Nhị thức Newton Toán 11

Chuyên đề Tổ hợp xác suất Toán 11

Nhị thức Newton môn Toán lớp 11

I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton
II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton
III. Bài tập tự luyện

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Nhị thức Newton Toán 11. Các bài tập hàm số liên tục trên một tập này sẽ giúp các bạn ôn tập củng cố nội dung trọng tâm chương trình Đại số lớp 11 về cách khai triển nhị thức Newtown, cách xác định hệ số và vị trí của số hạng, ... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Nhị thức Newton

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton

1. Tổ hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu: _{$C_{n}^{k}$} là số tổ hợp chập k của n phần tử _{$\left( 0\le k\le n \right)$}. Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$ $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$

- Tính chất chập k của n phần tử: _{$C_{n}^{k}$}

Tính chất 1: _{$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$}
Tính chất 2: Công thức pascal _{$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$}

2. Nhị thức Newton

Định lí: Với _{$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ^{với cặp số}} _{$\left( a,b \right)$}ta có:

${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$ ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$

3. Hệ quả

Hệ quả: ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$

- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$ ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$

$C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0$ $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

4. Nhận xét

Trong khai triển Newton _{${{\left( a+b \right)}^{n}}$} có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử.

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .

- Các hệ số có tính đối xứng _{$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$}.

- Số hạng tổng quát: _{${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}$}

Chú ý:

Số hạng thứ nhất _{${{T}_{1}}={{T}_{0+1}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}$}
Số hạng thứ k: _{${{T}_{k}}={{T}_{k-1+1}}=C_{n}^{k-1}{{a}^{n-k+1}}{{b}^{k-1}}$}

II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

$a. {{\left( a+2b \right)}^{5}}$ $a. {{\left( a+2b \right)}^{5}}$
$b. {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}$ $b. {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}$
$c. {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}$ $c. {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}$

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của _{${{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}$}

${{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}$ ${{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}$

b. Khai triển Newton của _{${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}$}

${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}$ ${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}$

c. Khai triển Newton của ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}$ ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}$

Ví dụ 2: Tìm hệ số của _{${{x}^{7}}$} trong khai triển biểu thức _{${{\left( 1-2x \right)}^{10}}$}

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}$}

Số hạng chứa _{${{x}^{7}}$} trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa _{${{x}^{7}}:$} $C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360$ $C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360$

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: _{${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}$}biết rằng: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0$ $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0$

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2$}

$\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78$

$\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$

Do đó biểu thức khai triển là _{${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}$}

_{$=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}$}

Số hạng không chứa x ứng với k: _{$36-4k=0\Leftrightarrow k=9$}

Số hạng không chưa x là: _{$C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640$}

Ví dụ 4: Xét khai triển: _{${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}$}

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.

b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.

c.Xác định hệ số của \[{{x}^{4}}\]trong khai triển.

Hướng dẫn giải

${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}$ ${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}$

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: _{$20-2k=0\Leftrightarrow k=10$}

Số hạng không chứa x trong khai triển là: _{$C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$}

Số hạng chứa _{${{x}^{4}}$} trong khai triển ứng với k là: _{$20-2k=4\Leftrightarrow k=8$}

Vậy số hạng chứa _{${{x}^{4}}$} trong khai triển có hệ số là: $C_{20}^{8}{{.2}^{12}}$ $C_{20}^{8}{{.2}^{12}}$

Ví dụ 5: Tính tổng: _{$S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}$}

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)$}

Vì _{$\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}$}

$\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}$ $\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}$

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

$a. {{\left( 1+2x \right)}^{20}}$ $a. {{\left( 1+2x \right)}^{20}}$

$b.{{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}$ $b.{{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}$

$c. {{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}$ $c. {{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}$

$d. {{\left( n+2m \right)}^{7}}$ $d. {{\left( n+2m \right)}^{7}}$

Bài 2: Xét khai triển _{${{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}$}

a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{6}}$ ${{x}^{6}}$ trong khai triển.

c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.

Bài 3: Tính tổng: _{$S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}$}

Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển _{${{\left( 1+x \right)}^{3n}}$} là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển _{${{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.$}

Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển _{${{\left( 1+x \right)}^{n}}$} có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.

Xem thêm các bài tiếp theo tại: https: //vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Nhị thức Newton Toán 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu :

Hàm số liên tục lớp 11

Xét hàm số liên tục tại một điểm

Xét hàm số liên tục trên một tập

Xác định tham số để hàm số liên tục

Chia sẻ, đánh giá bài viết

3

5.036

Bài trước

Bài sau