Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn tại vô cực của hàm phân thức

Bài tập Toán 11 Tính giới hạn tại vô cực

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức toán 11

A. Cách tính giới hạn tại vô cực hàm phân thức
B. Bài tập tính giới hạn hàm phân thức tại vô cực

Trong chương trình Toán 11, dạng toán giới hạn tại vô cực của hàm phân thức là một nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ xu hướng của hàm số khi biến số tiến đến vô cùng. Đây là dạng bài thường xuất hiện trong đề kiểm tra, đề thi và có vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu tiệm cận và khảo sát hàm số.

Bài viết này sẽ tổng hợp các phương pháp tính giới hạn tại vô cực một cách hệ thống, từ cơ bản đến nâng cao. Thông qua việc phân tích cấu trúc hàm phân thức và vận dụng các công thức giới hạn, bạn sẽ nắm vững cách giải bài tập Toán 11 một cách nhanh chóng và chính xác.

A. Cách tính giới hạn tại vô cực hàm phân thức

Tính $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ khi $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty}g(x) = \infty$ , trong đó $f(x),\ \ g(x)$ là các đa thức.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $x^{n}$ với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu thức.

Xét hàm số $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của $f(x),\ \ g(x)$ lần lượt là a, b.

Nếu bậc cao nhất của lớn hơn bậc cao nhất của thì $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ .
Nếu bậc cao nhất của bằng bậc cao nhất của thì $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ .
Nếu bậc cao nhất của nhỏ hơn bậc cao nhất của thì $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

B. Bài tập tính giới hạn hàm phân thức tại vô cực

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính $A = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x^{3} - 3x^{2} + 4x + 1}{x^{4} - 5x^{3} + 2x^{2} - x + 3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x^{3} - 3x^{2} + 4x + 1}{x^{4} - 5x^{3} + 2x^{2} - x + 3}$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Bài 2. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + x - x^{2}}{x}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + x - x^{2}}{x}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x^{2}(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 1)}{x}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( x(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 1) \right) = + \infty$ .

Bài 3. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} - 10x - 3}{x^{3} + 7x + 5}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta có $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} - 10x - 3}{x^{3} + 7x + 5}$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2 - \frac{10}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}} = 2$ .

Bài 4. Tính $B = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x + \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt[3]{8x^{3} + x^{2} + 1}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$B = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x + \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt[3]{8x^{3} + x^{2} + 1}}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x + |x|\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{x\sqrt[3]{8 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{8 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}} = \frac{0}{2} = 0$ .

Bài 5. Tính $C = \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}\frac{5^{x} + 7.3^{x} - 4^{x} + 3}{8.5^{x} - 5.4^{x} + 2^{x}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có

$C = \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}\frac{5^{x} + 7.3^{x} - 4^{x} + 3}{8.5^{x} - 5.4^{x} + 2^{x}}$ $= \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}\frac{1 + 7.\left( \frac{3}{5} \right)^{x} - \left( \frac{4}{5} \right)^{x} + \frac{3}{5^{x}}}{8 - 5.\left( \frac{4}{5} \right)^{x} + \left( \frac{2}{5} \right)^{x}} = \frac{1}{8}$ .

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả của giới hạn $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x^{2} + 5x - 3}{x^{2} + 6x + 3}$ là

A. . B. $+ \infty$ . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x^{2} + 5x - 3}{x^{2} + 6x + 3}$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = 2$ .

Câu 2: Kết quả của giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} + 5x^{2} - 3}{x^{2} + 6x + 3}$ là

A. . B. $+ \infty$ . C. $- \infty$ . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} + 5x^{2} - 3}{x^{2} + 6x + 3}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}x.\frac{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = - \infty$ .

Câu 3: Kết quả của giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} - 7x^{2} + 11}{3x^{6} + 2x^{5} - 5}$ là

A. . B. $+ \infty$ . C. . D. $- \infty$ .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x^{3} - 7x^{2} + 11}{3x^{6} + 2x^{5} - 5}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{2}{x^{3}} - \frac{7}{x^{4}} + \frac{11}{x^{6}}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{6}}} = 0$ .

Câu 4: Tính $L = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{(2x - 1)(3x + 2)(4x - 5)}{8x^{3} + 2x + 7}$ .

A. . B. $L = \frac{3}{4}$ . C. $L = \frac{4}{3}$ . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

$L = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x^{3}\left( 2 - \frac{1}{x} \right)\left( 3 + \frac{2}{x} \right)\left( 4 - \frac{5}{x} \right)}{x^{3}\left( 8 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}} \right)}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\left( 2 - \frac{1}{x} \right)\left( 3 + \frac{2}{x} \right)\left( 4 - \frac{5}{x} \right)}{8 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}} = 3$ .

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về

--------------------------------------------------------

Giới hạn tại vô cực của hàm phân thức không chỉ là một dạng toán quan trọng trong Toán 11 mà còn là nền tảng để tiếp cận các nội dung giải tích nâng cao. Khi hiểu rõ mối quan hệ giữa bậc tử và bậc mẫu, học sinh có thể dễ dàng xác định giá trị giới hạn và suy luận hành vi của hàm số.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: