Cách giải bất phương trình lượng giác lớp 11

Bất phương trình lượng giác là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, thường gây khó khăn cho học sinh do đặc thù kết hợp giữa kiến thức về hàm số lượng giác và phương pháp giải bất phương trình. Việc hiểu đúng bản chất và áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác sẽ giúp bạn giải nhanh và chính xác các dạng bài. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải bất phương trình lượng giác lớp 11 theo từng bước cụ thể, đi kèm bài tập lượng giác Toán 11 có đáp án để bạn dễ dàng luyện tập, kiểm tra kiến thức và tự tin trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ.

1. Phương pháp giải bất phương trình

Muốn tìm được nghiệm của bất phương trình lượng giác ta phải đưa về dạng đơn giản. Cụ thể:

– Phương pháp 1: Đưa bất PT lượng giác về dạng cơ bản:

.

Thông thường ta dùng đường tròn lượng giác để tìm các họ nghiệm tương ứng.

– Phương pháp 2: Viết bất phương trình về tích hoặc thương các hàm số lượng giác cơ bản. Xét dấu các thừa số từ đó chọn nghiệm thích hợp.

2. Cách giải bất phương trình lượng giác

Các bất phương trình lượng giác cơ bản cần ghi nhớ là: cos x ≥ a;  sin x ≥ a; tan x ≥ a; cot a ≥ a

cos x ≥ a

• Nếu a > 1 thì bất phương trình vô nghiệm
• Nếu a = 1 thì bất phương trình có nghiệm là:

x = k2π; (k ∈ Z)

• Nếu -1 < a < 1, bất phương trình có nghiệm 

-arccos a + k2π ≤ x ≤ arccos a + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu a ≤ 1 bất phương trình có vô số nghiệm

sin x ≥ a

• Nếu a > 1 thì bất phương trình vô nghiệm
• Nếu a = 1 thì bất phương trình có nghiệm là:

x = π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu -1 < a < 1, bất phương trình có nghiệm

-arcsin a + k2π ≤ x ≤ arcsin a + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu a ≤ 1 bất phương trình có vô số nghiệm

tan x ≥ a có nghiệm là 

arctan a + kπ ≤ x < π/2 + kπ; (k ∈ Z)

cot x ≥ a có nghiệm là

kπ < a < arccot a +  + kπ; (k ∈ Z)

3. Ví dụ minh họa giải bất phương trình lượng giác

Huướng dẫn giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với:

(sinx - cosx + 1). (sinx + cos x - 1) >0

⇔ sin²x - (1 - cosx)² > 0

⇔ 1 - cos²x - (1 - 2cosx + cos²x) > 0

⇔ 2cos²x - 2cosx  < 0

⇔ 0 < cosx < 1

⇔\(\left\{ \begin{gathered} - \frac{\pi }{2} + k2\pi < x < - \frac{\pi }{2} + k2\pi \hfill \\ x \ne k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.\) ; (k ∈ Z)

Hướng dẫn giải

Ta đặt: t = sinx; t ∈ [-1; 1]

Bất phương trình tương đương với

5 + 2(1 - 2t²) ≤ 3|2t - 1||

⇔ 7 - 4t² ≤ 3|2t - 1|

Dựa vào 2 ví dụ vừa rồi cùng với phương pháp giải bất phương trình lượng giác ở trên các em có thể làm được các bài tập tương tự.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\sin x + \cos x + 2 > 0,\forall x\) nên hàm số có tập xác định là \(D\mathbb{= R}\).

Xét phương trình ẩn \(x\):

\(y = \frac{\sin x + 2cosx + 1}{\sin x + \cos x + 2}\)

\(\Leftrightarrow (y - 1)\sin x + (y - 2)\cos x = 1 - 2y\).

Phương trình này có nghiệm \(\Leftrightarrow (y - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \geq (1 - 2y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow 2y^{2} + 2y - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 1\).

Vì phương trình luôn có nghiệm, suy ra \(\left\{ \begin{matrix} \min_{x\mathbb{\in R}}y = - 2 = m \\ \max_{x\mathbb{\in R}}y = 1 = M \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow M^{2} - m^{2} = 1 - 4 = - 3\).

Hướng dẫn giải

Biến đổi về dạng: a^y + b^y ≥ 1

Chia hai vế của (1) cho (1 + x²)^{cos4x + 3} > 0 ta được:

(1) ⇔ \(\left( \frac{2x}{1 + x^{2}} \right)^{cos4x\ + \ 3} + \left( \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} \right)^{cos4x\ + \ 3} \geq 1\) (2).

Tìm ra nghiệm của (1):

Vì 0 < x < 1 nên: \(0 < \frac{2x}{1 + x^{2}} < 1,\) \(0 < \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} < 1\) và \(\left( \frac{2x}{1 + x^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} \right)^{2} = 1\)

Và cos4x + 3 ≥ 2 nên:

\(\left( \frac{2x}{1+ x^{2}} \right)^{cos4x\ + \ 3} + \left( \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}\right)^{cos4x\ + \ 3}\)\(\leq \left( \frac{2x}{1 + x^{2}} \right)^{2} +\left( \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} \right)^{2} = 1\).

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2

⇔ cos4x = -1 ⇔ x = \(\frac{\pi}{4}\) (vì 0 < x < 1).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = \(\frac{\pi}{4}\).

Cách khác: Đặt x = tan t, t ∈\(\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)\) nên 0 < x <1 ⇔ 0 < t < \(\frac{\pi}{4}\).

(2) ⇔ (sin2t)^{cos4x + 3} + (cos2t)^{cos4x + 3} ≥ 1.

---------------------------------------------------------------

Việc nắm vững cách giải bất phương trình lượng giác lớp 11 không chỉ giúp bạn học tốt chương trình Toán hiện tại mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các chuyên đề nâng cao ở lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia. Qua các ví dụ minh họa, phương pháp giải cụ thể và bài tập lượng giác Toán 11 có đáp án trong bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ cách tiếp cận từng dạng bất phương trình và tự tin hơn khi gặp các bài toán tương tự.

Để học tốt phần này, bạn nên thường xuyên luyện tập, kết hợp ôn lại công thức lượng giác, vẽ bảng biến thiên và nắm vững quy tắc xét dấu. Hãy lưu lại bài viết để tiện tra cứu khi cần và đừng quên theo dõi thêm nhiều nội dung học tập hữu ích khác tại website – nơi cung cấp kiến thức Toán học lớp 11 đầy đủ, dễ hiểu và bám sát chương trình SGK.