VnDoc.com

Cách chứng minh hai biến cố độc lập

Các quy tắc tính xác suất

Bài trước

Tải về

Bài sau

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Biến cố độc lập

A. Biến cố độc lập là gì?
B. Công thức nhân xác suất
C. Chứng minh hai biến cố độc lập
C. Bài tập tự rèn luyện chứng minh hai biến cố độc lập
D. Đáp án bài tập tự rèn luyện chứng minh hai biến cố độc lập

Trong lý thuyết xác suất, việc hiểu và áp dụng khái niệm biến cố độc lập đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán xác suất thực tiễn. Hai biến cố được gọi là độc lập khi khả năng xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố còn lại. Điều này không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn là nền tảng để phân tích nhiều tình huống trong thống kê, mô hình hóa và dự đoán. Vậy làm sao để chứng minh hai biến cố là độc lập? Bài viết này sẽ giúp bạn tìm hiểu các bước và quy tắc tính xác suất liên quan, từ đó nắm vững cách thức xác định tính độc lập giữa các biến cố trong các bài toán xác suất.

A. Biến cố độc lập là gì?

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nhận xét: Nếu hai biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố $\left\{ \begin{matrix} \overline{A};B \\ A;\overline{B} \\ \overline{A};\overline{B} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \overline{A};B \\ A;\overline{B} \\ \overline{A};\overline{B} \\ \end{matrix} \right.$ cùng độc lập.

B. Công thức nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

$P(AB) = P(A).P(B)$

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Chú ý: Với hai biến cố A và B, nếu $P(AB) \neq P(A).P(B)$ $P(AB) \neq P(A).P(B)$ thì A và B không độc lập.

C. Chứng minh hai biến cố độc lập

Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: "Cả hai đồng xu đều ra mặt sấp", B: "Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp". Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN \right\} \Rightarrow n(\Omega) = 4$ $\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN \right\} \Rightarrow n(\Omega) = 4$

Ta có: $A = \left\{ SS \right\} \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{4}$ $A = \left\{ SS \right\} \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{4}$

$B = \left\{ SS;SN;NS \right\} \Rightarrow n(B) = 3 \Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}$ $B = \left\{ SS;SN;NS \right\} \Rightarrow n(B) = 3 \Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}$

Ta có: $AB = A \cap B = \left\{ SS \right\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1$ $AB = A \cap B = \left\{ SS \right\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1$

$\Rightarrow P(AB) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow P(AB) = \frac{1}{4}$

Ta có: $P(AB) = \frac{4}{16} \neq P(A).P(B) = \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{16}$ $P(AB) = \frac{4}{16} \neq P(A).P(B) = \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ. Cho $P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(AB) = 0,2$. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai biến cố A và B không thể cùng xảy ra.

B. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,9$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,9$

C. Hai biến cố A và B độc lập với nhau.

D. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

$P(A.B) = P(A).P(B)$

$= 0,5.0,4 = 0,2 = P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố

A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"

B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "

Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Tính P(A)

Xét biến cố đối $\overline{A}$ $\overline{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\overline{A} = \left\{ (a,b):a,b \in \left\{ 1;2;3;4;6 \right\} \right\}$ $\overline{A} = \left\{ (a,b):a,b \in \left\{ 1;2;3;4;6 \right\} \right\}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} n(\Omega) = 25 \\ n\left( \overline{A} \right) = 25 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} n(\Omega) = 25 \\ n\left( \overline{A} \right) = 25 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = \frac{25}{36}$ $\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = \frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ $\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Tính P(B)

Ta có: $B = \left\{ (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) \right\}$ $B = \left\{ (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) \right\}$

$\Rightarrow n(B) = 6$ $\Rightarrow n(B) = 6$

Xét biến cố đối $\overline{A}$ $\overline{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Tính P(AB)

Ta có: $AB = A \cap B = \left\{ (2,5);(5,2) \right\}$ $AB = A \cap B = \left\{ (2,5);(5,2) \right\}$

$\Rightarrow n(AB) = 2$ $\Rightarrow n(AB) = 2$ $\Rightarrow P(AB) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ $\Rightarrow P(AB) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$(*)

Mặt khác $P(A).P(B) = \frac{11}{36}.\frac{1}{6} = \frac{11}{216}$ $P(A).P(B) = \frac{11}{36}.\frac{1}{6} = \frac{11}{216}$(**)

Từ (*) và (**) suy ra $P(A).P(B) \neq P(AB)$ $P(A).P(B) \neq P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ: Một hộp có 7 viên bi màu xanh và 8 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy viên bi ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại màu của viên bi lấy ra và bỏ lại viên bi đó vào hộp. Xét các biến cố:

$A$: Viên bi màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất;

$B$: Viên bi màu xanh được lấy ra ở lần thứ hai.

Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Trước hết, xác suất của biến cố $B$ khi biến cố $A$ xảy ra bằng $\frac{7}{15}$ $\frac{7}{15}$, xác suất của biến cố $B$ khi biến cố $A$ không xảy ra cũng bằng $\frac{7}{15}$ $\frac{7}{15}$. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $A$ không làm ảnh hưởng đến xác suất xày ra của biến cố $B$. Mặt khác xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{8}{15}$ $\frac{8}{15}$, không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $B$. Vậy hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.

Ví dụ: Hai bạn An và Bình cùng tập ném bóng rổ một cách độc lập ở hai nửa sân khác nhau. Xác suất bạn An và bạn Bình ném bóng vào rổ lần lượt là 0,6 và 0,9. Trong cùng một lần ném, tính xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố $A$: "Bạn An ném bóng trúng rổ”;

$B$: "Bạn Bình ném bóng trúng rổ";

$C$: "Có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ".

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P(A \cap B) = P(A)$ $P(A \cap B) = P(A)$. $P(B)$.

Khi đó, $P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(B)$ $P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(B)$. $P(C)$

$= 0,6 + 0,9 - 0,6 \cdot 0,9 = 0,96.$ $= 0,6 + 0,9 - 0,6 \cdot 0,9 = 0,96.$

C. Bài tập tự rèn luyện chứng minh hai biến cố độc lập

Bài tập 1. Hai người cùng bắn vào bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6. Tính xác suất để hai người cùng bắn trúng đích.

Bài tập 2. Dùng quy tắc nhân xác suất của 2 biến cố khi nào?

A. 2 biến cố độc lập. B. 2 biến cố xung khắc.

C. 2 biến cô xung khắc và độc lập. D. 2 biến cố đối.

Bài tập 3. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.

b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.

Bài tập 4. Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.

a. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.

D. Đáp án bài tập tự rèn luyện chứng minh hai biến cố độc lập

Bài tập 1.

Gọi $A_{1},A_{2}$ $A_{1},A_{2}$ lần lượt là các biến cố người thứ nhất và người thứ hai bắn trúng đích

$A_{1},A_{2}$ $A_{1},A_{2}$ là các biến cố độc lập

Xác suất để hai người cùng bắn trúng đích: $P(A_{1}.A_{2}) = P(A_{1}).P(A_{2}) = 0.8*0.6 = 0.48$ $P(A_{1}.A_{2}) = P(A_{1}).P(A_{2}) = 0.8*0.6 = 0.48$

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

--------------------------------------------------------------

Như vậy, để chứng minh hai biến cố độc lập, bạn cần nắm vững định nghĩa, vận dụng linh hoạt các quy tắc tính xác suất và đặc biệt là công thức: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Việc hiểu rõ bản chất và thực hành nhiều dạng bài tập sẽ giúp bạn dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các biến cố trong xác suất.

Khi đã nắm vững các phương pháp và quy tắc tính xác suất trong bài viết, bạn sẽ có đủ công cụ để xác định liệu hai biến cố có độc lập với nhau hay không. Việc chứng minh tính độc lập giữa các biến cố không chỉ là một kỹ năng quan trọng trong lý thuyết xác suất mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như phân tích dữ liệu, nghiên cứu thị trường, và thậm chí trong việc ra quyết định chiến lược.

Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về khái niệm và cách thức chứng minh hai biến cố độc lập, đồng thời áp dụng hiệu quả vào các tình huống thực tế.

Tải về

Chọn file muốn tải về: