Cách chứng minh hai biến cố độc lập

VnDoc xin mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập Toán 11 được VnDoc.com tổng hợp và biên soạn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng theo dõi bài viết dưới đây.

A. Biến cố độc lập là gì?

B. Công thức nhân xác suất 

Chú ý: Với hai biến cố A và B, nếu $P(AB)\ne P(A).P(B)$ thì A và B không độc lập.

C. Chứng minh hai biến cố độc lập

Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: "Cả hai đồng xu đều ra mặt sấp", B: "Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp". Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\{SS;SN;NS;NN\}\Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=4$

Ta có: $A=\left\{SS\right\}\Rightarrow n(A)=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{4}$

$B=\{SS;SN;NS\}\Rightarrow n(B)=3\Rightarrow P(B)=\frac{3}{4}$

Ta có: $AB=A\cap B=\left\{SS\right\}\Rightarrow n(A\cap B)=1$

$\Rightarrow P(AB)=\frac{1}{4}$

Ta có: $P(AB)=\frac{4}{16}\ne P(A).P(B)=\frac{1}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ. Cho $P(A)=0,5;P(B)=0,4;P(AB)=0,2$. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai biến cố A và B không thể cùng xảy ra.

B. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,9$

C. Hai biến cố A và B độc lập với nhau.

D. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

$P(A.B)=P(A).P(B)$

$=0,5.0,4=0,2=P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố

A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"

B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "

Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Tính P(A)

Xét biến cố đối $\bar{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\bar{A}=\{(a,b):a,b\in \{1;2;3;4;6\}\}$

Ta có: $\{\begin{array}{c}n(\mathrm{\Omega })=25\\ n\left(\bar{A}\right)=25\end{array}$

$\Rightarrow P\left(\bar{A}\right)=\frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A)=1-P\left(\bar{A}\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Tính P(B)

Ta có: $B=\{(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)\}$

$\Rightarrow n(B)=6$

Xét biến cố đối $\bar{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\Rightarrow P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Tính P(AB)

Ta có: $AB=A\cap B=\{(2,5);(5,2)\}$

$\Rightarrow n(AB)=2$ $\Rightarrow P(AB)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$(*)

Mặt khác $P(A).P(B)=\frac{11}{36}.\frac{1}{6}=\frac{11}{216}$(**)

Từ (*) và (**) suy ra $P(A).P(B)\ne P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ: Một hộp có 7 viên bi màu xanh và 8 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy viên bi ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại màu của viên bi lấy ra và bỏ lại viên bi đó vào hộp. Xét các biến cố:

$A$: Viên bi màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất;

$B$: Viên bi màu xanh được lấy ra ở lần thứ hai.

Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Trước hết, xác suất của biến cố $B$ khi biến cố $A$ xảy ra bằng $\frac{7}{15}$, xác suất của biến cố $B$ khi biến cố $A$ không xảy ra cũng bằng $\frac{7}{15}$. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $A$ không làm ảnh hưởng đến xác suất xày ra của biến cố $B$. Mặt khác xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{8}{15}$, không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $B$. Vậy hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.

Ví dụ: Hai bạn An và Bình cùng tập ném bóng rổ một cách độc lập ở hai nửa sân khác nhau. Xác suất bạn An và bạn Bình ném bóng vào rổ lần lượt là 0,6 và 0,9. Trong cùng một lần ném, tính xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố $A$: "Bạn An ném bóng trúng rổ”;

$B$: "Bạn Bình ném bóng trúng rổ";

$C$: "Có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ".

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P(A\cap B)=P(A)$. $P(B)$.

Khi đó, $P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(B)$. $P(C)$

$=0,6+0,9-0,6\cdot 0,9=0,96.$

--------------------------------------------------------------

Như vậy, để chứng minh hai biến cố độc lập, bạn cần nắm vững định nghĩa, vận dụng linh hoạt các quy tắc tính xác suất và đặc biệt là công thức: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Việc hiểu rõ bản chất và thực hành nhiều dạng bài tập sẽ giúp bạn dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các biến cố trong xác suất.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm được cách chứng minh hai biến cố độc lập một cách rõ ràng, logic và chính xác. Đừng quên xem thêm các quy tắc tính xác suất khác để củng cố kiến thức và chuẩn bị thật tốt cho các kỳ thi Toán xác suất – thống kê!