Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Bài tập Khoảng cách giữa hai mặt phẳng Toán lớp 11 vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Cách tính khoảng cách 2 mặt phẳng

1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta chứng minh được (MNP) // (SBC)

=> d((MNP), (SBC)) = d(P, (SBC))

Giả sử AP ∩ (SBC) = C

=> $d(P;(SBC))=\frac{AP}{AC}.d(A,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))$

Gọi K là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều => AK ⊥ BC

Do (ABC) ⊥ (SBC) theo giao tuyến BC => AK ⊥ (SBC)

=> $d(A,(SBC))=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $d((MNP),(SBC))=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $SA\mathrm{\perp }(ABC)$. Biết rằng SA = AB = BC = a. Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng AB và SC?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Dựng hình bình hành ABCD vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông.

Vì $\{\begin{array}{c}CD\mathrm{\perp }AD\\ CD\mathrm{\perp }SA\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }(SAD)$

Kẻ $AE\mathrm{\perp }SD$ tại E mà $AE\mathrm{\perp }CD$ nên $AE\mathrm{\perp }(SCD)(\ast )$

Vì mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB suy ra

$d(AB;SC)=d(AB;(SCD))=d(A;(SCD))(\ast \ast )$

Từ (*) và (**) suy ra $d(AB;SC)=AE$

Vì tam giác SAD vuông cân tại A, đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow d(AB;SC)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, $A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }(ABCD)$; $A{A}^{\prime }=2a;AC=a$. Tính:

a) $d(A;(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))$

b) $d((AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }),(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC

Khi đó $AH\mathrm{\perp }(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$

Vì tam giác ABC đều cạnh bằng a nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d(A;(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên (ABCD)//(CDD’C’)

Gọi I là hình chiếu của A trên CD

Vì tam giác ACD đều cạnh bằng a nên $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d((AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }),(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Nhận xét:

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tương ứng chứa hai đường thẳng đó.

II. Bài tập khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Câu 1: Chọn mệnh đề sai

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

1. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì trên a đến (P).
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
4. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\mathrm{\perp }(ABC),SA=h$. Gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm của $SA,SB,SC$.

a) Tính $d((MNP),(ABC))$ và $d(NP,(ABC))$.

b) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $AB=a$. Tính $d(A,(SBC))$.

Câu 3. Cho hình lập phương $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh $a$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(D^{\prime }AC)$ và $(B{C}^{\prime }A)$ song song với nhau và $D{B}^{\prime }$ vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm $E,F$ của $D{B}^{\prime }$ với $(D^{\prime }AC),(B{C}^{\prime }A)$. Tính $d((D^{\prime }AC),(B{C}^{\prime }A))$.

-------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!