Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Toán 11 bài 3 Hàm số liên tục được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Giới hạn của hàm số. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

A. Lí thuyết Hàm số liên tục

I. Định nghĩa hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và \({{x}_{0}}\in D\)

- Hàm số y = f(x) liên tục tại _{\({{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\)}.

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại \({{x}_{0}}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({{x}_{0}}\).

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

3. y = f(x) liên tục trên đoạn _{\(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\)} nếu nó liên tục trên _\((a,b)\) và

\(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\)

II. Các định lí cơ bản

1. Định lí 1

- Hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2. Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\)

Nếu _{\(f(a)\ne f(b)\)} và P là một điểm nằm giữa _{\(f(a),f(b)\)} thì tồn tại ít nhất một số _{\(c\in (a,b)\)} sao cho _\(f(c)=P\)

3. Định lí 3: Cho các hàm số _{\(y=f(x),y=g(x)\)} liên tục tại _{\({{x}_{0}}\)}. Khi đó tổng,hiệu, tích liên tục tại \({{x}_{0}}\), thương _{\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)} liên tục nếu _{\(g(x)\ne 0\)}.

4. Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\).

- Nếu \(f(a).f(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c\in (a,b)\) sao cho \(f(c)=0\).

- Nói cách khác: Nếu \(f(a).f(b)<0\) thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc \((a,b)\)

Ví dụ minh họa: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = -1

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f(-1)=1\)

\(\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}\)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

B. Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Giải bài tập Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Giải SBT Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục

D. Bài tập Toán 11

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số liên tục này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh tài liệu bài tập về hàm số liên tục bao gồm bài tập cơ bản cũng như các bài tập nâng cao do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.
• Xét tính liên tục của hàm số trên một tập.
• Xác định giá trị của tham số để một hàm số liên tục.
• Chứng minh phương trình có nghiệm.

-------------------------------------------------

Trên đây là tài liệu Lí thuyết và bài tập Hàm số liên tục VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...