Lí thuyết và bài tập hàm số lượng giác

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Lí thuyết và bài tập hàm số lượng giác. Nội dung tài liệu bao gồm lí thuyết hàm số lượng giác trọng tâm chương trình học, hướng dẫn làm bài tập SGK, SBT, các phương pháp giải toán và bài tập trắc nghiệm hàm lượng giác tổng hợp. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Toán 11: Hàm số lượng giác

I.Lí thuyết hàm số lượng giác

1.Các hằng đẳng thức

\(1.{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\)	\(2.\tan x.\cot x=1\)
\(3.{{\tan }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)	\(4.{{\cot }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)

2.Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y= f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T\ne 0\) sao cho với mọi _{\(x\in D\)} ta có: _{\(x\pm T\in D,f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\)}

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T

3.Các hàm số lượng giác

a. Hàm số _{\(y=\sin x\)}

• Tập xác định: _{\(D=\mathbb{R}\)}
• \(-1\le \sin x\le 1\)
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng _{\(\left( \frac{-\pi }{2}+k2\pi ,\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)\)}, nghịch biến trên mỗi khoảng _{\(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ,\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)\)}
• Hàm số _{\(y=\sin x\)} là hàm số lẻ nên có đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
• Hàm số _{\(y=\sin x\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì _\(T=2\pi\)

b. Hàm số _{\(y=\cos x\)}

• Tập xác định: _{\(D=\mathbb{R}\)}
• \(-1\le \cos x\le 1\)
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng _{\(\left( k2\pi ,\pi +k2\pi \right)\)}, nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi ,k2\pi \right)\)
• Hàm số _{\(y=\cos x\)} là hàm số lẻ nên có đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng
• Hàm số _{\(y=\cos x\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì _\(T=2\pi\)

c. Hàm số _{\(y=\tan x\)}

• Tập xác định: _{\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\)}
• Tập giá trị _{\(\mathbb{R}\)}
• _{\(y=\tan x\)}là hàm số lẻ
• _{\(y=\tan x\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\)
• Hàm số đồng biến trên khoảng _{\(\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\)} Đồ thi nhận mỗi đường thẳng _{\(y=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)} làm một đường tiệm cận

d, Hàm số _{\(y=\cot x\)}

• Tập xác định: _{\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\)}
• Tập giá trị
• _{\(y=\cot x\)} là hàm số lẻ
• _{\(y=\cot x\)} là hàm số tuần hoàn với chu kì _\(T=\pi\)
• Hàm số nghịch biến trên khoảng _{\(\left( -\pi +k\pi ,k\pi \right)\)}
• Đồ thi nhận mỗi đường thẳng _{\(y=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)} làm một đường tiệm cận

II.Các phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác 

III.Giải bài tập SGK

Bài 1: (Trang 17 SGK Giải tích lớp 11)

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-π; 3π/2] để hàm số y = tanx

a) Nhận giá trị bằng 0
b) Nhận giá trị bằng 1
c) Nhận giá trị dương
d) Nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải bài 1:

a) Trục hoành cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3π/2]) tại ba điểm có hoành độ -π; 0; π. Do đó trên đoạn [-π; 3π/2] chỉ có ba giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0, đó là x = -π; x = 0; x = π.

b) Đường thẳng y = 1 cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3π/2]) tại ba điểm có hoành độ π/4; π/4; ±π. Do đó trên đoạn [-π; 3π/2] chỉ có ba giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 1, đó là x = -3π/4; x = π/4; x = 5π/4

c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3π/2]) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng (-π; -π/2); (0; π/2); (π; 3π/2). Vậy trên đoạn [-π; 3π/2], các giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị dương là x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2).

d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3π/2]) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng (-π/2; 0); (π/2; π). Vậy trên đoạn [-π; 3π/2], các giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị dương là x ∈ (-π/2; 0) ∪ (π/2; π)

Bài 2: (Trang 17 SGK Giải tích lớp 11)

Tìm tập xác định của các hàm số:

Hướng dẫn giải bài 2:

a) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi sinx = 0. Từ đồ thị của hàm số y = sinx suy ra các giá trị này của x là x = kπ. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là R\{kπ, (k ∈ Z)}.

b) Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x nên hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi cosx = 1. Từ đồ thị của hàm số y = cosx suy ra các giá trị này của x là x = k2π. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là R\{k2π, (k ∈ Z)}.

c) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi x - π/3 = π/2 + kπ ⇔ x = 5π/6 + kπ (k ∈ Z) . Hàm số đã cho có tập xác định là R\{5π/6 + kπ, (k ∈ Z)}

d) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi x + π/6 = kπ ⇔ x = -π/6 + kπ, (k ∈ Z). Hàm số đã cho có tập xác định là R\{-π/6 + kπ, (k ∈ Z)}.

Bài 3: (Trang 17 SGK Giải tích lớp 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|.

Hướng dẫn giải bài 3:

Ta có Mà sinx < 0 ⇔ x ∈ (π + k2π, 2π + k2π), k ∈ Z nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số y = IsinxI

Bài 4: (Trang 17 SGK Giải tích lớp 11)

Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

Hướng dẫn giải bài 4:

Do sin (t + k2π) = sint, ∀ k ∈ Z (tính tuần hoàn của hàm số f(t) = sint), từ đó sin(2π + k2π) = sin2x => sin2(tx + kπ) = sin2x, ∀ k ∈ Z.

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số y = sin2x, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài π (đoạn [-π/2; π/2] chẳng hạn, rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài π.

Với mỗi x₀ ∈ [-π/2; π/2] thì x = 2x₀ ∈ [-π; π], điểm M(x; y = sinx) thuộc đoạn đồ thị (C) của hàm số y = sinx, (x ∈ [-π; π]) và điểm M'(x₀; y₀ = sin2x₀) thuộc đoạn đồ thị (C') của hàm số y = sin2x, (x ∈[-π/2; π/2]) (h.5).

Chú ý rằng: x = 2x₀ => sinx = sin2x₀ do đó hai điểm M', M có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của M' bằng một nửa hoành độ của M. Từ đó ta thấy có thể suy ra: Với mỗi M(x; y) ∈ (C), gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống trục Oy và M' là trung điểm của đoạn HM thì M' (x/2; y) ∈ (C') (khi m vạch trên (C) thì M' vạch trên (C')). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của (C') (các điểm M' ứng với các điểm M của (C) với hoành độ ∈ {0; ±π/6; ±π/3; ±π/2}).

Bài 5: (Trang 18 SGK Giải tích lớp 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = 1/2.

Hướng dẫn giải bài 5:

Cosx = 1/2 là phương trình xác định hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1/2 và đồ thị y = cosx.

Từ đồ thị đã biết của hàm số y = cosx, ta suy ra x = ±π/3 + k2π, (k ∈Z), (Các em học sinh nên chú ý tìm giao điểm của đường thẳng với đồ thị trong đoạn [-π; π] và thấy ngay rằng trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với x = ±π/3 rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của x là x = ±π/3 + k2π, (k ∈Z)).

Bài 6: (Trang 18 SGK Giải tích lớp 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải bài 6:

Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn [-π; π] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; π). Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm đó nhận giá trị dương là (0 + k2π; π + k2π) hay (k2π; π + k2π) trong đó k là một số nguyên tùy ý.

V. Bài tập trắc nghiệm ôn tập hàm số lượng giác

Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

\(A. y=\sin 5x\)	\(B.y=3\sin 2x\)
\(C. y=4\sin x\)	\(D. y=\left| \sin x \right|\)

Câu 2: Điều kiện xác định của hàm số _{\(y=\cot \left( x-\frac{2\pi }{5} \right)\)} là:

\(A. x\ne \frac{2\pi }{5}+k2\pi\)	\(B. x\ne \frac{-2\pi }{5}+k2\pi\)
\(C. x\ne \frac{2\pi }{5}+k\pi\)	\(D. x\ne \frac{-2\pi }{5}+k\pi\)

Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số: _{\(y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}\)}

\(A. -3\)
\(B. 1\)
\(C. -2\)
\(D. 3\)

Câu 4: Điều kiện xác định của hàm số _{\(y=f(x)=\frac{2\cos x-1}{\sin x}\)}

\(A. x\ne k\pi\)
\(B. x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi\)
\(C. x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi\)
\(D. x\ne k2\pi\)

Câu 5: Hàm số _{\(y=\sin \frac{x}{5}\)} có chu kì bằng bao nhiêu?

\(A. 7\pi\)	\(B. 5\pi\)
\(C. 2\pi\)	\(D. 10\pi\)

Câu 6: Hàm số _{\(y=\cos x\)} đồng biến trên khoảng nào sau đây?

\(A. \left( 0,\frac{\pi }{3} \right)\)	\(B. \left( -\frac{\pi }{2},0 \right)\)
\(C. \left( \frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3} \right)\)	\(D. \left( 0,\pi \right)\)

Câu 7: Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?

\(A. y=\sin x\)	\(B.y=-\cos x\)
\(C. y=-\sin x\)	\(D. y=\sin 2x\)

Câu 8: Hàm số _{\(y=\sin 2x\)} nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

\(A. \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)	\(C. \left( \frac{\pi }{2},\pi \right)\)
\(B. \left( 0,\pi \right)\)	\(D. \left( \frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2} \right)\)

Câu 9: Đồ thị hàm số _{\(y=\cos x-\frac{\pi }{4}\)} đi qua điểm nào sau đây?

\(A. \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\)	\(C. \left( \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right)\)
\(B. \left( -\frac{\pi }{4},0 \right)\)	\(D. \left( \frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{4} \right)\)

Câu 10: Hàm số \(y=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\) xác định khi và chỉ khi:

\(A. x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi\)	\(C. x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi\)
\(B. x\ne \frac{-\pi }{2}+k2\pi\)	\(D. x\ne \frac{-\pi }{2}+k\pi\)

Câu 11: Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu _{\(0< x<\frac{\pi }{2}\)}

\(A. y=\cot \left( x+\pi \right)\)	\(B. y=\tan \left( x+\pi \right)\)
\(C. y=\cos \left( x+\pi \right)\)	\(D. y=\sin \left( x+\pi \right)\)

Câu 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: _{\(y=\sqrt{4\sin x+5}\)} lần lượt là:

A. 3 và 1
B. 3 và 2
C. 9 và 1
D. 3 và 0

Câu 13: Tập xác định của hàm số: _{\(y=\frac{1}{\sin x}+3\tan x\)}

\(A. x\ne \pi +k\pi\)	\(C. x\ne \frac{k\pi }{4}\)
\(B. x\ne \frac{k\pi }{3}\)	\(D. x\ne \frac{k\pi }{2}\)

Câu 14: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=8-4\cos \left( \frac{\pi }{4}-3x \right)\) là:

\(A. M=8,m=4\)	\(B. M=14,m=4\)
\(C. M=12,m=4\)	\(D. M=6,m=4\)

Câu 15: Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(A. \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{k\pi }{2}\)
\(B. \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\)
\(C. \tan x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi\)
\(D. \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k\pi\)

Câu 16: Điều kiện xác định của hàm số: _{\(y=\cos \sqrt{x-1}\)} là:

\(A. x\ge 1\)	\(B. x\ne 1\)
\(C. x>1\)	\(D. x-1\ne 0\)

Câu 17: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?

\(A. y=-\cos x\)	\(B. y=\cos 2x\)
\(C. y=\sin x\)	\(D. y=\cos x\)

Câu 18: Tập giá trị của hàm số _{\(y={{\sin }^{2}}x+\sin x+1\)} là:

\(A. \left[ 1,2 \right]\)	\(B. \left[ -1,2 \right]\)
\(C. \left[ \frac{3}{4},1 \right]\)	\(D. \left[ \frac{3}{4},3 \right]\)

Câu 19: Điều kiện xác định của hàm số: _{\(y=\frac{{{\sin }^{2}}x+3\cos x+1}{\sin \frac{x}{2}}\)}

\(A. x\ne \frac{k\pi }{4}\)	\(B. x\ne k\pi\)
\(C. x\ne \frac{k\pi }{2}\)	\(D. x\ne k2\pi\)

Câu 20: Đồ thị hàm số _{\(y=\cos x+1\)} đi qua điểm nào sau đây?

\(A. (0, 2)\)
\(B. (1, 0)\)
\(C. \left( \pi ,1 \right)\)
\(D. \left( 2,\pi \right)\)

Mời các bạn tham khảo đáp án trắc nghiệm tại đây: Đáp án trắc nghiệm hàm số lượng giác

Tải thêm tài liệu tại: Chuyên đề toán 11

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Lí thuyết và bài tập hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Bài học tiếp theo: Phương trình lượng giác cơ bản

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

• Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
• Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
• Phương trình lượng giác cơ bản