Xác suất biến cố Toán 11: Cách giải nhanh và chính xác

Bạn đang gặp khó khăn khi học phần Xác suất và biến cố trong Toán 11? Đây là một chuyên đề quan trọng nhưng lại khiến nhiều học sinh "ngán ngẩm" vì tính logic và xác suất cao của nó. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, phân biệt rõ các loại biến cố, đồng thời chia sẻ cách giải nhanh và chính xác các bài tập thường gặp trong đề kiểm tra và đề thi. Cùng bắt đầu chinh phục xác suất một cách dễ dàng hơn nhé!

A. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Trong đó:

• n(A): số phần tử của A (các kết quả thuận lợi cho biến cố A).
•  n(Ω): số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Ví dụ. Xét phép thử: “gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 2 lần”.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”

B: “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”

C: “Kết quả của 2 lần gieo khác nhau”

c. Tính xác suất của các biến cố A, B, C.

Hướng dẫn giải

a. Không gian mẫu của phép thử: Ω = {SS, SN, NS, NN}, n(Ω) = 4

b. Ta có:

A = {SN, NS}

B = {SS, SN, NS}

C = {SN, NS}

c. Ta có: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{2}{4}=0,5$

$P(B)=\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{3}{4}=0,75$

$P(C)=\frac{n(C)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{2}{4}=0,5$

B. Tính chất của xác suất

Hệ quả:

Với mọi biến cố $A$ và $\bar{A}$ là biến cố đối của $A$, ta có: $P(\bar{A})=1-P(A)$

C. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B.

Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B và hai biến cố độc lập thì $P(A.B)=P(A).P(B)$

Ví dụ. Hai người cùng bắn vào bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6. Tính xác suất để hai người cùng bắn trúng đích.

Hướng dẫn giải

Gọi $A_1,A_2$ lần lượt là các biến cố người thứ nhất và người thứ hai bắn trúng đích

$A_1,A_2$ là các biến cố độc lập

Xác suất để hai người cùng bắn trúng đích: $P(A_1.A_2)=P(A_1).P(A_2)=0,8.0,6=0,48$

D. Bài tập tính xác suất của biến cố

Hướng dẫn giải

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang $6!=720$ cách.

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi xen kẽ nhau $3!.3!+3!.3!=72$ cách.

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào02 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau 4.$3!.3!=144$ cách.

+ Gọi $A$ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

+ Gọi $B$ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

+ Ta có $n(\mathrm{\Omega })=720,n(A)=72,n(B)=144$$n(\mathrm{\Omega })=720$, $n(A)=72$, $n(B)=144$

Suy ra $P(A)=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}$, $P(B)=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}$

Hướng dẫn giải

+ Vì lấy 2 điểm nên: $n(\mathrm{\Omega })=15$$C_6^2=15\Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=15$

+ Gọi các biến cố

A: “2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác”

B: “2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác”

C: “2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác”

$n(A)=6\Rightarrow P(A)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

$B=\bar{A}\Rightarrow P(B)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

$n(C)=3\Rightarrow P(C)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$

Hướng dẫn giải

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j)|i,j\in \{1,2,\dots ,36\}\}\Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=36.36=1296$

$A=\{(i,j)|i\in \{1,2,\dots ,6\},j\in \{13,14,\dots ,36\}\}$

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số)

Do đó theo quy tắc nhân$n(A)=6.24=144$ $n(A)=6\ast 24=144$

Suy ra: $P(A)=\frac{144}{1296}=\frac{1}{9}$

Hướng dẫn giải

a. Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\{N,SN,SSN,SSSN,SSSSN,SSSSN,SSSSS\}$$\mathrm{\Omega }=${N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS}

$n(\mathrm{\Omega })=7$

b. Ta có:

$A=\{N,SN,SSN\}$, $n(A)=3\Rightarrow P(A)=\frac{3}{7}$

$B=\left\{SSSSN\right\}$, $n(B)=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{7}$

$C=\{SSSSSN,SSSSSS\}$, $n(C)=2\Rightarrow P(C)=\frac{2}{7}$

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(Ω) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên Ω gồm các kết quả đồng khả năng.

a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,

B là biến cố “H đứng ngay trước K”

C là biến cố “K đứng ngay trước H”

Rõ ràng B và C xung khắc và A = B ∪ C.

* Tính n(B):

Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách. Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H, có 1 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có:

n(B) = 5! x 1 = 5!

* Tương tự: n(C) = 5!

Do đó P(A) = P(B) + P(C) = $\frac{5!}{6!}+\frac{5!}{6!}=\frac{1}{3}$

b. Ta thấy $\bar{A}$ là biến cố: “H và K không đứng liền nhau”. Vậy:

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

E. Bài tập ôn luyện tính xác suất của biến cố có đáp án

Bài 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”

b. Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11”

Bài 2. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a.Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.

b.Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.

Bài 3. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.

Bài 4. Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.

a.Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.

Bài 5. Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là $0,7;0,8$. Hãy tính xác suất để:

a.Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.

b.Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.

Bài 6. Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói là 0.95, chuông báo lửa là 0.91và cả 2 chuông báo là 0.88. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

-----------------------------------------

Xác suất biến cố là phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 11, không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra mà còn là nền tảng cho Toán lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia. Hy vọng với các phương pháp giải nhanh, mẹo làm bài và hệ thống kiến thức được trình bày rõ ràng trong bài viết, bạn sẽ tự tin khi gặp dạng toán này. Đừng quên luyện tập thường xuyên và theo dõi chúng tôi để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Toán 11 hữu ích nhé!