VnDoc.com

Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Lí thuyết và bài tập Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Hàm số liên tục Toán 11

A. Lí thuyết Hàm số liên tục
- I. Định nghĩa hàm số liên tục
- II. Các định lí cơ bản
B. Giải bài tập Toán 11
C. Giải Vở Bài tập Toán 11
D. Bài tập Toán 11

Chuyên đề Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục là một trong những phần kiến thức nền tảng quan trọng trong chương Giới hạn và hàm số của chương trình toán lớp 11. Việc hiểu rõ khái niệm liên tục tại một điểm, liên tục trên khoảng, cũng như vận dụng thành thạo các định lý liên quan sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với chương trình giải tích sau này.

Tài liệu Toán 11 bài 3 Hàm số liên tục cung cấp lý thuyết trọng tâm và hệ thống bài tập Hàm số liên tục Toán 11 có đáp án chi tiết, được chọn lọc sát với đề kiểm tra và đề thi, giúp học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện nắm chắc kiến thức và thành thạo kỹ năng giải toán trong chương trình Toán 11. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

A. Lí thuyết Hàm số liên tục

I. Định nghĩa hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và ${{x}_{0}}\in D$ ${{x}_{0}}\in D$

- Hàm số y = f(x) liên tục tại _{${{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$}.

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$ ta nói hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

3. y = f(x) liên tục trên đoạn _{$\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$} nếu nó liên tục trên _$(a,b)$ và

$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$ $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$

II. Các định lí cơ bản

1. Định lí 1

- Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

- Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2. Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

Nếu _{$f(a)\ne f(b)$} và P là một điểm nằm giữa _{$f(a),f(b)$} thì tồn tại ít nhất một số _{$c\in (a,b)$} sao cho _$f(c)=P$

3. Định lí 3: Cho các hàm số _{$y=f(x),y=g(x)$} liên tục tại _{${{x}_{0}}$}. Khi đó tổng,hiệu, tích liên tục tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$, thương _{$y=\frac{f(x)}{g(x)}$} liên tục nếu _{$g(x)\ne 0$}.

4. Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$.

- Nếu $f(a).f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ sao cho $f(c)=0$.

- Nói cách khác: Nếu $f(a).f(b)<0$ thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc $(a,b)$

Ví dụ minh họa: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.$ $y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.$ tại x = -1.

Hướng dẫn giải

Ta có: $f(-1)=1$

$\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}$ $\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} m^{2}x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ (1 - m)x\ \ \ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} m^{2}x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ (1 - m)x\ \ \ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$?

Hướng dẫn giải:

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;2);(2; + \infty)$ $( - \infty;2);(2; + \infty)$

Khi đó hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

Hay $\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = f(2)$ $\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)$

Ta lại có:

$f(2) = 4m^{2}$ $f(2) = 4m^{2}$

$\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x \right\rbrack = 2(1 - m)$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x \right\rbrack = 2(1 - m)$

$\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} \right) = 4m^{2}$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} \right) = 4m^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)$ $(*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{|x - 1|}\ \ \ khi\ x \neq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{|x - 1|}\ \ \ khi\ x \neq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ $( - \infty;1),(1; + \infty)$. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 1$, tức là ta cần có:

$\lim_{x \rightarrow 1}f(x) = f(1)$ $\lim_{x \rightarrow 1}f(x) = f(1)$

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$ $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$

Ta lại có:

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\ m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\ m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$ $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$

$\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$

Khi đó $(*)$ không thỏa mãn với mọi $m\mathbb{\in R}$ $m\mathbb{\in R}$

Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} \right.$ liên tục tại $x = 3$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện bài toán trở thành $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)$ $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)$

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}$ $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}$ $= \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x \right)}{1 - x}= - 3$ $= \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x \right)}{1 - x}= - 3$

$\lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x \right) = 1 - 3a^{3}$ $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x \right) = 1 - 3a^{3}$

$f(3) = 1 - 3a^{2}$ $f(3) = 1 - 3a^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$ $(*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ B. $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;1)$ $( - \infty;1)$

C. $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ D. $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$ $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;0)$ $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$

Mặt khác

$f(0) = 1$

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x \right) = 0$ $\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x \right) = 0$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

B. Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải SBT Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục

D. Bài tập Toán 11

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số liên tục này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh tài liệu bài tập về hàm số liên tục bao gồm bài tập cơ bản cũng như các bài tập nâng cao do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

-------------------------------------------------

Hy vọng thông qua hệ thống lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục Toán 11 được trình bày chi tiết và khoa học, các em học sinh có thể củng cố kiến thức vững vàng, luyện tập thành thạo mọi dạng bài. Đừng quên xem thêm các bài học tiếp theo và đề kiểm tra mẫu để chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi học kỳ và ôn thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: