Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức

Công thức tính giới hạn hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tính giới hạn hàm đa thức tại vô cực

A. Quy tắc tìm giới hạn tại vô cực
B. Bài tập tính giới hạn hàm phân thức tại vô cực

Trong chương trình Toán 11, bài toán giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là một nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hành vi của hàm số khi biến số tiến tới vô cùng. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng của giải tích mà còn là chìa khóa để tiếp cận các chủ đề nâng cao như tiệm cận, đồ thị hàm số và đạo hàm.

Bài viết này sẽ hệ thống hóa công thức tính giới hạn hàm số, trình bày phương pháp giải bài toán giới hạn tại vô cực một cách dễ hiểu và khoa học. Thông qua các ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết, bạn sẽ nắm vững cách xử lý hàm đa thức khi biến số tiến tới vô cùng, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 11.

A. Quy tắc tìm giới hạn tại vô cực

Cho $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = \pm \infty;\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = L \neq 0$ . Ta có:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$	Dấu của	$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack$
$+ \infty$	$\pm$	$\pm \infty$
$- \infty$	$\pm$	$\mp \infty$

Phương pháp tìm giới hạn tại tại vô cực của hàm đa thức:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ....... + a_{0} \right)$ $\left( n\mathbb{\in N}* \right)$

Bước 1: Rút có lũy thừa bậc cao nhất ra làm nhân tử chung.

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \ldots\ldots. + a_{0} \right)$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}x^{n}\left( a_{n} + \frac{a_{n - 1}}{x} + \frac{a_{n - 2}}{x^{2}} + ....... + \frac{a_{0}}{x^{n}} \right)$

Bước 2: Tìm các giới hạn

+ $\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{n} = + \infty$ nếu là số tự nhiên chẵn;

$\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{n} = - \infty$ nếu là số tự nhiên lẻ.

+ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( a_{n} + \frac{a_{n - 1}}{x} + \frac{a_{n - 2}}{x^{2}} + ....... + \frac{a_{0}}{x^{n}} \right) = a_{n}$ .

Bước 3: Áp dụng quy tắc tìm giới hạn tại vô cực suy ra kết quả.

(Tương tự khi tìm $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ....... + a_{0} \right)$ ).

B. Bài tập tính giới hạn hàm phân thức tại vô cực

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm giới hạn $I = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( - 2x^{3} + 4x + 5 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$I = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( - 2x^{3} + 4x + 5 \right)$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack x^{3}\left( - 2 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} \right) \right\rbrack.$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{3} = + \infty.$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( - 2 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} \right) = - 2 + 0 + 0 = - 2 < 0$ .

$\Rightarrow I = \lim_{x \rightarrow + \infty}x^{3}\left( - 2 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} \right) = - \infty.$

Bài 2. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 3x^{4} + 5x^{2} - 9\sqrt{2}x - 2021 \right)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 3x^{4} + 5x^{2} - 9\sqrt{2}x - 2021 \right)$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\left\lbrack x^{4}\left( 3 + 5\frac{1}{x^{2}} - 9\sqrt{2}\frac{1}{x^{3}} - 2021\frac{1}{x^{4}} \right) \right\rbrack = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow - \infty}x^{4} = + \infty \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 3 + 5\frac{1}{x^{2}} - 9\sqrt{2}\frac{1}{x^{3}} - 2021\frac{1}{x^{4}} \right) = 3 > 0 \end{matrix} \right.$

Bài 3. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)....(1 - 2021x) \right\rbrack$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)\ldots.(1 - 2021x) \right\rbrack$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack x^{2021}.\left( \frac{1}{x} - 1 \right)\left( \frac{1}{x} - 2 \right)\left( \frac{1}{x} - 3 \right)....\left( \frac{1}{x} - 2021 \right) \right\rbrack = - \infty$

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow + \infty}x^{2021} = + \infty \\ \lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack \left( \frac{1}{x} - 1 \right)\left( \frac{1}{x} - 2 \right)\left( \frac{1}{x} - 3 \right)....\left( \frac{1}{x} - 2021 \right) \right\rbrack \end{matrix} \right.$

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \ \infty}\left( 2x^{3} - x^{2} + 1 \right)$

A. $+ \ \infty$ . B. $- \ \infty$ . C. . D. .

Câu 2. Chọn kết quả đúng của $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( - 4x^{5} + 3x^{3} + x + 1 \right)$ .

A. . B. $+ \infty$ . C. $- \infty$ . D. .

Câu 3. Giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( - x^{4} + 3x^{2} + 2021 \right)$ bằng

A. $- \infty$ B. $+ \infty$ . C. . D. .

Câu 4. Giới hạn $I = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( - 2x^{2021} + 4x + 5 \right)$ bằng

A. $I = - \infty$ . B. $I = + \infty$ . C. . D. .

Câu 5. Giới hạn $I = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( |x|^{3} + 2x^{2} - 4|x| + 5 \right)$ bằng

A. $I = + \infty$ . B. $I = - \infty$ . C. . D. .

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\lbrack - 20;20\rbrack$ để $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left\lbrack (mx + 2)\left( m - 3x^{2} \right) \right\rbrack = - \infty$

A. . B. . C. . D. .

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-----------------------------------------------------

Hy vọng nội dung bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về giới hạn tại vô cực. Để đạt kết quả tốt, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài toán tương tự, kết hợp phân tích bậc của đa thức và áp dụng linh hoạt các công thức giới hạn. Đây là nền tảng quan trọng giúp bạn học tốt Toán 11 và chuẩn bị vững vàng cho các kỳ thi.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: