Xét hàm số liên tục trên một tập
Hàm số liên tục trên một tập
VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Xét hàm số liên tục trên một tập. Các bài tập hàm số liên tục trên một tập này sẽ giúp các bạn ôn tập củng cố nội dung trọng tâm chương trình Đại số lớp 11 về cách xác định hàm số, cách tìm điều kiện liên tục của hàm số, ... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.
Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
I. Phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của khoảng đó.
II. Ví dụ minh họa xét tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số 
\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}&\text{ x<2} \\
2-x&\text{ x}\ge \text{2} \\
\end{matrix} \right.\) trên \(\mathbb{R}\)
Lời giải:
- Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
- Với \(x<2\Rightarrow f(x)=\frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}\Rightarrow\) Hàm số liên tục.
- Với \(x>2\Rightarrow f(x)=2-x\Rightarrow\) Hàm số liên tục.
- Tại x = 2 ta có: \(f(2)=0\)
\(\begin{align}
\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(2-x)=0 \\
\end{align}\)
\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)(x-3)}{2(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)} \\\)
\(=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{2({{x}^{2}}+2x+4)}=\frac{-1}{24}\ne f(2) \\\)
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)=\tan 2x+\cos x\) trên toàn trục số
Lời giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục trên D
Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số \(y=f(x)=\frac{\sqrt{x-1}+2}{{{x}^{2}}-3x+2}\)
Lời giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 \\ x^{2} -3x+2\neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>1 \\ x\neq 2 \end{matrix}\right.\)
Vậy hàm số liên tục trên khoảng \((1,2)\cup (2,+\infty )\)
Ví dụ 4: Xác định tính liên tục của hàm số sau trên \(\mathbb{R}\):
\(y=f(x)=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-x-6}\)
Lời giải:
Tập xác đinh: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3,-2 \right\}\)
Vậy hàm số liên tục tại mọi x thuộc D và gián đoạn tại điểm x = -2, x = 3
5. Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: \(f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{2-7x+5{{x}^{2}}}{x-1} & \text{ khi x }>1 \\
-1 & \text{ khi }x\le 1 \\
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Tập xác định: \(D=R\)
Nếu \(x>1\) thì hàm số \(f(x)=\frac{2-7 x+5 x^{2}}{x-1}\) do đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là \((-\infty ,1)\cup (1,+\infty )\)
Vậy nó liên tục trên khoảng \((1 ;+\infty)\)
Nếu \(x<1\) thì hàm số \(f(x)=1\). Đây là hàm đa thức có tập xác định là R. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng \((-\infty ; 1)\)
Nếu \(x = 1,f(1)=-1\)
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2-7 x+5 x^{2}}{x^{2}+x-2}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(5 x-2)}{(x-1)}\)
\(=\lim _{x \rightarrow 1}(5 x-2)=3\)
\(\lim_{{x \rightarrow 1^{-}}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}-1=-1\)
Do: \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1)\) nên hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) gián đoạn tại \(x_{0}=1\)
Vây hàm số f(x) liên tục trên \((-\infty ;1)\cup (1;+\infty )\) và gián đoạn tại x = 1.
