot x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
\(iii. \cot x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- Mở rộng phương trình ta có:
\(\cot f(x)=\cot g(x)\)
\(\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \\\)
II. Bài tập ví dụ minh họa giải các phương trình lượng giác cơ bản
Ví dụ 1: Giải phương trình: \(\sin x =
\sin\frac{\pi}{3}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\sin x = \sin\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) \right.\)
Ví dụ 2: Giải phương trình:\(\sin x =
\cos\frac{\pi}{3}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\sin x = \cos\frac{\pi}{3} \Rightarrow
\sin x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\
x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\
x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi
\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) \right.\ \right.\)
Ví dụ 3: Giải phương trình: \(sin(\pi\sin
x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(sin(\pi\sin x) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{array}{r}
\begin{matrix}
\pi\sin x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\
\pi\sin x = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi
\end{matrix} \\
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\sin x = \frac{1}{4} + 2k \\
\sin x = \frac{3}{4} + 2k
\end{matrix} \right.\
\end{array} \right.\)
Do \(\left\lbrack \begin{matrix}
- 1 \leq \frac{1}{4} + 2k \leq 1 \\
- 1 \leq \frac{3}{4} + 2k \leq 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow k = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\sin x = \frac{1}{4} \\
\sin x = \frac{3}{4}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \arcsin\frac{1}{4} + k'2\pi \\
\begin{matrix}
x = \pi - \arcsin\frac{1}{4} + k'2\pi \\
x = \arcsin\frac{3}{4} + k'2\pi \\
x = \pi - \arcsin\frac{3}{4} + k'2\pi
\end{matrix}
\end{matrix} \right.\ (k\mathbb{\in Z})\)
Ví dụ 4: Gỉải phương trình: \(cos(x^{2}) =
\sin x\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(cos(x^{2}) = sinx \Leftrightarrow
cos(x^{2}) = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} = \frac{\pi}{2} - x + k2\pi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\
x^{2} = - (\frac{\pi}{2} - x) + k2\pi\ \ \ \ \ \ \ (2)
\end{matrix} \right.\)
\((1) \Leftrightarrow x^{2} -
\frac{\pi}{2} + x - k2\pi = 0\)
Để phương trình có nghiệm ta có:
\(\Delta = 1 + 2\pi + 8k\pi \geq 0
\Leftrightarrow k \geq - \frac{1 + 2\pi}{8\pi}\\)
Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay \(k\mathbb{\in N}\)
Ta thu được nghiệm
\(x_{1,2} = \frac{- 1 \pm
\sqrt{\Delta}}{2}(k\mathbb{\in N})\)
Giải tương tự với phương trình (2).
Ví dụ 5: Giải phương trình: \(3cosx +
\sqrt{3}\sin x = 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(3cosx + \sqrt{3}\sin x = 1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x + \sin x
= \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \cos\left( x -
\frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{6} + \arccos\frac{1}{2\sqrt{3}} + k2\pi \\
x = \frac{\pi}{6} - \arccos\frac{1}{2\sqrt{3}} + k2\pi
\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) \right.\)
Ví dụ 6: Giải phương trình \(\tan\left(
\frac{\pi}{4}(sinx + 1) \right) = 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\tan\left( \frac{\pi}{4}(sinx + 1)
\right) = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}(sinx + 1)
= \frac{\pi}{4} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow sinx + 1 = 1 +
4k\)
\(\Leftrightarrow sinx = 4k
\Leftrightarrow sinx = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\ \ \ \ (k\mathbb{\in
Z})\)
III. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình lượng giác có đáp án
Bài tập 1. Giải phương trình lượng giác sau:
a) \(\tan 2x=\tan x\) b) \(\cot x.\sin 2x=0\)
Bài tập 2. Số nghiệm của phương trình \(\sin\left( 2x - 40^{0} \right) =
\frac{\sqrt{3}}{2}\) với \(- 180^{0}
\leq x \leq 180^{0}\) là?
A. 2. B. 4. C. 6. D. 7.
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin (f(x)).
Sau đó, xét nghiệm trên từng khoảng xác định đã cho của x theo đề bài: \(- 180^{0} \leq x \leq
180^{0}\)
Bài tập 3. Tập nghiệm của phương trình \(\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) =
\frac{\sqrt{3}}{2}\) là:
A. \(S = \left\{ \frac{\pi}{12} + k2\pi,\
\frac{5\pi}{12} + k2\pi\ |\ k\mathbb{\in Z} \right\}\) B. \(S = \left\{ - \frac{\pi}{12} +
k2\pi,\ - \frac{5\pi}{12} + k2\pi\ |\ k\mathbb{\in Z}
\right\}\)
C. \(S = \left\{ - \frac{\pi}{12} + k2\pi,\
\frac{5\pi}{12} + k2\pi\ |\ k\mathbb{\in Z} \right\}\) D. \(S = \left\{ \frac{\pi}{12} +
k2\pi,\ - \frac{7\pi}{12} + k2\pi\ |\ k\mathbb{\in Z}
\right\}\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin (f(x)).
Bài tập 4. Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = \sin3x\) và \(y = \sin x\) bằng nhau?
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = k2\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\
\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\) B. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \\
\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
C. \(x = k\frac{\pi}{4}\left( k\mathbb{\in
Z} \right)\) D. \(x =
k\frac{\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin (x).
