Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

• Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
• Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
• Trắc nghiệm Toán lớp 11 theo từng chương

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Giai thừa là gì?

1.Định nghĩa giai thừa

Với mọi số tự nhiên dương n, tích 1.2.3.4…n được gọi là n giai thừa và kí hiệu là n!

Hay nói cách khác: n! = 1.2.3.4…n

2. Tính chất:

• n! = n.(n-1)!
• n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k-1).k!

II. Hoán vị là gì?

1.Định nghĩa hoán vị

Cho tập A gồm n phần tử _{\(\left( n\ge 1 \right)\)}. Mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử.

2. Số hoán vị của tập n phần tử

Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho _{\(\left( n\ge 1 \right)\)} được kí hiệu là _{\({{P}_{n}}\)} và:

\({{P}_{n}}=n!=1.2.3...n\)

Ví dụ: Cho tập A = {1,2,3,4}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt

Note: số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nên chữ số đầu tiên có 4 cách chọn, chữ số thứ 2 có 3 cách chọn, chữ số thứ 3 có 2 cách chọn, chữ số cuối cùng có 1 cách chọn. Vậy số các số được tạo thành là: _{\({{P}_{4}}=4!=24\)} số

3.Hoán vị lặp

Cho n phần tử, trong đó có k giá trị khác nhau. Giá trị thứ nhất xuất hiện _{\({{n}_{1}}\)} lần, giá trị thứ 2 xuất hiện _{\({{n}_{2}}\)} lần,…, giá trị thứ k xuất hiện _{\({{n}_{k}}\)} lần sao cho \({{n}_{1}}+{{n}_{2}}+{{n}_{3}}+...+{{n}_{k}}={{n}_{n}}\)

Khi đó, số lượng các hoán vị lặp của n phần tử này là: _{\({{P}_{n}}\left( {{n}_{1}},{{n}_{2}},...,{{n}_{k}} \right)=\frac{n!}{{{n}_{1}}!{{n}_{2}}!...{{n}_{k}}!}\)}

4.Hoán vị vòng quanh

Mỗi cách sắp xếp n phần tử xủa A tạo thành một vòng khép kín theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử. Ở đây ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ và ngựơc chiều kim đồng hồ và không phân biệt điểm bắt đầu của vòng.

Kí hiệu của hoán vị vòng quanh: _{\({{Q}_{n}}\)}

Công thức tính: _{\({{Q}_{n}}=\frac{{{P}_{n}}}{n}=\left( n-1 \right)!\)}

III. Chỉnh hợp là gì?

1.Định nghĩa:

Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với _{\(1\le k\le n\)}. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

2. Số chỉnh hợp:

Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là _{\(A_{n}^{k}\)}

\(A_{n}^{k}=n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)...\left( n-k+1 \right)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!},\left( 1\le k\le n \right)\)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn An, Minh, Tâm, Chi, Liên, Đạt vào 8 chiếc ghế trong lớp?

Note: Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi vào 8 chiếc ghế đã có sự sắp xếp _{\(\Rightarrow\)} Có hoán vị là chỉnh hợp chập 5 của 8 \(\Rightarrow\) Ta có số cách chọn là: _{\(A_{7}^{5}=\frac{8!}{\left( 8-5 \right)!}=6720\)} cách

3.Chỉnh hợp lặp

Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Mỗi phần tử trong số k phần tửu của chỉnh hợp lặp đều có thể nhận n giá trị khác nhau. Vậy số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử sẽ là: $F_{n}^{k}={{n}^{k}}$

Ví dụ: Chỉnh hợp lặp chập 2 của tập A = {1, 2,4} là \[\left\{ 1,1 \right\},\left\{ 1.2 \right\},\left\{ 1,4 \right\},\left\{ 2,1 \right\},\left\{ 2,2 \right\},\left\{ 2,3 \right\},\left\{ 4,1 \right\},\left\{ 4,2 \right\},\left\{ 4,3 \right\}\]

IV. Tổ hợp là gì?

1.Định nghĩa

Cho n phần tử khác nhau _{\(\left( n\ge 1 \right)\)}. Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau của tập hợp n phần tửu đã cho _{\(0\le k\le n\)} được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

2.Số tổ hợp

Định lí: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho kí hiệu là và _{\(C_{n}^{k}\)} bằng:

\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}, 0\le k\le n\)

Ví dụ: Một nhóm bạn gồm 5 năm 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người sao cho có ít nhất 1 nam

Note:

Cách 1:

• Có 1 nam, 2 nữ : _{\(C_{5}^{1}.C_{3}^{2}=15\)} cách
• Có 2 nam, 1 nữ : _{\(C_{5}^{2}.C_{3}^{1}=30\)} cách
• Có 3 nam, không có nữ: _{\(C_{5}^{3}.C_{3}^{0}=10\)} cách

_{\(\Leftrightarrow\)} Vậy có tất cả 15 + 30 + 10 = 55 cách

Cách 2:

• Số cách chọn 3 người từ 8 người là _{\(C_{8}^{3}=56\)} cách
• Số cách chọn sao cho có 3 nữ, 0 nam là: _{\(C_{5}^{0}.C_{3}^{3}=1\)} cách

_{\(\Leftrightarrow\)}Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 1 nam là 56 – 1 = 55 cách

3.Tổ hợp lặp

Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần không tính đến thứ tự sắp xếp của chúng được gọi là một tổ hợp lặp chập k của n phần tử.

Công thức: _{\(K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}=C_{n+k-1}^{n-1}\)}

Ví dụ: Tổ hợp chập 2 của tập hợp \(A = {0,1,2} \Rightarrow \left\{ 0,1 \right\},\left\{ 0,2 \right\},\left\{ 0,0 \right\},\left\{ 1,0 \right\},\left\{ 1,1 \right\},\left\{ 1,2 \right\}\)

V. Cách phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp

• Chỉnh hợp có sắp thứ tự VD: {1,2,3} và {3,1,2}
• Tổ hợp không sắp thứ tự tức là tổ hợp sẽ không có nghĩa khi thay đổi vị trí các phần tử trong tập hợp.
• Mối liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp là: _{\(A_{n}^{k}=k!C_{n}^{k}\)}

Xem thêm các bài tiếp theo tại: Tài liệu học tập lớp 11

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.