VnDoc.com

Xác suất biến cố Toán 11: Cách giải nhanh và chính xác

Chuyên đề Toán 11 Có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính xác suất biến cố

A. Định nghĩa cổ điển của xác suất
B. Tính chất của xác suất
C. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
D. Bài tập tính xác suất của biến cố
E. Bài tập ôn luyện tính xác suất của biến cố có đáp án
F. Đáp án bài tập ôn luyện

Xác suất biến cố Toán 11 là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 mà học sinh cần nắm vững để làm nền tảng cho các dạng bài xác suất ở lớp 12 và các kỳ thi tốt nghiệp, đại học. Chuyên đề này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ khái niệm biến cố, phép thử, không gian mẫu, xác suất của biến cố, mà còn rèn luyện kỹ năng phân tích đề, nhận dạng dạng bài và tính toán nhanh, chính xác.

Trong bài viết Xác suất biến cố Toán 11: Cách giải nhanh và chính xác, chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn hệ thống lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải bài tập xác suất hiệu quả, cùng bộ bài tập minh họa có đáp án chi tiết giúp bạn dễ hiểu, dễ nhớ và áp dụng tốt trong quá trình học. Đây là tài liệu hữu ích dành cho học sinh, giáo viên và những ai đang ôn luyện chuyên đề Toán 11 – Xác suất biến cố theo chương trình mới.

A. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω, biến cố A ⊂ Ω. Xác suất của biến cố A kí hiệu là P(A) và được tính bằng công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

Trong đó:

n(A): số phần tử của A (các kết quả thuận lợi cho biến cố A).
n(Ω): số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Ví dụ. Xét phép thử: “gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 2 lần”.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”

B: “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”

C: “Kết quả của 2 lần gieo khác nhau”

c. Tính xác suất của các biến cố A, B, C.

Hướng dẫn giải

a. Không gian mẫu của phép thử: Ω = {SS, SN, NS, NN}, n(Ω) = 4

b. Ta có:

A = {SN, NS}

B = {SS, SN, NS}

C = {SN, NS}

c. Ta có: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = 0,5$ $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = 0,5$

$P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{3}{4} = 0,75$ $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{3}{4} = 0,75$

$P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = 0,5$ $P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = 0,5$

B. Tính chất của xác suất

Định lý:

P(∅) = 0, P(Ω) = 1
0 ≤ P(A) ≤ P(Ω), với mọi biến cố A
Nếu A, B xung khắc thì: P(A∪B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Hệ quả:

Với mọi biến cố $A$ và $\overline{A}$ $\overline{A}$ là biến cố đối của $A$, ta có: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

C. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B.

Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B và hai biến cố độc lập thì $P(A.B) = P(A).P(B)$

Ví dụ. Hai người cùng bắn vào bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6. Tính xác suất để hai người cùng bắn trúng đích.

Hướng dẫn giải

Gọi $A_{1},A_{2}$ $A_{1},A_{2}$ lần lượt là các biến cố người thứ nhất và người thứ hai bắn trúng đích

$A_{1},A_{2}$ $A_{1},A_{2}$ là các biến cố độc lập

Xác suất để hai người cùng bắn trúng đích: $P(A_{1}.A_{2}) = P(A_{1}).P(A_{2}) = 0,8.0,6 = 0,48$ $P(A_{1}.A_{2}) = P(A_{1}).P(A_{2}) = 0,8.0,6 = 0,48$

D. Bài tập tính xác suất của biến cố

Bài 1. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.

a. Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

b. Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Hướng dẫn giải

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang $6! = 720$ cách.

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi xen kẽ nhau $3!.3! + 3!.3! = 72$ cách.

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào02 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau 4.$3!.3! = 144$ cách.

+ Gọi $A$ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

+ Gọi $B$ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

+ Ta có $n(\Omega) = 720,\ n(A) = 72,\ n(B) = 144$ $n(\Omega) = 720,\ n(A) = 72,\ n(B) = 144$ $n(\Omega) = 720$ $n(\Omega) = 720$, $n(A) = 72$, $n(B) = 144$

Suy ra $P(A) = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ $P(A) = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$, $P(B) = \frac{144}{720} = \frac{1}{5}$ $P(B) = \frac{144}{720} = \frac{1}{5}$

Bài 2. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a. Cạnh của lục giác.

b. Đường chéo của lục giác.

c. Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.

Hướng dẫn giải

+ Vì lấy 2 điểm nên: $\ n(\Omega) = 15$ $\ n(\Omega) = 15$ $C_{6}^{2} = 15 \Rightarrow n(\Omega) = 15$ $C_{6}^{2} = 15 \Rightarrow n(\Omega) = 15$

+ Gọi các biến cố

A: “2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác”

B: “2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác”

C: “2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác”

$n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ $n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

$B = \overline{A} \Rightarrow P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ $B = \overline{A} \Rightarrow P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$n(C) = 3 \Rightarrow P(C) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ $n(C) = 3 \Rightarrow P(C) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Bài 3. Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 (kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 (kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2.