Bài tập 5. Gọi \(x_{0}\) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\frac{2\cos2x}{1 - \sin2x} = 0\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(x_{0} \in \left( 0;\frac{\pi}{4}
\right).\) B. \(x_{0} \in \left\lbrack
\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} \right\rbrack.\)
C. \(x_{0} \in \left(
\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4} \right).\) D. \(x_{0} \in \left\lbrack \frac{3\pi}{4};\pi
\right\rbrack.\)
Gợi ý:
Đầu tiên, ta cần tìm ĐKXĐ của phương trình \(\frac{2\cos2x}{1 - \sin2x} = 0\).
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin (x) và cos (x).
Bài tập 6. Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cot\left( x - 15^{o} \right) - \sqrt{3} =
0\) là:
A. \(x = 75^{o} + k360^{o}\), \(\left( k\mathbb{\in Z} \right)\) B. \(x = 45^{o} + k360^{o}\), \(\left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
C. \(x = 75^{o} + k180^{o}\), \(\left( k\mathbb{\in Z} \right)\) D. \(x = 45^{o} + k180^{o}\), \(\left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm cot (x).
Chú ý điều kiện để cot (x) có nghĩa.
Bài tập 7. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \(\tan x + 3 = 0\) B. \(2cos^{2}x - \cos x - 1 = 0\)
C. \(\sin x + 3 = 0\) D. \(3sinx - 2 = 0\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm các hàm số lượng giác, giải các hàm số và chọn đáp án đúng.
Bài tập 8. Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
\(\sin x = \frac{1}{2};\ sinx = \frac{-
\sqrt{2}}{2};\ sinx = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\)
A. \(0\) B. \(1\) C. \(3\) D. \(2\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin(x).
Bài tập 9. Nghiệm của phương trình \(2\cos2x= - 2\).
A. \(x = k2\pi\). B. \(x = \pi + k2\pi\). C. \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). D. \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)
Gợi ý:
Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm cos(x).
IV. Đáp án bài tập tự rèn luyện giải phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập 1.
a) Ta có:
\(tan2x = \tan x\)
\(2x = x + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z}
\right)\)
\(x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z}
\right)\)
b) Ta có:
\(\cot x.sin2x = 0\) (Điều kiện xác định \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq
k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
\(\frac{\cos x}{\sin x}.2.sinx\cos x =
0\)
\(2.cos^{2}x = 0\)
\(\cos x = 0\)
\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi;\left(
k\mathbb{\in Z} \right)\)
Bài tập 2.
Cách 1:
Phương trình \(\sin\left( 2x - 40^{0}
\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin\left( 2x - 40^{0}
\right) = sin60^{0}\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
2x - 40^{0} = 60^{0} + k360^{0} \\
2x - 40^{0} = 180^{0} - 60^{0} + k360^{0}
\end{matrix} \right.\\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
2x = 100^{0} + k360^{0} \\
2x = 160^{0} + k360^{0}
\end{matrix} \right.\\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 50^{0} + k180^{0} \\
x = 80^{0} + k180^{0}
\end{matrix} \right.\ .\)
Xét nghiệm \(x = 50^{0} +
k180^{0}.\)
Vì \(- 180^{0} \leq x \leq
180^{0}\overset{}{\rightarrow} - 180^{0} \leq 50^{0} + k180^{0} \leq
180^{0}\)
\(\Leftrightarrow - \frac{23}{18} \leq k
\leq \frac{13}{18}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}\left\lbrack
\begin{matrix}
k = - 1 \rightarrow x = - 130^{0} \\
k = 0 \rightarrow x = 50^{0}
\end{matrix} \right.\ .\)
Xét nghiệm \(x = 80^{0} +
k180^{0}.\)
Vì \(- 180^{0} \leq x \leq
180^{0}\overset{}{\rightarrow} - 180^{0} \leq 80^{0} + k180^{0} \leq
180^{0}\)
\(\Leftrightarrow - \frac{13}{9} \leq k
\leq \frac{5}{9}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}\left\lbrack
\begin{matrix}
k = - 1 \rightarrow x = - 100^{0} \\
k = 0 \rightarrow x = 80^{0}
\end{matrix} \right.\ .\)
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.
Cách 2 (Sử dụng máy tính cầm tay CASIO):
Ta có \(- 180^{0} \leq x \leq
180^{0}\overset{}{\rightarrow} - 360^{0} \leq 2x \leq
360^{0}.\)
Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm \(f(X) = \sin(2X - 40) - \frac{\sqrt{3}}{2}\) với các thiết lập \(Start = - 360,\ End =
360,\ Step = 40\). Quan sát bảng giá trị của \(f(X)\) ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài tập 3
Ta có:
\(\sin\left( x + \frac{\pi}{4}
\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\
x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \\
x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi
\end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\)
Bài tập 4.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(sin3x = \sin x\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
3x = x + k2\pi \\
3x = \pi - x + k2\pi
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}
\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------------------------------------------
Như vậy, việc nắm vững phương trình lượng giác cơ bản là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt khi bạn bước vào giai đoạn ôn thi học kỳ hoặc chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia sau này. Các phương trình dạng cơ bản như:
-
sin x = a
-
cos x = a
-
tan x = a
-
cot x = a
đều có cách giải chung và quy tắc riêng, giúp học sinh dễ dàng xử lý các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Hiểu rõ phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm mà còn tạo nền tảng vững chắc để học tốt chương trình Toán 12 sau này, đặc biệt là các chuyên đề về lượng giác nâng cao, hàm số lượng giác và ứng dụng trong hình học. Nếu bạn muốn học tốt phần này, hãy thường xuyên luyện tập các dạng bài, hệ thống lại công thức, và đừng ngần ngại xem thêm các bài viết liên quan như:
- 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Chúc bạn học tốt và chinh phục mọi dạng bài toán lượng giác một cách dễ dàng!
