VnDoc.com

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Bài trước

Bài sau

Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

I. Tóm tắt lí thuyết
II. Bài tập minh họa
III. Bài tập tự luyện

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình lượng giác cơ bản gồm câu hỏi bài tập, ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết cách giải các phương trình sinx, cosx, tanx, cotx hỗ trợ quá trình ôn luyện cho bạn đọc. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình lượng giác cơ bản

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Phương trình $\sin x=a$ $\sin x=a$ (1)

Nếu _{$\left| a \right|>1$} thì phương trình vô nghiệm.
Nếu _{$\left| a \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right],\sin \beta =a$}

$(1)\Rightarrow \sin x=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\beta +k2\pi \\ x=\pi -\beta +k2\pi \\ \end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})$ $(1)\Rightarrow \sin x=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\beta +k2\pi \\ x=\pi -\beta +k2\pi \\ \end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Chú ý: Nếu _$\beta$ thỏa mãn điều kiện thì _{$\beta =\arcsin a$}

Một số phương trình đặc biệt:

$i. \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ $i. \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

$ii. \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $ii. \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$iii. \sin x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ $iii. \sin x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Mở rộng phương trình ta có: _{$\sin f(x)=\sin g(x) \\$}

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{matrix} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right.$ $\left[ \begin{matrix} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right.$

2. Phương trình _{$\cos x=a$} (2)

Nếu _{$\left| a \right|>1$} thì phương trình vô nghiệm
Nếu _{$\left| a \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ 0,\pi \right],\cos \beta =a$}

$(2)\Rightarrow \cos x=\cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\beta +k2\pi \\ x=-\beta +k2\pi \\ \end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})$ $(2)\Rightarrow \cos x=\cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\beta +k2\pi \\ x=-\beta +k2\pi \\ \end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Chú ý: Nếu _$\beta$ thỏa mãn điều kiện thì _{$\beta =\arccos a$}

Một số phương trình đặc biệt:

$i. \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $i. \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$ii. \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ $ii. \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

$iii. \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ $iii. \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Mở rộng phương trình ta có: _{$\cos f(x)=\cos g(x)$}

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \\$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \\$

3. Phương trình $\tan x=a$ $\tan x=a$ (3)

Với _{$\forall m\Rightarrow \exists \alpha \in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\tan \beta =a$}

$(3)\Leftrightarrow \tan x=\tan \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $(3)\Leftrightarrow \tan x=\tan \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\beta =\arctan a$ $\beta =\arctan a$

Một số phương trình đặc biệt:

$i. \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $i. \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

$ii. \tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ $ii. \tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi$

$iii. \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ $iii. \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$

Mở rộng phương trình ta có:

$\tan f(x)=\tan g(x)$ $\tan f(x)=\tan g(x)$

$\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

4. Phương trình $\cot x=a$ $\cot x=a$ (4)

Với $\forall m\Rightarrow \exists \alpha \in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\cot \beta =a$ $\forall m\Rightarrow \exists \alpha \in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\cot \beta =a$

$(4)\Leftrightarrow \cot x=\cot \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $(4)\Leftrightarrow \cot x=\cot \beta \Leftrightarrow x=\beta +k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\beta = arccota$ $\beta = arccota$

Một số phương trình đặc biệt:

$i. \cot x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $i. \cot x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$ii. \cot x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $ii. \cot x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$iii. \cot x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ $iii. \cot x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Mở rộng phương trình ta có:

$\cot f(x)=\cot g(x)$ $\cot f(x)=\cot g(x)$

$\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \\$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \\$

II. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\operatorname{s}\text{inx}=\sin \frac{\pi }{3}$ $\operatorname{s}\text{inx}=\sin \frac{\pi }{3}$

Hướng dẫn giải

$\operatorname{s}\text{inx}=\sin \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \right.$ $\operatorname{s}\text{inx}=\sin \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình: _{$\operatorname{s}\text{inx}=\cos \frac{\pi }{3}$}

Hướng dẫn giải

$\operatorname{s}\text{inx}=\cos \frac{\pi }{3}\Rightarrow \operatorname{s}\text{inx}=\sin \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \right.$ $\operatorname{s}\text{inx}=\cos \frac{\pi }{3}\Rightarrow \operatorname{s}\text{inx}=\sin \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right. \right.$

Ví dụ 3: Giải phương trình: _{$\sin (\pi sinx)=\frac{\sqrt{2}}{2}$}

Hướng dẫn giải

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \pi sinx=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \pi sinx=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} sinx=\frac{1}{4}+2k \\ sinx=\frac{3}{4}+2k \\ \end{matrix} \right. \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \pi sinx=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \pi sinx=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} sinx=\frac{1}{4}+2k \\ sinx=\frac{3}{4}+2k \\ \end{matrix} \right. \right.$

Do $\left[ \begin{matrix} -1\le \frac{1}{4}+2k\le 1 \\ -1\le \frac{3}{4}+2k\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=0$ $\left[ \begin{matrix} -1\le \frac{1}{4}+2k\le 1 \\ -1\le \frac{3}{4}+2k\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=\frac{1}{4} \\ \sin x=\frac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arcsin \frac{1}{4}+k$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=\frac{1}{4} \\ \sin x=\frac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arcsin \frac{1}{4}+k'2\pi \\ \begin{align} & x=\pi -\arcsin \frac{1}{4}+k'2\pi \\ & x=\arcsin \frac{3}{4}+k'2\pi \\ & x=\pi -\arcsin \frac{3}{4}+k'2\pi \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 4: Gỉải phương trình: _{$\cos ({{x}^{2}})=\operatorname{s}\text{inx}$}