Hướng dẫn giải

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

$\Omega = \{(i,j)|i,j \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,36 \right\}\} \Rightarrow n(\Omega) = 36.36 = 1296$ $\Omega = \{(i,j)|i,j \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,36 \right\}\} \Rightarrow n(\Omega) = 36.36 = 1296$

$A = \{(i,j)|i \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,6 \right\},j \in \left\{ 13,\ 14,\ \ldots,36 \right\}\}$ $A = \{(i,j)|i \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,6 \right\},j \in \left\{ 13,\ 14,\ \ldots,36 \right\}\}$

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số)

Do đó theo quy tắc nhân $\ n(A) = 6.24 = 144$ $\ n(A) = 6.24 = 144$ $n(A) = 6*24 = 144$

Suy ra: $P(A) = \frac{144}{1296} = \frac{1}{9}$ $P(A) = \frac{144}{1296} = \frac{1}{9}$

Bài 4. Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Tính xác suất của các biến cố

A: “Số lần gieo không vượt quá ba” B: “Số lần gieo là năm”

C: “Số lần gieo là sáu”

Hướng dẫn giải

a. Không gian mẫu

$\Omega =$ $\Omega =${N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS}

$n(\Omega) = 7$ $n(\Omega) = 7$

b. Ta có:

$A = \left\{ N,\ SN,\ SSN \right\}$ $A = \left\{ N,\ SN,\ SSN \right\}$, $n(A) = 3 \Rightarrow P(A) = \frac{3}{7}$ $n(A) = 3 \Rightarrow P(A) = \frac{3}{7}$

$B = \left\{ SSSSN \right\}$ $B = \left\{ SSSSN \right\}$, $n(B) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{7}$ $n(B) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{7}$

$C = \left\{ SSSSSN,\ SSSSSS \right\}$ $C = \left\{ SSSSSN,\ SSSSSS \right\}$, $n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{2}{7}$ $n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{2}{7}$

Bài 5. Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho:

a. Hai bạn H và K đứng liền kề nhau.

b. hai bạn H và K không đứng liền kề nhau.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(Ω) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên Ω gồm các kết quả đồng khả năng.

a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,

B là biến cố “H đứng ngay trước K”

C là biến cố “K đứng ngay trước H”

Rõ ràng B và C xung khắc và A = B ∪ C.

* Tính n(B):

Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách. Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H, có 1 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có:

n(B) = 5! x 1 = 5!

* Tương tự: n(C) = 5!

Do đó P(A) = P(B) + P(C) = $\frac{5!}{6!} + \frac{5!}{6!} = \frac{1}{3}$ $\frac{5!}{6!} + \frac{5!}{6!} = \frac{1}{3}$

b. Ta thấy $\overline{A}$ $\overline{A}$ là biến cố: “H và K không đứng liền nhau”. Vậy:

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

E. Bài tập ôn luyện tính xác suất của biến cố có đáp án

Bài 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”

b. Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11”

Bài 2. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a.Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.

b.Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.

Bài 3. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.

Bài 4. Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.

a.Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.

Bài 5. Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là $0,7;0,\ 8$ $0,7;0,\ 8$. Hãy tính xác suất để:

a.Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.

b.Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.

Bài 6. Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói là 0.95, chuông báo lửa là 0.91 và cả 2 chuông báo là 0.88. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo.

Bài 7: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn dài theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam.

Bài 8: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.

Bài 9. Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình trong một chương trình khảo sát. Khi được khảo sát, học sinh A chọn ngẫu nhiên một đề trong số 30 đề thi trên. Tìm xác suất để: học sinh A bắt một đề gặp được đề trung bình.

Bài 10: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ.

F. Đáp án bài tập ôn luyện

Bài 1.

+ Không gian mẫu $\Omega = \{(i,j)|i,j \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,6 \right\}\} \Rightarrow n(\Omega) = 6.6 = 36$ $\Omega = \{(i,j)|i,j \in \left\{ 1,\ 2,\ \ldots,6 \right\}\} \Rightarrow n(\Omega) = 6.6 = 36$

a) Ta có biến cố đối $\overline{A} = \{\left\{ (i,j) \middle| i,j \in \left\{ \ 2,\ \ldots,6 \right\} \right\} \Rightarrow n\left( \overline{A} \right) = 25$ $\overline{A} = \{\left\{ (i,j) \middle| i,j \in \left\{ \ 2,\ \ldots,6 \right\} \right\} \Rightarrow n\left( \overline{A} \right) = 25$

$P(\overline{A}) = \frac{25}{36} \Rightarrow P(A) = \frac{11}{36}$ $P(\overline{A}) = \frac{25}{36} \Rightarrow P(A) = \frac{11}{36}$

b) Ta có:

$\overline{B} = \left\{ (5;6),\ (6;5),\ (6;6) \right\}$ $\overline{B} = \left\{ (5;6),\ (6;5),\ (6;6) \right\}$

$P(\overline{B}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \Rightarrow P(B) = \frac{11}{12}$ $P(\overline{B}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \Rightarrow P(B) = \frac{11}{12}$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

-----------------------------------------

Qua chuyên đề Xác suất biến cố Toán 11: Cách giải nhanh và chính xác, hy vọng bạn đã nắm vững các kiến thức cốt lõi về xác suất, biến cố và cách tính xác suất của biến cố trong chương trình Toán 11. Với các ví dụ minh họa, bài tập có đáp án chi tiết và hướng dẫn giải nhanh, bài viết giúp bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng làm bài và tự tin chinh phục mọi dạng đề thi.

Đừng quên lưu lại tài liệu này để ôn tập thường xuyên và tham khảo thêm các chuyên đề Toán 11 khác như Tổ hợp – Xác suất, Cấp số cộng, Cấp số nhân, Dãy số,… nhằm đạt kết quả học tập cao nhất. Hãy cùng chúng tôi tiếp tục khám phá những bài giảng Toán 11 hay, dễ hiểu và chuẩn cấu trúc mới nhất để hành trình học tập của bạn trở nên hiệu quả và thú vị hơn!

Tải về

Chọn file muốn tải về: