Cách tính nhanh đạo hàm

Bài tập Đạo hàm Toán lớp 11 vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

\(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)

Công thức đặc biệt: \(\left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\)

B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

\(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số: 

a. \(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}\)

b. \(y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}\)

Hướng dẫn giải

a. \(y' = \frac{{3.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

b. \(y' = \frac{{1.3 - 5.2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

\(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}\)

Hướng dẫn giải

\(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{3.1{x^2} + 2.3.2x + \left( { - 2} \right).2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 12x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

\(\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y' = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right){x^2} + 2\left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} \right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}\)

Hướng dẫn giải

\(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2} \\ 1&1 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{5{x^2} + 10x - 5}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}}\)

E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)².

Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax²+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx²+2anx+bn−cm/(mx+n)²

Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax³+bx²+cx+d⇒f(x)=3ax²+2bx+c

Hàm số trùng phương: f(x)=ax⁴+bx²+c⇒f′(x)=4ax³+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)

Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

F. Lịch thi THPT Quốc Gia 2024

Xem chi tiết lịch thi: Lịch thi THPT Quốc Gia 2024

Gửi đề thi để nhận lời giải ngay: https://www.facebook. com/com.VnDoc

Mời các bạn cùng tham khảo thêm các tài liệu sau đây có liên quan đến đạm hàm như:

• Cách bấm máy tính đạo hàm
• Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
• 300 câu trắc nghiệm đạo hàm theo chủ đề có đáp án
• 250 Bài tập trắc nghiệm đạo hàm
• Bảng đạo hàm cơ bản
• Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm
• Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2
• Giải bài tập trang 45, 46, 47 SGK Giải tích lớp 12: Ôn tập chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số