Biến cố hợp

Trong xác suất thống kê, biến cố hợp là khái niệm quan trọng dùng để mô tả khả năng xảy ra ít nhất một trong các biến cố đã cho. Việc hiểu rõ định nghĩa, ký hiệu và cách tính xác suất của biến cố hợp sẽ giúp bạn giải các bài toán xác suất một cách chính xác và logic hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và dễ hiểu nhất về biến cố hợp, kèm theo ví dụ minh họa và hướng dẫn áp dụng.

A. Biến cố hợp là gì?

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó \(A,B\) là các tập con của không gian mẫu \(\Omega\).

Đặt \(C = A \cup B\), ta có \(C\) là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B\).

Điều kiện xảy ra biến cố hợp

Biến cố hợp (ký hiệu: A ∪ B) xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

B. Bài tập biến cố hợp

Câu 1: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa";

\(B\): "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa";

\(C\): "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;

\(D\): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".

Trong hai biến cố \(C,\ D\) biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố \(A,B\)?

Hướng dẫn giải

Biến cố hợp A và B : "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa". \((C)\) là kết quả của việc ghép lại hai biến cố A và B, tức là xảy ra cùng lúc cả A và B.

Câu 2: Một hộp có 10 viên bi màu xanh và 15 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi. Xét các biến cố:

\(A\): "Hai viên bi được lấy ra có cùng màu xanh";

\(B\): "Hai viên bi được lấy ra có cùng màu đỏ";

\(C\): "Hai viên bi được lấy ra cùng màu";

\(D\): "Hai viên bi được lấy ra khác màu".

Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây:

a) Biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố \(C\).

b) Biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố \(D\).

c) Biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(C\) là biến cố \(C\).

Hướng dẫn giải

Phát biểu a) đúng; phát biểu b) sai; phát biểu c) đúng.

Câu 3: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

\(F:\) "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn";

\(F\): "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ";

\(K:\) "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn".

Chứng minh rằng \(K\) là biến cố hợp của \(E\) và \(F\).

Hướng dẫn giải

Để tích của hai số chẵn là số chẵn, thì cả hai số đều phải chẵn. Vì vậy, khi biến cố \(K\)xảy ra, biến cố \(E\)cũng phải xảy ra. Đồng thời, khi tích của hai số không phải là số chẵn (tức là một số lẻ nhân một số chẵn), thì ít nhất một trong hai số phải là số lẻ. Do đó, khi biến cố \(K\) không xảy ra (tức là tích của hai số là số lẻ), biến cố \(F\) cũng không xảy ra.

Vậy nếu biến cố \(K\) xảy ra, thì biến cố \(E\) và biến cố \(F\) cũng phải xảy ra. Do đó, ta có thể kết luận rằng biến cố \(K\) là biến cố hợp của biến cố \(E\) và biến cố \(F\).

Câu 4. Một chiến hạm có ba bộ phận \(A,B,C\) có tầm quan trọng khác nhau. Chiến hạm sẽ bị chìm khi và chỉ khi:

• Hoặc có một quả ngư lôi bắn trúng bộ phận \(A\);
• Hoặc có hai quả ngư lôi bắn trúng bộ phận \(B\);
• Hoặc có ba quả ngư lôi bắn trúng bộ phận \(C\).

Giả sử có hai quả ngư lôi bắn trúng chiến hạm. Xét hai biến cố \(K\): "Hai quả trúng vào \(C\) ", \(H\): "Một quả trúng vào \(B\), một quả trúng vào \(C\) ". Gọi \(M\) là biến cố: "Chiến hạm không bị chìm". Chứng tỏ rằng \(M\) là biến cố hợp của \(H\) và \(K\).

Hướng dẫn giải

Nếu biến cố \(H\) xảy ra thì \(B\) trúng một quả ngư lôi, \(C\) trúng một quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố \(M\) xảy ra).

Nếu biến cố \(K\) xảy ra thì \(C\) trúng hai quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố \(M\) xảy ra).

Ngược lại giả sử chiến hạm không bị chìm, khi đó cả hai quả hoặc trúng vào \(C\) (biến cố \(K\) xảy ra) hoặc chỉ một quả trúng vào \(B\) và quả còn lại không trúng A, tức là trúng \(C\) (biến cố \(H\) xảy ra).

Vậy \(M\) là biến cố hợp của \(H\) và \(K\).

Câu 5. Có bốn chiếc hộp I, II, III, IV mỗi hộp đựng 10 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi \(a,b,c,d\) là số ghi trên thẻ tương ứng rút từ I, II, III, IV.

Xét các biến cố sau:

\(A\): "a là số chẵn"; \(B\): "b là số chẵn"; \(C\): "c là số chẵn";

\(D:\) " \(d\) là số chẵn"; E: "ad là số lẻ”; \(F\): "bc là số lẻ”, G; " \(ad - bc\) là số chẵn".

Chứng tỏ rằng:

a) \(E = \overline{A}\overline{D};F = \overline{B}\overline{C}\);

b) \(G = EF \cup \overline{E}\overline{F}\).

Hướng dẫn giải

a) ad là số lẻ khi và chỉ khi cả \(a\) và \(d\) đều là số lẻ, tức là không xảy ra cả biến cố \(A\) và \(D\).

Vậy \(E = \overline{A}\overline{D}\). Tương tự \(bc\) là số lẻ chỉ khi cả \(b\) và \(c\) đều là số lẻ, tức là không xảy ra cả biến cố \(B\) và \(C\). Vậy \(F = \overline{B}\overline{C}\).

b) Giả sử \(G\) xảy ra, tức là \(ad\) và \(bc\) có cùng tính chẵn, lẻ. Nếu \(ad\) là số lẻ, \(bc\) là số lẻ thì \(E\) và \(F\) đều xảy ra. Do đó \(EF\) xảy ra.

Nếu \(ad\) là số chẵn, \(bc\) là số chẵn thì \(E\) và \(F\) đều không xảy ra.

Do đó \(\overline{E}\overline{F}\) xảy ra. Ngược lại, nếu \(EF\) xảy ra thì \(ad\) là số lẻ, \(bc\) là số lẻ.

Suy ra \(ad - bc\) là số chẵn.

Nếu \(\overline{E}\overline{F}\) xảy ra thì \(ad\) là số chẵn, \(bc\) là số chẵn.

Do đó \(ad - bc\) là số chẵn.

Vậy \(G = EF \cup \overline{E}\overline{F}\).

-----------------------------------------

Biến cố hợp là một phần không thể thiếu trong kiến thức nền tảng của xác suất. Việc hiểu rõ cách xác định và tính xác suất của biến cố hợp sẽ giúp bạn nắm chắc lý thuyết và vận dụng linh hoạt trong các bài toán thực tế. Hy vọng nội dung bài viết đã giúp bạn củng cố lại kiến thức một cách rõ ràng, dễ hiểu. Đừng quên luyện tập thêm và theo dõi các bài viết khác để nâng cao kỹ năng giải bài tập xác suất nhé!