Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Khử vô định dùng liên hợp trong tính giới hạn hàm số tại một điểm

Cách tính giới hạn hàm số toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập giới hạn dạng vô định có lời giải toán 11

A. Bài tập tự luận
B. Bài tập trắc nghiệm

Trong chương trình Toán 11, bài toán tính giới hạn hàm số tại một điểm thường xuất hiện nhiều dạng vô định như 0/0, ∞/−∞. Để xử lý hiệu quả các dạng này, phương pháp khử vô định bằng liên hợp được xem là một trong những kỹ thuật quan trọng và phổ biến nhất.

Việc nắm vững cách sử dụng liên hợp không chỉ giúp học sinh giải nhanh bài tập mà còn hiểu sâu bản chất biến đổi đại số trong giới hạn hàm số. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống hóa lý thuyết, trình bày cách làm chi tiết và minh họa bằng ví dụ cụ thể, giúp bạn dễ dàng áp dụng phương pháp khử vô định trong các bài toán giới hạn Toán 11.

A. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính $\lim_{x \rightarrow 0^{}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 0^{}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^{}}\frac{x + 4 - 4}{x\left( \sqrt{x + 4} + 2 \right)}$ $= \lim_{x \rightarrow 0^{}}\frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{4}$

Vậy $\lim_{x \rightarrow 0^{}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \frac{1}{4}.$

Bài 2. Tính $\lim_{x \rightarrow 5}\frac{\sqrt{3x + 1} - 4}{3 - \sqrt{x + 4}}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\lim_{x \rightarrow 5}\frac{\sqrt{3x + 1} - 4}{3 - \sqrt{x + 4}} = \lim_{x \rightarrow 5}\frac{\left\lbrack (3x + 1) - 16 \right\rbrack\left( 3 + \sqrt{x + 4} \right)}{\left\lbrack 9 - (x + 4) \right\rbrack\left( \sqrt{3x + 1} + 4 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow 5}\frac{- 3\left( 3 + \sqrt{x + 4} \right)}{\sqrt{3x + 1} + 4} = - \frac{18}{8} = - \frac{9}{4}$ .

Bài 3. Tính giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt{5x - 1}}{x - 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{7x + 1} - 2 - \left( \sqrt{5x - 1} - 2 \right)}{x - 1}$

$= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{7x + 1} - 2}{x - 1} - \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{x - 1} = I - J$

$I = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{7(x - 1)}{(x - 1)\left( \sqrt[3]{(7x - 1)^{2}} + 2\sqrt[3]{7x - 1} + 4 \right)}$ $= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{7}{\sqrt[3]{(7x - 1)^{2}} + 2\sqrt[3]{7x - 1} + 4} = \frac{7}{12}$ .

$J = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{5(x - 1)}{(x - 1)\left( \sqrt{5x - 1} + 1 \right)}$ $= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{5}{\sqrt{5x - 1} + 1} = \frac{5}{3}$

Vậy $A = - \frac{2}{3}$ .

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow 2}\frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^{2} - 4}$ kết quả là

A. 0 B. $\frac{1}{6}$ . C. 2. D. -2.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 2}\frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^{2} - 4} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 3 \right)\left( \sqrt{4x + 1} + 3 \right)}{\left( x^{2} - 4 \right)\left( \sqrt{4x + 1} + 3 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{4x + 1 - 9}{\left( x^{2} - 4 \right)\left( \sqrt{4x + 1} + 3 \right)} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{4x - 8}{\left( x^{2} - 4 \right)\left( \sqrt{4x + 1} + 3 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{4}{(x + 2)\left( \sqrt{4x + 1} + 3 \right)} = \frac{1}{6}$ .

Câu 2. Giới hạn của $\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{\sqrt{2x + 5} - 1}{x^{2} - 4}$ là

A. $- \frac{1}{2}.$ B. $- \frac{1}{4}.$ C. $- \frac{1}{3}.$ D. $\frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{\sqrt{2x + 5} - 1}{x^{2} - 4} = \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{\left( \sqrt{2x + 5} - 1 \right)\left( \sqrt{2x + 5} + 1 \right)}{\left( x^{2} - 4 \right)\left( \sqrt{2x + 5} + 1 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{2x + 4}{(x - 2)(x + 2)\left( \sqrt{2x + 5} + 1 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{2}{(x - 2)\left( \sqrt{2x + 5} + 1 \right)} = - \frac{1}{4}$ .

Câu 3. Giới hạn của $\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{1 + \sqrt[3]{1 + x}}{x + 2}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{2}.$ B. $\frac{1}{3}.$ C. $\frac{1}{4}.$ D. $\frac{2}{3}.$

Hướng dẫn giải

Chọn B

$\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{1 + \sqrt[3]{1 + x}}{x + 2}$ $= \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{\left( 1 + \sqrt[3]{1 + x} \right)\left( 1 - \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{(1 + x)^{2}} \right)}{(x + 2)\left( 1 - \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{(1 + x)^{2}} \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{x + 2}{(x + 2)\left( 1 - \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{(1 + x)^{2}} \right)} = \frac{1}{3}$

Câu 4. Biết $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = \frac{a\sqrt{2}}{b} + c$ với , , $\mathbb{\in Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2 + 2 - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)}$

$= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2}{\sqrt{2}(x - 1)} + \lim_{x \rightarrow 1}\frac{2 - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = I + J$ .

Tính $I = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2}{\sqrt{2}(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} + x + 2 - 4}{\sqrt{2}(x - 1)\left( \sqrt{x^{2} + x + 2} + 2 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{\sqrt{2}(x - 1)\left( \sqrt{x^{2} + x + 2} + 2 \right)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x + 2}{\sqrt{2}\left( \sqrt{x^{2} + x + 2} + 2 \right)} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$ .

và $J = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{2 - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{8 - 7x - 1}{\sqrt{2}(x - 1)\left\lbrack 4 + 2\sqrt[3]{7x + 1} + \left( \sqrt[3]{7x + 1} \right)^{2} \right\rbrack}$

$\underset{x \rightarrow 1}{= \lim}\frac{- 7}{\sqrt{2}\left\lbrack 4 + 2\sqrt[3]{7x + 1} + \left( \sqrt[3]{7x + 1} \right)^{2} \right\rbrack} = \frac{- 7}{12\sqrt{2}}$ .

Do đó $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = I + J = \frac{\sqrt{2}}{12}$

Suy ra , , . Vậy .

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

------------------------------

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách nhận dạng dạng vô định, cách áp dụng liên hợp và quy trình giải bài toán giới hạn một cách logic. Để nâng cao kỹ năng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự, kết hợp với các phương pháp khác như phân tích nhân tử, quy đồng, hoặc sử dụng hằng đẳng thức. Đây sẽ là nền tảng quan trọng giúp bạn học tốt Toán 11 và chuẩn bị hiệu quả cho các kỳ thi.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: