Cách tính nhanh đạo hàm

Bài tập Đạo hàm Toán lớp 11 vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-v^{\prime }.u}{v^2}$

Công thức đặc biệt: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{x^2};{\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$

B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số: 

a. $y=\frac{3x-2}{x-1}$

b. $y=\frac{x+5}{2x+3}$

Hướng dẫn giải

a. $y^{\prime }=\frac{3.\left(-1\right)-\left(-2\right).1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

b. $y^{\prime }=\frac{1.3-5.2}{{\left(2x+3\right)}^2}=\frac{-7}{{\left(2x+3\right)}^2}$

C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y=\frac{a{x}^2+bx+c}{dx+e}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{ad{x}^2+2aex+be-cd}{{\left(dx+e\right)}^2}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{3x^2-2x+1}{x+2}$

Hướng dẫn giải

$y=\frac{3x^2-2x+1}{x+2}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{3.1x^2+2.3.2x+\left(-2\right).2-1.1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{3x^2+12x-5}{{\left(x+2\right)}^2}$

D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{a_1{x}^2+b_{1}x+c_1}{a_2{x}^2+b_{2}x+c_2}}\Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|x^2+2\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|x+\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|}{{\left(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2\right)}^2}}\hfill \\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)x^2+2\left(a_1{c}_2-a_2{c}_1\right)x+b_1{c}_2-b_2{c}_1}{{\left(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2\right)}^2}}\hfill \end{array}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{3x^2-2x+1}{x^2+x+2}$

Hướng dẫn giải

$y=\frac{3x^2-2x+1}{x^2+x+2}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 1\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right|x+\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|}{{\left(x^2+x+2\right)}^2}=\frac{5x^2+10x-5}{{\left(x^2+x+2\right)}^2}$

E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)².

Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax²+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx²+2anx+bn−cm/(mx+n)²

Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax³+bx²+cx+d⇒f(x)=3ax²+2bx+c

Hàm số trùng phương: f(x)=ax⁴+bx²+c⇒f′(x)=4ax³+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)

Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

F. Bài tập tính đạo hàm

Câu 1. Tìm $m$ để các hàm số $y=(m-1)x^3-3(m+2)x^2-6(m+2)x+1$ có $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$?

A. $m\ge 3$	B. $m\ge 1$
C. $m\ge 4$	D. $m\ge 4\sqrt{2}$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y^{\prime }=3[(m-1)x^2-2(m+2)x-2(m+2)]$

Do đó $y^{\prime }\ge 0\iff (m-1)x^2-2(m+2)x-2(m+2)\ge 0$

$m=1$ thì $\iff -6x-6\ge 0\iff x\le -1$ nên $m=1$

$m\ne 1$ thì đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{c}a=m-1>0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m>1\\ (m+1)(4-m)\le 0\end{array}\iff m\ge 4$

Vậy $m\ge 4$ là những giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm $m$ để các hàm số $y=\frac{m{x}^3}{3}-m{x}^2+(3m-1)x+1$ có $y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

A. $m\le \sqrt{2}$	B. $m\le 2$
C. $m\le 0$	D. $m<0$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y^{\prime }=m{x}^2-2mx+3m-1$

Nên $y^{\prime }\le 0\iff m{x}^2-2mx+3m-1\le 0$

$m=0$ thì trở thành: $-1\le 0$ đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$m\ne 0$, khi đó đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{c}a=m<0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ m(1-2m)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ 1-2m\ge 0\end{array}\iff m<0$

Vậy $m\le 0$ là những giá trị cần tìm.

Câu 3. Giải bất phương trình $2x{f}^{\prime }(x)-f(x)\ge 0$ với $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.

A. $\mathbf{x}\ge \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	B. $\mathbf{x}\mathbf{>}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$
C. $\mathbf{x}\mathbf{<}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	D. $\mathbf{x}\ge \frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D\mathbb{=}\mathbb{R}$

Ta có: $f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}$

Mặt khác: $f(x)>x+\sqrt{x^2}=x+|x|\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Nên $2x{f}^{\prime }(x)-f(x)\ge 0\iff \frac{2xf(x)}{\sqrt{x^2+1}}-f(x)\ge 0$

$\iff 2x\ge \sqrt{x^2+1}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 3x^2\ge 1\end{array}\iff x\ge \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 4. Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

$f^3(2-x)-2f^2(2+3x)+x^2.g(x)+36x=0$, với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Tính $A=3f(2)+4f^{\prime }(2)$.

A. $11$	B. $13$
C. $14$	D. $10$

Lời giải

Chọn D

Với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, ta có $f^3(2-x)-2f^2(2+3x)+x^2.g(x)+36x=0$ $(1)$.

Đạo hàm hai vế của $(1)$, ta được

$-3f^2(2-x).f^{\prime }(2-x)-12f(2+3x).f^{\prime }(2+3x)+2x.g(x)+x^2.g^{\prime }(x)+36=0$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, thay $x=0$, ta có $\{\begin{array}{c}{f}^3(2)-2f^2(2)=0(3)\\ -3f^2(2).f^{\prime }(2)-12f(2).f^{\prime }(2)+36=0(4)\end{array}$

Từ $(3)$, ta có $f(2)=0\vee f(2)=2$.

Với $f(2)=0$, thế vào $(4)$ ta được $36=0$.

Với $f(2)=2$, thế vào $(4)$ ta được $-36.f^{\prime }(2)+36=0\iff f^{\prime }(2)=1$.

Vậy $A=3f(2)+4f^{\prime }(2)=3.2+4.1=10$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)=\frac{1-3x+x^2}{x-1}$. Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ là

A. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$	B. $\varnothing$
C. $(1;+\mathrm{\infty })$	D. $\mathbb{R}$

Lời giải

Chọn A

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)={\left(\frac{1-3x+x^2}{x-1}\right)}^{{}^{\prime }}\\ =\frac{{(1-3x+x^2)}^{{}^{\prime }}(x-1)-(1-3x+x^2)(x-1{)}^{{}^{\prime }}}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{(-3+2x)(x-1)-(1-3x+x^2)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x+2}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{(x-1{)}^2+1}{(x-1{)}^2}>0,\mathrm{\forall }x\ne 1\end{array}$

Câu 6. Cho hàm số $y=f(x)=(1-2x^2)\sqrt{1+2x^2}$. Ta xét hai mệnh đề sau:

$(I)$ $f^{\prime }(x)=\frac{-2x(1+6x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}$ $(II)$ $f(x).f^{\prime }(x)=2x(12x^4-4x^2-1)$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ $(II)$	B. Chỉ $(I)$
C. Cả hai đều sai.	D. Cả hai đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Ta có

$f^{\prime }(x)={(1-2x^2)}^{{}^{\prime }}\sqrt{1+2x^2}+(1-2x^2){\left(\sqrt{1+2x^2}\right)}^{{}^{\prime }}$

$=-4x\sqrt{1+2x^2}+(1-2x^2)\frac{2x}{\sqrt{1+2x^2}}$

$=\frac{-4x(1+2x^2)+(1-2x^2).2x}{\sqrt{1+2x^2}}$

$=\frac{-2x-12x^3}{\sqrt{1+2x^2}}=\frac{-2x(1+6x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}$

Suy ra

$f(x).f^{\prime }(x)=(1-2x^2)\sqrt{1+2x^2}.\frac{-2x(1+6x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}$

$=-2x(1-2x^2)(1+6x^2)$

$=-2x(-12x^4+4x^2+1)=2x(12x^4-4x^2-1)$

Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{x}\mathbf{+}\left|\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\right|}{\mathbf{x}}$ tại $x_0=-1$.

Lời giải

Ta có hàm số liên tục tại $x_0=-1$ và

$\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{x^2+x+|x+1|}{x(x+1)}$

Nên $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x(x+1)}=0$

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{x^2-1}{x(x+1)}=2$

Do đó $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}\ne \underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x_0=-1$.

Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x=x_0$ thì phải liên tục tại điểm đó.

Câu 8. Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^{2}khix\le 2\\ -\frac{x^2}{2}+bx-6khix>2\end{array}$. Để hàm số này có đạo hàm tại $x=2$ thì giá trị của b bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

$f(2)=4$, $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}{x}^2=4$, $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}(-\frac{x^2}{2}+bx-6)=2b-8$.

$f(x)$ có đạo hàm tại $x=2$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x=2$

$\iff \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=f(2)\iff 2b-8=4\iff b=6$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{c}a\sqrt{x}khi0<x<x_0\\ x^2+12khix\ge x_0\end{array}$. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương $x_0$ và một số thực $a$ để hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;x_o)\cup (x_o;+\mathrm{\infty })$. Tính giá trị $S=x_0+a$.

Lời giải

Chọn B

+ Khi $0<x<x_0$: $f(x)=a\sqrt{x}$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}$.

Ta có $f^{\prime }(x)$ xác định trên $(0;x_0)$ nên liên tục trên khoảng $(0;x_0)$.

+ Khi $x>x_0$: $f(x)=x^2+12$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)=2x$.

Ta có $f^{\prime }(x)$ xác định trên $(x_0;+\mathrm{\infty })$ nên liên tục trên khoảng $(x_0;+\mathrm{\infty })$.

+ Tại $x=x_0$:

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{a\sqrt{x}-a\sqrt{x_0}}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{a(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{a}{2\sqrt{x_0}}$

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{x^2+12-(x_0^2+12)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}(x+x_0)=2x_0$.

Hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ khi và chỉ khi

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\iff \frac{a}{2\sqrt{x_0}}=2x_0$.

Khi đó $f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{a}{2\sqrt{x_0}}=2x_0$ và $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{c}\frac{a}{2\sqrt{x}}khi0<x<x_0\\ 2xkhix\ge x_0\end{array}$ nên hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$.

Ta có $\frac{a}{2\sqrt{x_0}}=2x_0\iff a=4x_0\sqrt{x_0}$ $(1)$

Mặt khác: Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ nên $x_0^2+12=a\sqrt{x_0}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $x_0=2$ và $a=8\sqrt{2}$

Vậy $S=a+x_0=2(1+4\sqrt{2})$.

Câu 10. Cho hàm số $f(x)=(2018+x)(2017+2x)(2016+3x)....(1+2018x)$. Tính $f^{\prime }(1)$.

Lời giải

Chọn C

$f^{\prime }(x)=(2017+2x)(2016+3x)....(1+2018x)$$+...(2018+x)(2017+2x)(2016+3x)....2018+$$(2018+x).2.(2016+3x)....(1+2018x)$.

Suy ra

$f^{\prime }(1)={2019}^{2017}+{2.2019}^{2017}+{3.2019}^{2017}+...+{2018.2019}^{2017}$

$={2019}^{2017}(1+2+3+...+2018)$

$={2019}^{2017}.\frac{2018.2019}{2}={1009.2019}^{2018}$.