Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lí thuyết và bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Đại số 11
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
- Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Định nghĩa đạo hàm
1. Đạo hàm tại một điểm
Hàm số 
\(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( a,b \right)\), được gọi là có đạo hàm tại \({{x}_{0}}\in \left( a,b \right)\) nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn: \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm \({{x}_{0}}\). Ta kí hiệu là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)\)
\(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
2. Cách tính đạo hàm
Để tính đạo hàm của hàm số \(y =
f(x)\) tại điểm \(x_{0} \in
(a,b)\) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính \(f(x) - f\left( x_{0}
\right)\)
Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{f(x) -
f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\) với \(x \in (a,b),x \neq x_{0}\)
Bước 3: Tính giới hạn \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)
3. Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải
a. Đạo hàm bên trái
\(f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
b. Đạo hàm bên phải
\(f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
c. Hệ quả:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right),f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right):f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)\)
4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên \(\left( a,b \right)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \(\left( a,b \right)\)
- Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm (hay khả vi) trên \(\left[ a,b \right]\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \(\left( a,b \right)\) đồng thời tồn tại đạo hàm trái \(f'\left( {{b}^{-}} \right)\) và đạo hàm phải \(f'\left( {{a}^{+}} \right)\).
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({{x}_{0}}\) thì \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\).
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm \({{x}_{0}}\) nhưng hàm đó không có đạo hàm tại \({{x}_{0}}\).
B. Ý nghĩa của đạo hàm
a. Ý nghĩa hình học
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y =
f(x)\) tại điểm \(P\left( x_{0};f\left(
x_{0} \right) \right)\) là đường thẳng đi qua P với hệ số góc \(k = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) -
f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\) nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là \(k = f'\left( x_{0}
\right)\). P được gọi là tiếp điểm.
Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(P\left( x_{0};f\left( x_{0} \right)
\right)\) là đạo hàm \(f'\left(
x_{0} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến
Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_{0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( x_{0};f\left( x_{0} \right)
\right)\) là \(y - y_{0} = f'\left(
x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)\). Trong đó \(y_{0} = f\left( x_{0} \right)\).
Ví dụ: Cho hàm số \(y = \frac{8}{x};(x \neq
0)\).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 2\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình \(y
= - 2x + 8\).
Hướng dẫn giải
Với \(x_{0} \neq 0\) bất kì ta có:
\(y'\left( x_{0} \right) = \lim_{x
\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}}\)
\(= \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack
\frac{8\left( x_{0} - x \right)}{\left( x - x_{0} \right)x_{0}.x}
\right\rbrack = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( \frac{- 8}{x_{0}.x}
\right) = \frac{- 8}{{x_{0}}^{2}}\)
a) Với \(x_{0} = 2 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
y_{0} = 4 \\
y'(2) = - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 2\) là:
\(y - 4 = - 2(x - 2) = - 2x + 4\) hay \(y = - 2x + 8\)
b) Hệ số góc của tiếp tuyến có dạng \(y'\left( x_{0} \right) = -
\frac{8}{{x_{0}}^{2}}\) (\(x =
x_{0}\) là hoành độ tiếp điểm)
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y
= - 2x + 8\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = - 2\)
Ta có: \(- \frac{8}{{x_{0}}^{2}} = - 2
\Leftrightarrow {x_{0}}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0} = \pm
2\)
Với \(x_{0} = 2\) phương trình tiếp tuyến là \(y - 4 = - 2(x - 2) = - 2x +
8\) (loại do trùng với đường thẳng đã cho).
Với \(x_{0} = - 2\) phương trình tiếp tuyến là \(y - ( - 4) = - 2(x + 2) = - 2x
- 8\)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y
= - 2x - 8\).
b. Ý nghĩa vật lí
Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng \(s=f\left( t \right)\)
\(\Rightarrow\)Vận tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\) là: \(v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)\)
\(\Rightarrow\)Gia tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\) là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\).
\(a\left( {{t}_{0}} \right)=f''\left( {{t}_{0}} \right)=v'\left( {{t}_{0}} \right)\)
Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
\(Q=f\left( t \right)\)
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \({{t}_{0}}\):
\(I\left( {{t}_{0}} \right)=Q'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)\)
B. Giải Toán 11 Bài 1 SGK
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:
C. Giải Toán 11 Bài 1 SBT
Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
-------------------------------------------------
Trên đây là Lí thuyết và bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...
- Một số tài liệu liên quan:
- Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11
- Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