Hướng dẫn giải

$\cos ({{x}^{2}})=\operatorname{s}\text{inx}\Leftrightarrow \cos ({{x}^{2}})=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$ $\cos ({{x}^{2}})=\operatorname{s}\text{inx}\Leftrightarrow \cos ({{x}^{2}})=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \text{ (1)} \\ & {{x}^{2}}=-(\frac{\pi }{2}-x)+k2\pi \text{ (2)} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \text{ (1)} \\ & {{x}^{2}}=-(\frac{\pi }{2}-x)+k2\pi \text{ (2)} \\ \end{align} \right.$

$(1)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{\pi }{2}+x-k2\pi =0$ $(1)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{\pi }{2}+x-k2\pi =0$

Để phương trình có nghiệm ta có:

$\Delta =1+2\pi +8k\pi \ge 0\Leftrightarrow k\ge -\frac{1+2\pi }{8\pi }\text{ }$ $\Delta =1+2\pi +8k\pi \ge 0\Leftrightarrow k\ge -\frac{1+2\pi }{8\pi }\text{ }$

Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay $k\in \mathbb{N}$ $k\in \mathbb{N}$

Ta thu được nghiệm

${{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2}(k\in \mathbb{N})$ ${{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2}(k\in \mathbb{N})$

Giải tương tự với phương trình (2)

Ví dụ 5: Giải phương trình: _{$3\operatorname{cosx}+\sqrt{3}\operatorname{s}\text{inx}=1$}

Hướng dẫn giải

$3\operatorname{cosx}+\sqrt{3}\operatorname{s}\text{inx}=1\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x+\sin \text{x=}\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ $3\operatorname{cosx}+\sqrt{3}\operatorname{s}\text{inx}=1\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x+\sin \text{x=}\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+\text{arccos}\frac{1}{2\sqrt{3}}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}-\text{arccos}\frac{1}{2\sqrt{3}}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+\text{arccos}\frac{1}{2\sqrt{3}}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}-\text{arccos}\frac{1}{2\sqrt{3}}+k2\pi \\ \end{matrix}(k\in \mathbb{Z}) \right.$

Ví dụ 6: Giải phương trình _{$\tan \left( \frac{\pi }{4}(\operatorname{s}\text{inx}+1) \right)=1$}

Hướng dẫn giải

$\tan \left( \frac{\pi }{4}(\operatorname{s}\text{inx}+1) \right)=1\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}(\operatorname{s}\text{inx}+1)=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $\tan \left( \frac{\pi }{4}(\operatorname{s}\text{inx}+1) \right)=1\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}(\operatorname{s}\text{inx}+1)=\frac{\pi }{4}+k\pi$

$\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}+1=1+4k\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}=4k\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}=0\Leftrightarrow x=k\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z})$ $\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}+1=1+4k\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}=4k\Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}=0\Leftrightarrow x=k\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 7: Giải phương trình: _{$\cos 3x+\cos 2x-\cos x-1=0$}

Hướng dẫn giải

$\cos 3x+\cos 2x-\cos x-1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x+(2{{\cos }^{2}}x-1)-\cos x-1=0$ $\cos 3x+\cos 2x-\cos x-1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x+(2{{\cos }^{2}}x-1)-\cos x-1=0$

$\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-2\cos x-1=0$ $\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-2\cos x-1=0$

Đặt $a=\cos x, a\in [-1,1]$ $a=\cos x, a\in [-1,1]$

$2{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-2a-1=0\Leftrightarrow (a-1)(a+1)(2a+1)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & a=-1 \\ & a=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ $2{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-2a-1=0\Leftrightarrow (a-1)(a+1)(2a+1)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & a=-1 \\ & a=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$

$a=\pm 1\Leftrightarrow \cos x=\pm 1\Leftrightarrow x=k\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$ $a=\pm 1\Leftrightarrow \cos x=\pm 1\Leftrightarrow x=k\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$
_{$a=-0.5\Leftrightarrow \operatorname{cosx}=-0.5\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$}

III. Bài tập tự luyện

Giải phương trình lượng giác sau:

$1. \sin 2x-2\cos 2x=0$ $1. \sin 2x-2\cos 2x=0$

$2. \tan 2x=\tan x$ $2. \tan 2x=\tan x$

$3. \cot x.\sin 2x=0$ $3. \cot x.\sin 2x=0$

$4. {{\cos }^{2}}x-\sin 2x=0$ $4. {{\cos }^{2}}x-\sin 2x=0$

$5. \cot 2x.\cot 5x=1$ $5. \cot 2x.\cot 5x=1$

$6. \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)$ $6. \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)$

$7. 2{{\sin }^{2}}x-\sin x=0$ $7. 2{{\sin }^{2}}x-\sin x=0$

$8. 2\cos x.\cos 2x+1=0$ $8. 2\cos x.\cos 2x+1=0$

$9. si{{n}^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$ $9. si{{n}^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$

$10. \cos 8x+cos4x-1=0$ $10. \cos 8x+cos4x-1=0$

$11. \sin (x+1)+cos(2x-1)=0$ $11. \sin (x+1)+cos(2x-1)=0$

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Phương trình lượng giác cơ bản. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của đề thi rồi đúng không ạ? Bài viết nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về phương trình lượng giác. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11... Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc nhé.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11 . Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

2

16.266

Bài trước

Bài sau