Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa hoặc giới hạn tại một điểm
Giới hạn hàm số có đáp án
Bạn đang tìm tài liệu tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa hoặc giới hạn tại một điểm trong chương trình Toán 11? Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ kiến thức trọng tâm, phương pháp giải chi tiết và bộ bài tập Toán 11 có đáp án giúp học sinh dễ dàng nắm vững bản chất giới hạn. Với ví dụ minh họa rõ ràng và hướng dẫn từng bước, đây sẽ là tài liệu hữu ích để ôn luyện kiểm tra và củng cố kỹ năng giải Toán 11 hiệu quả.
I. Phương pháp tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu 
\(f(x)\) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng \(f\left(
x_{0} \right)\)
+ Nếu \(f(x)\) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
II. Ví dụ minh họa tính giới hạn bằng định nghĩa
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x^{3} + 2x^{2} +
1}{2x^{5} + 1}\) là:
A. \(- 2\). B. \(- \frac{1}{2}\). C. \(\frac{1}{2}\). D. \(2\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: \(\lim_{x \rightarrow -
1}\frac{x^{3} + 2x^{2} + 1}{2x^{5} + 1} = \frac{( - 1)^{3} + 2.( -
1)^{2} + 1}{2.( - 1)^{5} + 1} = - 2\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\frac{x^{3}
+ 2x^{2} + 1}{2x^{5} + 1} + CACL. + x = - 1 + 10^{- 9}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: \(\left. \ \lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x^{3} +
2x^{2} + 1}{2x^{5} + 1} \right|_{x \rightarrow - 1 + 10^{- 9}}\) và so đáp án.
Câu 2. \(\lim_{x \rightarrow -
2}\frac{4x^{3} - 1}{3x^{2} + x + 2}\) bằng:
A\(- \infty\). B. \(- \frac{11}{4}\). C. \(\frac{11}{4}\). D. \(+ \infty\)
Hướng dẫn giải
Chọn B
\(\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{4x^{3} -
1}{3x^{2} + x + 2} = \frac{- 11}{4}\).
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 1}\frac{x + 1}{x - 2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. \(-
2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):limx_{n}
= 1\) ta có: \(\lim\frac{x_{n} +
1}{x_{n} - 2} = - 2\)
Vậy \(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x + 1}{x
- 2} = - 2\).
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 2}\left( x^{3} + 1 \right)\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. 9 D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 1}\frac{3x + 2}{2x - 1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. 5 D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):limx_{n}
= 2\) ta có: \(\lim_{x \rightarrow
1}\frac{3x + 2}{2x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{3x_{n} + 2}{2x_{n}
- 1} = \frac{3.1 + 2}{2.1 - 1} = 5\)
III. Bài tập vận dụng có đáp án
Câu 1. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. \(\frac{1}{4}\)
Câu 2. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow + \infty}\frac{x + 3}{x - 2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. 1
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow - \infty}\frac{2x^{2} - x + 1}{x + 2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. 1
Câu 4. Cho hàm số \(f(x) =
\sqrt{\frac{4x^{2} - 3x}{(2x - 1)\left( x^{3} - 2 \right)}}\). Chọn kết quả đúng của \(\lim_{x \rightarrow
2}f(x)\):
A. \(\frac{5}{9}\). B. \(\frac{\sqrt{5}}{3}\). C. \(\frac{\sqrt{5}}{9}\). D. \(\frac{\sqrt{2}}{9}\).
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{2x}\) bằng định nghĩa.
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. 1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 2^{-}}\frac{3x - 1}{x - 2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. 1
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 1}\frac{2x^{2} + x - 3}{x - 1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. 5 C.-2 D. 1
Câu 9. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow 2}\frac{x + 1}{(2 - x)^{4}}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. -2 D. 1
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số \(\lim_{x
\rightarrow + \infty}\frac{3x^{2}}{2x^{2} + 1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+ \infty\) B. \(- \infty\) C. \(\frac{3}{2}\) D. 1
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
------------------------------------------------
Trên đây là hệ thống kiến thức và bài tập tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa hoặc giới hạn tại một điểm dành cho chương trình Toán 11 kèm đáp án chi tiết. Hy vọng tài liệu giúp bạn hiểu sâu bản chất giới hạn và vận dụng thành thạo vào bài tập. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Toán 11 mới nhất, bám sát chương trình và phù hợp cho ôn thi giữa kỳ – cuối kỳ.
