Cách chứng minh hai biến cố độc lập

VnDoc xin mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập Toán 11 được VnDoc.com tổng hợp và biên soạn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng theo dõi bài viết dưới đây.

A. Biến cố độc lập là gì?

B. Công thức nhân xác suất 

Chú ý: Với hai biến cố A và B, nếu $P(AB)\ne P(A).P(B)$ thì A và B không độc lập.

c. Chứng minh hai biến cố độc lập

Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: "Cả hai đồng xu đều ra mặt sấp", B: "Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp". Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\mathrm{\Omega }=\{SS;SN;NS;NN\}\Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=4$

Ta có:

$A=\left\{SS\right\}\Rightarrow n(A)=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{4}$

Ta có:

$B=\{SS;SN;NS\}\Rightarrow n(B)=3\Rightarrow P(B)=\frac{3}{4}$

Ta có:

$AB=A\cap B=\left\{SS\right\}\Rightarrow n(A\cap B)=1$

$\Rightarrow P(AB)=\frac{1}{4}$

Ta có: $P(AB)=\frac{4}{16}\ne P(A).P(B)=\frac{1}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ. Cho $P(A)=0,5;P(B)=0,4;P(AB)=0,2$. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai biến cố A và B không thể cùng xảy ra.

B. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,9$

C. Hai biến cố A và B độc lập với nhau.

D. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

$P(A.B)=P(A).P(B)$

$=0,5.0,4=0,2=P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố

A: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"

B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "

Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Tính P(A)

Xét biến cố đối $\bar{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\bar{A}=\{(a,b):a,b\in \{1;2;3;4;6\}\}$

Ta có: $\{\begin{array}{c}n(\mathrm{\Omega })=25\\ n\left(\bar{A}\right)=25\end{array}$

$\Rightarrow P\left(\bar{A}\right)=\frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A)=1-P\left(\bar{A}\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Tính P(B)

Ta có: $B=\{(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)\}$

$\Rightarrow n(B)=6$

Xét biến cố đối $\bar{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\Rightarrow P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Tính P(AB)

Ta có: $AB=A\cap B=\{(2,5);(5,2)\}$

$\Rightarrow n(AB)=2$ $\Rightarrow P(AB)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$(*)

Mặt khác $P(A).P(B)=\frac{11}{36}.\frac{1}{6}=\frac{11}{216}$(**)

Từ (*) và (**) suy ra $P(A).P(B)\ne P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.