Cách tính nhanh đạo hàm

Công thức đạo hàm Toán 11

25 184.921

Cách tính đạo hàm Toán 11

A. Đạo hàm của hàm phân thức
B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp
F. Lịch thi THPT Quốc Gia 2023

Bài tập Đạo hàm Toán lớp 11 vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Đạo hàm, trong toán học và khoa học tự nhiên, là một công cụ cực kỳ quan trọng và phổ biến được sử dụng để phân tích sự biến đổi của hàm số. Được sáng tạo bởi nhà toán học nổi tiếng Pierre-Simon Laplace vào thế kỷ 18, đạo hàm là một phần không thể thiếu của phạm vi rộng của lĩnh vực toán học và khoa học hiện đại. Đạo hàm không chỉ đơn thuần là một công cụ toán học, mà còn là một phương tiện hữu ích để hiểu sâu hơn về các hiện tượng tự nhiên xung quanh chúng ta. Nó cho phép chúng ta đi sâu vào sự biến thiên của hàm số tại một điểm cụ thể và cung cấp thông tin chi tiết về hướng và tốc độ thay đổi tại điểm đó.

A. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

$\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}$

Công thức đặc biệt: $\left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}$

B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a. $y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$

b. $y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a. $y' = \frac{{3.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

b. $y' = \frac{{1.3 - 5.2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}$

C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{3.1{x^2} + 2.3.2x + \left( { - 2} \right).2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 12x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y' = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right){x^2} + 2\left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} \right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$

Hướng dẫn giải

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2} \\ 1&1 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{5{x^2} + 10x - 5}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}}$