Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn của hàm số lượng giác

Phương pháp tính giới hạn hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn hàm số lượng giác

A. Công thức tính giới hạn hàm lượng giác
- Định lý kẹp chặt
- Giới hạn hàm lượng giác
B. Bài tập tính giới hạn của hàm lượng giác

Trong chương trình Toán 11, giới hạn của hàm số lượng giác là một chủ đề quan trọng, thường xuất hiện trong bài kiểm tra, đề thi học kỳ và kỳ thi THPT. Các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức về hàm lượng giác mà còn phải vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi, giới hạn cơ bản và phương pháp rút gọn biểu thức.

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ bản chất của giới hạn hàm số lượng giác, hệ thống hóa các phương pháp tính phổ biến và cung cấp hướng tiếp cận bài toán một cách logic. Qua đó, bạn có thể nâng cao kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn khi gặp các dạng toán giới hạn trong chương trình Toán 11.

A. Công thức tính giới hạn hàm lượng giác

Định lý kẹp chặt

Nếu $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ và $\underset{x \rightarrow x_{0}}{Lim}g(x) = \underset{x \rightarrow x_{0}}{Lim}h(x) = L$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{Lim}f(x) = L$ .

Giới hạn hàm lượng giác

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$

Hệ quả: Nếu $\lim_{x \rightarrow x_{0}}u(x) = 0$ thì $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(ax)}{ax} = 1$

Tìm giới hạn của hàm số lượng giác có dạng $\frac{0}{0}$ ta làm như sau:

Biến đổi tổng thành tích
Biến đổi để áp dụng giới hạn $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

B. Bài tập tính giới hạn của hàm lượng giác

a. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm giới hạn $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin2x}{\sin\frac{x}{2}}\ \ .$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin2x}{\sin\frac{x}{2}}\ \ = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{sin2x}{2x}}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\ \ .\frac{2x}{\frac{x}{2}} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{sin2x}{2x}}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\ .4 = 4.$

Bài 2. Tìm giới hạn $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3 - \cos x - cos2x - cos3x}{1 - \cos x}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3 - \cos x - cos2x - cos3x}{1 - \cos x}$

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 - \cos x + 1 - cos2x + 1 - cos3x}{1 - \cos x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\left( 1 + \frac{1 - cos2x}{1 - \cos x} + \frac{1 - cos3x}{1 - \cos x} \right)$ $= 1 + \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^{2}x}{sin^{2}\frac{x}{2}} + \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^{2}\frac{3x}{2}}{sin^{2}\frac{x}{2}}$

$= 1 + \lim_{x \rightarrow 0}\left( \frac{sin^{2}x}{x^{2}}.\frac{\left( \frac{x}{2} \right)^{2}}{sin^{2}\frac{x}{2}}.4 \right) + \lim_{x \rightarrow 0}\left( \frac{sin^{2}\frac{3x}{2}}{\left( \frac{3x}{2} \right)^{2}}.\frac{\ \left( \frac{x}{2} \right)^{2}}{sin^{2}\frac{x}{2}}.9 \right)$

Bài 3. Tìm giới hạn $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + sin^{2}x} - cosx}{sin^{2}x}\$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + sin^{2}x} - \cos x}{sin^{2}x}\ \ = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 + sin^{2}x - cos^{2}x}{\left( \sqrt{1 + sin^{2}x} + \cos x \right)sin^{2}x}\$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2sin^{2}x}{\left( \sqrt{1 + sin^{2}x} + \cos x \right)sin^{2}x} = \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{1 + sin^{2}x} + \cos x \right)} = 1.$

b. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x + sin\ x}{x}$ ?

A. $\frac{1}{2}$ . B. $+ \infty$ . C. . D. .

Câu 2. Tìm giới hạn $D = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^{4}2x}{sin^{4}3x}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $\frac{16}{81}$ . D. .

Câu 3. Tìm giới hạn $M = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1 + 3x} - \sqrt{1 + 2x}}{1 - cos2x}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $- \frac{1}{4}$ . D. .

Câu 4. Tìm giới hạn $E = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 - \sin\left( \frac{\pi}{2}\cos x \right)}{\sin\left( \tan x \right)}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. . D. .

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

--------------------------------------------------

Hy vọng những kiến thức và phương pháp trình bày trong bài viết đã giúp bạn có cái nhìn hệ thống về giới hạn hàm số lượng giác. Để đạt kết quả tốt, bạn nên luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau, kết hợp sử dụng công thức lượng giác và các kỹ thuật biến đổi đại số. Đây chính là chìa khóa để chinh phục các bài toán giới hạn trong Toán 11 một cách hiệu quả.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: