Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11
Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán 11
VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
- Trắc nghiệm Toán lớp 11 theo từng chương
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Giai thừa là gì?
1.Định nghĩa giai thừa
Với mọi số tự nhiên dương n, tích 1.2.3.4…n được gọi là n giai thừa và kí hiệu là n!
Hay nói cách khác: n! = 1.2.3.4…n
2. Tính chất:
- n! = n.(n-1)!
- n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k-1).k!
II. Hoán vị là gì?
1.Định nghĩa hoán vị
Cho tập A gồm n phần tử 
\(\left( n\ge 1 \right)\). Mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử.
2. Số hoán vị của tập n phần tử
Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho \(\left( n\ge 1 \right)\) được kí hiệu là \({{P}_{n}}\) và:
\({{P}_{n}}=n!=1.2.3...n\)
Ví dụ: Cho tập A = {1,2,3,4}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt
Note: số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nên chữ số đầu tiên có 4 cách chọn, chữ số thứ 2 có 3 cách chọn, chữ số thứ 3 có 2 cách chọn, chữ số cuối cùng có 1 cách chọn. Vậy số các số được tạo thành là: \({{P}_{4}}=4!=24\) số
3.Hoán vị lặp
Cho n phần tử, trong đó có k giá trị khác nhau. Giá trị thứ nhất xuất hiện \({{n}_{1}}\) lần, giá trị thứ 2 xuất hiện \({{n}_{2}}\) lần,…, giá trị thứ k xuất hiện \({{n}_{k}}\) lần sao cho \({{n}_{1}}+{{n}_{2}}+{{n}_{3}}+...+{{n}_{k}}={{n}_{n}}\)
Khi đó, số lượng các hoán vị lặp của n phần tử này là: \({{P}_{n}}\left( {{n}_{1}},{{n}_{2}},...,{{n}_{k}} \right)=\frac{n!}{{{n}_{1}}!{{n}_{2}}!...{{n}_{k}}!}\)
4.Hoán vị vòng quanh
Mỗi cách sắp xếp n phần tử xủa A tạo thành một vòng khép kín theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử. Ở đây ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ và ngựơc chiều kim đồng hồ và không phân biệt điểm bắt đầu của vòng.
Kí hiệu của hoán vị vòng quanh: \({{Q}_{n}}\)
Công thức tính: \({{Q}_{n}}=\frac{{{P}_{n}}}{n}=\left( n-1 \right)!\)
III. Chỉnh hợp là gì?
1.Định nghĩa:
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với \(1\le k\le n\). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
2. Số chỉnh hợp:
Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(A_{n}^{k}\)
\(A_{n}^{k}=n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)...\left( n-k+1 \right)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!},\left( 1\le k\le n \right)\)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn An, Minh, Tâm, Chi, Liên, Đạt vào 8 chiếc ghế trong lớp?
Note: Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi vào 8 chiếc ghế đã có sự sắp xếp \(\Rightarrow\) Có hoán vị là chỉnh hợp chập 5 của 8 \(\Rightarrow\) Ta có số cách chọn là: \(A_{7}^{5}=\frac{8!}{\left( 8-5 \right)!}=6720\) cách
3.Chỉnh hợp lặp
Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Mỗi phần tử trong số k phần tửu của chỉnh hợp lặp đều có thể nhận n giá trị khác nhau. Vậy số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử sẽ là: \(F_{n}^{k}={{n}^{k}}\)
Ví dụ: Chỉnh hợp lặp chập 2 của tập \(A = {1, 2,4}\) là:
\(\left\{ 1,1 \right\},\left\{ 1.2 \right\},\left\{ 1,4 \right\},\left\{ 2,1 \right\}\)\(,\left\{ 2,2 \right\},\left\{ 2,3 \right\},\left\{ 4,1 \right\},\)\(\left\{ 4,2 \right\},\left\{ 4,3 \right\}\)
IV. Tổ hợp là gì?
1.Định nghĩa
Cho n phần tử khác nhau \(\left( n\ge 1 \right)\). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau của tập hợp n phần tửu đã cho \(0\le k\le n\) được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
2.Số tổ hợp
Định lí: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho kí hiệu là và \(C_{n}^{k}\) bằng:
\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}, 0\le k\le n\)
Ví dụ: Một nhóm bạn gồm 5 năm 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người sao cho có ít nhất 1 nam
Note:
Cách 1:
- Có 1 nam, 2 nữ : \(C_{5}^{1}.C_{3}^{2}=15\) cách
- Có 2 nam, 1 nữ : \(C_{5}^{2}.C_{3}^{1}=30\) cách
- Có 3 nam, không có nữ: \(C_{5}^{3}.C_{3}^{0}=10\) cách
\(\Leftrightarrow\) Vậy có tất cả 15 + 30 + 10 = 55 cách
Cách 2:
- Số cách chọn 3 người từ 8 người là \(C_{8}^{3}=56\) cách
- Số cách chọn sao cho có 3 nữ, 0 nam là: \(C_{5}^{0}.C_{3}^{3}=1\) cách
\(\Leftrightarrow\)Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 1 nam là 56 – 1 = 55 cách
3.Tổ hợp lặp
Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần không tính đến thứ tự sắp xếp của chúng được gọi là một tổ hợp lặp chập k của n phần tử.
Công thức: \(K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}=C_{n+k-1}^{n-1}\)
Ví dụ: Tổ hợp chập 2 của tập hợp \(A = {0,1,2} \Rightarrow \left\{ 0,1 \right\},\left\{ 0,2 \right\},\left\{ 0,0 \right\},\left\{ 1,0 \right\},\left\{ 1,1 \right\},\left\{ 1,2 \right\}\)
V. Cách phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
- Chỉnh hợp có sắp thứ tự VD: {1,2,3} và {3,1,2}
- Tổ hợp không sắp thứ tự tức là tổ hợp sẽ không có nghĩa khi thay đổi vị trí các phần tử trong tập hợp.
- Mối liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp là: \(A_{n}^{k}=k!C_{n}^{k}\)
VI. Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Câu 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định.
Một trường trung học phổ thông có 20 bạn học sinh tham dự tọa đàm về tháng Thanh niên do Quận Đoàn tổ chức. Vị trí ngồi của trường là khu vực gồm 4 hàng ghế, mỗi hàng có 6 ghế, khi đó:
a) Có \(C_{20}^{6}\) cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên.
b) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên, có \(A_{14}^{6}\) cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai
c) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ hai, có \(A_{8}^{6}\) cách sắp xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba
d) Sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ ba, có \(C_{6}^{2}\) cách sắp xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên là một chỉnh hợp chập 6 của 20 . Vậy có \(A_{20}^{6}\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên.
b) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 14 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai là một chỉnh hợp chập 6 của 14 . Vậy có \(A_{14}^{6}\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên.
c) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 8 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ ba là một chỉnh hợp chập 6 của 8. Vậy có \(A_{8}^{6}\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba sau khi sắp xếp xong hai hàng ghế đầu.
d) Còn lại 2 bạn ngồi vào hàng ghế cuối cùng. Mỗi cách chọn 2 ghế trong 6 ghế để xếp chỗ ngồi cho 2 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 6. Vậy có \(A_{6}^{2}\) cách xếp 2 bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.
Câu 2. Có 5 nam \(\sinh\) và 3 nữ sinh cần được xếp vào một hàng dọc. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:
a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc là: \(40320\) (cách).
b) Số cách xếp học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là:\(1440\) (cách).
c) Số cách xếp học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau là: \(4320\) (cách).
d) Số cách xếp không có em nữ nào đứng cạnh nhau là: \(2400\) (cách).
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc: \(P_{8} = 8! = 40320\) (cách).
b) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ, \(Y\) là nhọ́m 5 học sinh nam.
Số cách xếp trong \(X:3!\); số cách xếp trong \(Y\): 5!.
Số cách hoán đổi X, Y: 2!.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!5!2! =
1440\) (cách).
c) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ. Khi ấy số cách xếp trong \(X\): 3!.
Số cách xếp nhóm \(X\) với 5 học sinh nam (ta xem có 6 đơn vị): 6!
Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!6! =
4320\) (cách).
d) Sắp xếp trước cho 5 nam sinh, số cách hình vẽ): \(C_{6}^{3}\) (cách).
Sắp xếp 3 nữ sinh vào 3 vị trí vừa được chọn: 3 ! (cách).
Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: \(5!C_{6}^{3}3! = 14400\).
Lưu ý: Việc chọn 3 vị trí tì 6 vị trí để sắp xếp 3 nữ sinh vào có thể đươc thực hiện gộp bởi công thức \(A_{6}^{3}\). Khi đó số cách xếp thỏa mãn là \(5!A_{6}^{3}\).
Câu 3. Có 5 bông hồng, 4 bông trắng (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này. Xét tính đúng sai của các nhận định sau:
a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách
b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách
c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: 30 cách
d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: \(120\) (cách).
Lời giải:
| a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Số cách chọn 4 bông từ 9 bông: \(C_{9}^{4} = 126\) (cách).
b) Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng: \(C_{5}^{2}\) (cách).
Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng: \(C_{4}^{2}\) (cách).
Số cách chọn một bó bông thỏa mãn đề bài: \(C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{2} = 60\) (cách).
c) 3 bông hồng, 1 bông trắng: có \(C_{5}^{3} \cdot C_{4}^{1} = 40\) (cách).
d) Cách giải 1: Làm trực tiếp.
Trường hợp 1: 3 bông hồng, 1 bông trắng: có \(C_{5}^{3} \cdot C_{4}^{1} = 40\) (cách).
Trường hợp 2: 2 bông hồng, 2 bông trắng: có \(C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{2} = 60\) (cách).
Trường hợp 3: 1 bông hồng, 3 bông trắng: có \(C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{3} = 20\) (cách).
Theo quy tắc cộng ta có tất cả \(40 + 60 +
20 = 120\) (cách chọn).
Cách giải 2: Phương pháp loại trừ.
Số cách chọn 4 bông từ 9 bông (tùy ý): \(C_{9}^{4} = 126\) (cách).
Số cách chọn 4 bông chỉ một màu (hồng hoặc trắng): \(C_{5}^{4} + C_{4}^{4} = 6\) (cách).
Vậy số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: \(126 - 6 = 120\) (cách).
Xem thêm các bài tiếp theo tại: Tài liệu học tập lớp 11
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
