Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính nhanh đạo hàm

Công thức đạo hàm Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Toán Lớp 11

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính đạo hàm Toán 11

Đạo hàm là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 11, có vai trò nền tảng trong việc khảo sát và giải quyết nhiều dạng bài toán về hàm số. Khi mới làm quen, học sinh thường gặp khó khăn trong việc ghi nhớ các công thức, phân biệt quy tắc đạo hàm và lựa chọn cách xử lý phù hợp với từng dạng biểu thức. Đặc biệt, với những bài tập có nhiều phép toán kết hợp, nếu thực hiện tuần tự từng bước sẽ dễ mất thời gian và xuất hiện sai sót trong quá trình biến đổi.

Vì vậy, nắm vững cách tính nhanh đạo hàm không chỉ giúp rút ngắn thời gian làm bài mà còn nâng cao khả năng nhận dạng và xử lý biểu thức. Thay vì ghi nhớ máy móc, học sinh có thể dựa vào cấu trúc của hàm số để lựa chọn công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hoặc hàm hợp một cách hợp lý.

Trong bài viết Cách tính nhanh đạo hàm, nội dung được hệ thống theo hướng dễ học, dễ áp dụng, tập trung vào những công thức đạo hàm Toán 11 thường gặp và các phương pháp giúp tính toán nhanh, chính xác. Đây là nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh đang học chương đạo hàm, làm bài tập Toán 11, củng cố kiến thức hoặc ôn luyện trước các bài kiểm tra, đồng thời giúp hình thành kỹ năng nhận diện dạng toán và lựa chọn phương pháp giải hiệu quả.

A. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

$\left( {\frac{u}{v}} \right)$ $\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}$

Công thức đặc biệt: $\left( {\frac{1}{x}} \right)$ $\left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}$

B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a. $y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$ $y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$

b. $y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$ $y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $y' = \frac{{3.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

b. Ta có: $y' = \frac{{1.3 - 5.2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}$

C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{3.1{x^2} + 2.3.2x + \left( { - 2} \right).2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 12x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y$ $\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y' = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right){x^2} + 2\left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} \right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2} \\ 1&1 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{5{x^2} + 10x - 5}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}}$

E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)².
Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax²+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx²+2anx+bn−cm/(mx+n)²
Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax³+bx²+cx+d⇒f(x)=3ax²+2bx+c
Hàm số trùng phương: f(x)=ax⁴+bx²+c⇒f′(x)=4ax³+2bx.
Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)
Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

F. Bài tập tính đạo hàm

Câu 1. Tìm $m$ để các hàm số $y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1$ $y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1$ có $y' \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$?

A. m ≥ 3.	B. m ≥ 1.
C. m ≥ 4.	D. $m \geq 4\sqrt{2}$ $m \geq 4\sqrt{2}$

Lời giải

Chọn C

Ta có: y' = 3[(m - 1)x² - 2(m + 2)x - 2(m + 2)]

Do đó y'≥ 0 => (m - 1)x² - 2(m + 2)x - 2(m + 2) ≥ 0

m = 1 thì $\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1$ $\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1$ nên m = 1

$m \neq 1$ $m \neq 1$ thì đúng với $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta$ $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4$

Vậy m ≥ 4 là những giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm các giá trị tham số m để các hàm số $y = \frac{mx^{3}}{3} - mx^{2} + (3m - 1)x + 1$ $y = \frac{mx^{3}}{3} - mx^{2} + (3m - 1)x + 1$ có $y' \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$.

A. $m \leq \sqrt{2}$ $m \leq \sqrt{2}$	B. m ≤ 2.
C. m ≤ 0.	D. m < 0.

Lời giải

Chọn C

Ta có: y' = mx² - 2mx + 3m - 1

Nên $y' \leq 0 \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + 3m - 1 \leq 0$

m = 0 thì trở thành: $- 1 \leq 0$ $- 1 \leq 0$ đúng với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$

$m \neq 0$ $m \neq 0$, khi đó đúng với $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta$ $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m(1 - 2m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ 1 - 2m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m(1 - 2m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ 1 - 2m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 0$

Vậy m ≤ 0 là những giá trị cần tìm.

Câu 3. Giải bất phương trình 2xf'(x) - f(x) ≥ 0 với $f(x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ $f(x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.

A. $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	B. $\mathbf{x >}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x >}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$
C. $\mathbf{x <}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x <}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	D. $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D\mathbb{= R}$ $D\mathbb{= R}$

Ta có: $f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{f(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Mặt khác: $f(x) > x + \sqrt{x^{2}} = x + |x| \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$ $f(x) > x + \sqrt{x^{2}} = x + |x| \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$

Nên $2xf'(x) - f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2xf(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - f(x) \geq 0$

$\Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x^{2} \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x^{2} \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 4. Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$ $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$, với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$. Tính A = 3f(2) + 4f'(x).

A. 11.	B. 13.
C. 14.	D. 10.

Lời giải

Chọn D

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$, ta có f³(2x- x) - 2f²(2 + 3x) + x².g(x) + 36x = 0 (1) .

Đạo hàm hai vế của $(1)$, ta được

$- 3f^{2}(2 - x).f$ $- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36 = 0$ $(2)$.

Từ (1) và (2), thay x = 0, ta có $\left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f$ $\left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.$

Từ (3), ta có f(2) = 0 hoặc f(2) = 2.

Với f(2) = 0, thế vào (4) ta được 36 = 0.

Với f(2) = 2, thế vào (4) ta được -36f'(2) + 36 = 0 => f'(2) = 1.

Vậy A = 3f(2) + 4f'(x) = 3.2 + 4.1 = 10.

Câu 5. Cho hàm số $f(x) = \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1}$ $f(x) = \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1}$. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) > 0 là

A. $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$	B. $\varnothing$ $\varnothing$
C. $(1; + \infty)$ $(1; + \infty)$	D. $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$\begin{matrix} f$ $\begin{matrix} f'(x) = \left( \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1} \right)^{'} \\ = \frac{\left( 1 - 3x + x^{2} \right)^{'}(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)(x - 1)^{'}}{(x - 1)^{2}} \\ = \frac{( - 3 + 2x)(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x + 2}{(x - 1)^{2}} \\ = \frac{(x - 1)^{2} + 1}{(x - 1)^{2}} > 0,\ \forall x \neq 1 \\ \end{matrix}$

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}$ $y = f(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}$. Ta xét hai mệnh đề sau:

$(I)$ $f'(x) = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$(II)$ $f(x).f'(x) = 2x\left( 12x^{4} - 4x^{2} - 1 \right)$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (II)	B. Chỉ (I)
C. Cả hai đều sai.	D. Cả hai đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Ta có

$f'(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)^{'}\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\left( \sqrt{1 + 2x^{2}} \right)^{'}$

$= - 4x\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= - 4x\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$= \frac{- 4x\left( 1 + 2x^{2} \right) + \left( 1 - 2x^{2} \right).2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= \frac{- 4x\left( 1 + 2x^{2} \right) + \left( 1 - 2x^{2} \right).2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$= \frac{- 2x - 12x^{3}}{\sqrt{1 + 2x^{2}}} = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= \frac{- 2x - 12x^{3}}{\sqrt{1 + 2x^{2}}} = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

Suy ra

$f(x).f'(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}.\frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

= - 2x(1- 2x²)(1 + 6x²

= -2x(-12x⁴ + 4x² + 1) = 2x(12x⁴ - 4x² - 1)

Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ x +}\left| \mathbf{x +}\mathbf{1} \right|}{\mathbf{x}}$ $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ x +}\left| \mathbf{x +}\mathbf{1} \right|}{\mathbf{x}}$ tại x₀= -1.

Lời giải

Ta có hàm số liên tục tại x₀= -1 và

$\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$ $\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$

Nên $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$

$\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$

Do đó $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀= -1.

Nhận xét: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x₀ thì phải liên tục tại điểm đó.

Câu 8. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$. Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá trị của b bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

$f(2) = 4$, $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4$, $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8$.

$f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6$ $\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} a\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12\ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} a\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12\ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương $x_{0}$ $x_{0}$ và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( 0;x_{o} \right) \cup \left( x_{o}; + \infty \right)$ $\left( 0;x_{o} \right) \cup \left( x_{o}; + \infty \right)$. Tính giá trị $S = x_{0} + a$ $S = x_{0} + a$.

Lời giải

Chọn B

+ Khi $0 < x < x_{0}$ $0 < x < x_{0}$: $f(x) = a\sqrt{x}$ $f(x) = a\sqrt{x}$ $\Rightarrow f$ $\Rightarrow f'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}}$.

Ta có f'(x) xác định trên $\left( 0;x_{0} \right)$ $\left( 0;x_{0} \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 0;x_{0} \right)$ $\left( 0;x_{0} \right)$.

+ Khi $x > x_{0}$ $x > x_{0}$: f(x) = x² + 12 => f'(x) = 2x.

Ta có f'(x) xác định trên $\left( x_{0}; + \infty \right)$ $\left( x_{0}; + \infty \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( x_{0}; + \infty \right)$ $\left( x_{0}; + \infty \right)$.

+ Tại $x = x_{0}$ $x = x_{0}$:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\left( \sqrt{x} - \sqrt{x_{0}} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\left( \sqrt{x} - \sqrt{x_{0}} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}}$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} + 12 - \left( x_{0}^{2} + 12 \right)}{x - x_{0}}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} + 12 - \left( x_{0}^{2} + 12 \right)}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\left( x + x_{0} \right) = 2x_{0}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\left( x + x_{0} \right) = 2x_{0}$.

Hàm số f có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} \Leftrightarrow \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} \Leftrightarrow \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$.

Khi đó $f'\left( x_{0} \right) = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$ và $f'(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{2\sqrt{x}}\ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$ nên hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$.

Ta có $\frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0} \Leftrightarrow a = 4x_{0}\sqrt{x_{0}}$ $\frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0} \Leftrightarrow a = 4x_{0}\sqrt{x_{0}}$ $(1)$

Mặt khác: Hàm số f liên tục tại $x_{0}$ $x_{0}$ nên $x_{0}^{2} + 12 = a\sqrt{x_{0}}$ $x_{0}^{2} + 12 = a\sqrt{x_{0}}$ $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra x₀ = 2 và $a = 8\sqrt{2}$ $a = 8\sqrt{2}$

Vậy $S = a + x_{0} = 2\left( 1 + 4\sqrt{2} \right)$ $S = a + x_{0} = 2\left( 1 + 4\sqrt{2} \right)$.

Câu 10. Cho hàm số f(x) = (2018 + x)(2017 + 2x)(2016 + 3x)...(1 + 2018x). Tính f'(1).

Lời giải

Chọn C

f'(x) = (2017 + 2x)(2016 + 3x)...(1 + 2018x) + ... (2018 + x)(2017 + 2x)(2016 + 3x)....2018 + (2018 + x).2.(2016 + 3x) ....(1 + 2018x).

Suy ra

$f'(1) = 2019^{2017} + 2.2019^{2017} + 3.2019^{2017} + ... + 2018.2019^{2017}$

$= 2019^{2017}(1 + 2 + 3 + ... + 2018)$ $= 2019^{2017}(1 + 2 + 3 + ... + 2018)$

$= 2019^{2017}.\frac{2018.2019}{2} = 1009.2019^{2018}$ $= 2019^{2017}.\frac{2018.2019}{2} = 1009.2019^{2018}$.

---------------------------

FAQ

1: Cách tính nhanh đạo hàm là gì?

Cách tính nhanh đạo hàm là việc nhận dạng dạng hàm số và lựa chọn công thức, quy tắc đạo hàm phù hợp để rút ngắn các bước biến đổi nhưng vẫn đảm bảo kết quả chính xác.

2: Toán 11 cần nhớ những công thức đạo hàm nào?

Học sinh cần nắm các đạo hàm cơ bản, quy tắc tổng – hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp theo chương trình Toán 11.

3: Làm thế nào để tính đạo hàm nhanh và ít sai?

Nên xác định dạng hàm số trước, viết đúng công thức rồi mới thay thế và rút gọn. Với biểu thức phức tạp, cần ưu tiên quy tắc đạo hàm phù hợp thay vì khai triển không cần thiết.

4: Học công thức đạo hàm Toán 11 như thế nào để dễ nhớ?

Có thể chia công thức thành từng nhóm: hàm cơ bản, tổng – hiệu, tích – thương và hàm hợp; sau đó luyện tập bằng các bài toán từ cơ bản đến nâng cao.

5: Tính nhanh đạo hàm có giúp làm bài thi tốt hơn không?

Có. Việc thành thạo công thức và nhận dạng dạng hàm giúp giảm thời gian tính toán, hạn chế lỗi biến đổi và dành nhiều thời gian hơn cho những câu hỏi có mức độ vận dụng cao.

-----------------

Thành thạo cách tính nhanh đạo hàm là một trong những kỹ năng quan trọng giúp học sinh Toán 11 xử lý tốt các bài toán liên quan đến hàm số. Khi đã ghi nhớ những công thức đạo hàm Toán 11 cơ bản và hiểu rõ cách vận dụng từng quy tắc, học sinh có thể nhanh chóng nhận dạng dạng bài, lựa chọn công thức phù hợp và hạn chế những bước biến đổi không cần thiết. Đây cũng là yếu tố giúp quá trình tính toán trở nên rõ ràng, chính xác và tiết kiệm thời gian hơn.

Bên cạnh việc học thuộc công thức, học sinh nên thường xuyên luyện tập các dạng bài từ đơn giản đến nâng cao để hình thành phản xạ khi gặp một biểu thức cần tính đạo hàm. Đặc biệt, cần chú ý phân biệt giữa đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp; đồng thời kiểm tra kỹ dấu, hệ số và các bước rút gọn sau khi tính toán. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp kiến thức về đạo hàm được ghi nhớ lâu hơn thay vì chỉ học thuộc công thức một cách máy móc.

Tải về

Chọn file muốn tải về: