Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết sẽ giới thiệu tới bạn đọc nội dung lý thuyết Toán 11. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

I. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

1. Góc giữa hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa.  Trong không gian, cho \(\vec{u}\) ;  \(\vec{v}\) là hai vecto khác vecto- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\vec{AB}\) = \(\vec{u}\) ;  \(\vec{AC}\)  = \(\vec{v}\). Khi đó, ta gọi góc \(\hat{BAC}\)  (0⁰  ≤ \(\hat{BAC}\)  ≤ 180⁰) là góc giữa hai vecto \(\vec{u}\);  \(\vec{v}\) trong không gian.

Kí hiệu là (\(\vec{u}\) ;  \(\vec{v}\)).

2. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa:

Trong không gian có hai vecto \(\vec{u}\) ;  v→ đều khác vecto- không . Tích vô hướng của hai vecto là một số, kí hiệu là u→ ;  v→, được xác định bởi công thức: \(\vec{u}\) . \(\vec{v}\)  = \(\left | \vec{u} \right |\). \(\left | \vec{v} \right |\).cos ( \(\vec{u}\);  \(\vec{u}\))

Trường hợp \(\vec{u}\) = \(\vec{0}\) hoặc \(\vec{v}\) =  \(\vec{0}\) ta quy ước: \(\vec{u}\) . \(\vec{v}\) = 0.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB= SC và \(\hat{ASB}\) =  \(\hat{BSC}\)  =  \(\hat{CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\vec{SC}\) và \(\vec{AB}\)?

Lời giải :

Ta có

 

 

II. Vector chỉ phương của đường thẳng

1. Định nghĩa.

Nếu \(\vec{a}\) khác vecto - không được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vecto \(\vec{a}\) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét.

a) Nếu \(\vec{a}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì vecto k\(\vec{a}\)   (k ≠0) cũng là vecto chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc đường thẳng d và một vecto chỉ phương của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vecto chỉ phương cùng phương.

III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

1. Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét.

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu \(\vec{u}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và là \(\vec{v}\) vecto chỉ phương của đường thẳng b và (\(\vec{u}\);  \(\vec{v}\)) =  α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 0⁰ ≤ α ≤ 90⁰ và bằng 180⁰ − α nếu 90⁰ < α ≤ 180⁰.

Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0⁰.

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.  Tính góc giữa AC và DA’

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C= CA = a\(\sqrt{2}\))

Do đó \(\hat{B'CA}\) = 60⁰.

Lại có, DA’ song song CB’  nên  

(AC ; DA’) = (AC ; CB’) = \(\hat{B'CA}\)  = 60⁰.

IV. Hai đường thẳng vuông góc.

1. Định nghĩa.

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

Ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  ⊥  b.

2. Nhận xét

a) Nếu \(\vec{u}\);  \(\vec{v}\)  lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a  ⊥  b ⇔ \(\vec{u}\). \(\vec{v}\)   =0.

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 3.  Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD  và \(\hat{BAC}\)  =  \(\hat{BAD}\) = 60⁰;  \(\hat{CAD}\) =  90⁰. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB  và CD. Chứng minh hai đường thẳng AB và IJ vuông góc với nhau.

Lời giải:

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD  ⇒ \(\vec{IJ} = \frac{1}{2} (\vec{IC} + \vec{ID} )\)

Tam giác ABC có AB = AC và \(\hat{BAC}\) = 60⁰ nên tam giác ABC đều

⇒CI ⊥ AB.  (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD  đều nên DI  ⊥ AB.  ( 2)

Từ  (1) và (2) ta có:

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu học tập môn Toán lớp 11 nhé.