VnDoc.com

Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lí thuyết: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Một số phương trình lượng giác thường gặp

A. Lí thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp
B. Ví dụ minh họa giải phương trình lượng giác
C. Giải bài tập SGK Toán 11 Kết nối tri thức
D. Giải Vở Bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

Lí thuyết: Một số phương trình lượng giác thường gặp được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Phương trình lượng giác. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bản quyền thuộc về VnDoc
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Phương trình có dạng: $a\sin x+b=0, a\cos x+b=0, a\tan x+b=0, a\cot x+b=\left( a,b\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$

Phương pháp: Đưa về dạng phương trình cơ bản như:

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương trình có dạng: . Với

Phương pháp: Đặt ẩn đưa về dạng phương trình bậc hai với

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Phương trình có dạng:

Phương pháp: Chia cả 2 vế cho ta được:

$\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

Nếu $\left| \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|>1$ thì phương trình vô nghiệm

Nếu thì đặt $\cos \beta =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}, \sin \beta =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

Đưa phương trình về dạng:

Chú ý: Phương trình có nghiệm khi

Dạng 4.Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

Phương trình có dạng: $a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d$

Phương pháp:

- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.

- Nếu . Chia cả 2 vế của phương trình cho rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx:

Dạng 5. Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx

Phương trình có dạng:

Phương pháp: Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right),t\in \left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]$

Khi đó _.Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

B. Ví dụ minh họa giải phương trình lượng giác

Ví dụ 1. Giải phương trình $sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}cos^{2}x = 0.$

A. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ B. $x = \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$

Gợi ý:

Đây là dạng toán giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin (x) và cos (x). Ta sẽ giải bằng phương pháp chia cả 2 vế cho cos² (x) để đưa về dạng giải phương trình bậc 2 đối với 1 hàm số lượng giác là tan (x).

Hướng dẫn giải:

Ta có

$\begin{matrix} sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}cos^{2}x = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} - \frac{\left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x}{cos^{2}x} + \frac{\sqrt{3}cos^{2}x}{cos^{2}x} = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow tan^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\tan x + \sqrt{3}\ = 0 \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \tan x = 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{matrix} \right.\ \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Chọn D

Ví dụ 2. Tính tổng các nghiệm của phương trình $cos^{2}x - sin2x = \sqrt{2} + sin^{2}x$ trên khoảng $(0;2\pi).$

A. $T = \frac{7\pi}{8}$ B. $T = \frac{21\pi}{8}$ C. $T = \frac{11\pi}{4}$ D. $T = \frac{3\pi}{4}$

Gợi ý:

Đây là dạng toán giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin (x) và cos (x). Ta sẽ biến đổi bằng các công thức lượng giác dể đưa về dạng giải phương trình lượng giác cơ bản.

Hướng dẫn giải:

Phương trình $\Leftrightarrow cos^{2}x - sin^{2}x - sin2x = \sqrt{2} \Leftrightarrow cos2x - sin2x = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi}{4} = k2\pi$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{8} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Do $0 < x < 2\pi\overset{}{\rightarrow}0 < - \frac{\pi}{8} + k\pi < 2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{1}{8} < k < \frac{17}{8}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} k = 1 \rightarrow x = \frac{7\pi}{8} \\ k = 2 \rightarrow x = \frac{15\pi}{8} \end{matrix} \right.$ $\overset{}{\rightarrow}T = \frac{7\pi}{8} + \frac{15\pi}{8} = \frac{11}{4}\pi.$

Chọn C

Ví dụ 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất $x_{0}$ của $3sin3x - \sqrt{3}cos9x = 1 + 4sin^{3}3x.$

A. $x_{0} = \frac{\pi}{2}.$ B. $x_{0} = \frac{\pi}{18}.$ C. $x_{0} = \frac{\pi}{24}.$ D. $x_{0} = \frac{\pi}{54}.$

Gợi ý:

Sử dụng công thức lượng giác dể đưa về dạng giải phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin (x) và cos (x). Tìm nghiệm và so sánh xem nghiệm nào là dương nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Phương trình $\Leftrightarrow 3sin3x - 4sin^{3}3x - \sqrt{3}cos9x = 1 \Leftrightarrow sin9x - \sqrt{3}cos9x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin9x - \frac{\sqrt{3}}{2}cos9x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( 9x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin\left( 9x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin\frac{\pi}{6}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 9x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 9x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{9} \\ x = \frac{7\pi}{54} + \frac{k2\pi}{9} \end{matrix} \right.$

$\overset{Cho > 0}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{18} \\ \frac{7\pi}{54} + \frac{k2\pi}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{12}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{7\pi}{54} \end{matrix} \right.\ .$

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{\pi}{18}.$

Chọn B

Ngoài ra, khi làm trắc nghiệm, ta có thể thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình $sin5x + \sqrt{3}cos5x = 2sin7x$ trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ là?

A. B. C. D.

Gợi ý:

Đây là dạng toán giải phương trình bậc nhất đối với sin (x) và cos (x). Ta sẽ biến đổi bằng các công thức lượng giác dể đưa về dạng giải phương trình lượng giác cơ bản rồi xét nghiệm theo các giá trị nguyên của k.

Hướng dẫn giải:

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin5x + \frac{\sqrt{3}}{2}cos5x = sin7x \Leftrightarrow \sin\left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) = sin7x$

$\Leftrightarrow sin7x = \sin\left( 5x + \frac{\pi}{3} \right)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7x = 5x + \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 7x = \pi - \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) + k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{6} \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

⏺ $0 < \frac{\pi}{6} + k\pi < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}k = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{6}.$

⏺ $0 < \frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} k = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{18} \\ k = 1 \rightarrow x = \frac{2\pi}{9} \\ k = 2 \rightarrow x = \frac{7\pi}{18} \end{matrix} \right.\ .$

Vậy có nghiệm thỏa mãn.

Chọn D

C. Giải bài tập SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải sách giáo khoa toán 11 kết nối tri thức

D. Giải Vở Bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải SBT Toán 11 sách kết nối tri thức

-------------------------------------------------

Trên đây là Lí thuyết: Một số phương trình lượng giác thường gặp VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

- Một số tài liệu liên quan:

Tải về

Chọn file muốn tải về: