Xét hàm số liên tục tại một điểm

Mời quý thầy cô cùng các em học sinh tham khảo tài liệu Xét hàm số liên tục tại một điểm do VnDoc.com biên soạn và đăng tải. Tài liệu trắc nghiệm hàm số liên tục này với các bài tập vận dụng xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm cho trước được xây dựng trên lý thuyết trọng tâm bài học, hỗ trợ quá trình củng cố bài học và ôn luyện nâng cao khả năng làm bài tập Đại số môn Toán lớp 11. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

I. Phương pháp làm bài

• Bước 1: Tìm _{\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),f({{x}_{0}})\)}
• Bước 2: Nếu tồn tại \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\) và so sánh \(f({{x}_{0}})\) và  \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)

Chú ý:

• Hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} f(x) \\ a \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ne {{x}_{0}} \\ x={{x}_{0}} \\ \end{matrix} \right.\) liên tục tại \(x=x_{0}\)
• Hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) & x\geq x_{0} \\ g(x) & x< x_{0} \end{matrix}\right.\)liên tục tại \(x={{x}_{0}}\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=f({{x}_{0}})\)

II.Ví dụ minh họa

1. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 6&\text{ }x=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\) tại \(x=1\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
• Ta có: \(f(1)=6\), \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\)

\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=2\ne f(1)=6\)

Vậy hàm số không liên tục tại \(x=1\)

4. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}^{2}+1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 2&\text{x }=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
• Ta có: \(f(1)=2\)

\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+1)=2=f(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x=1\)

3. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-15}{{{x}^{2}}-x-6} \\ 10 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ne 3 \\ x=3 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 3

• Ta có: \(f(3)=10\)
• \(\begin{align} \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-18}{{{x}^{2}}-x-6}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)(x{}^{2}+x+6)}{(x-3)(x+2)} \end{align}\)

\(=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{}^{2}+x+6}{x+2}=\frac{18}{5}\ne f(3)\)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

4. Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = -1

• Ta có : \(f(-1)=1\)
• \(\begin{align} \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ \end{align}\)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

5. Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+x+4 \\ 3x+5 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge 1 \\ x<1 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 1

• Ta có: \(f(1)=6\)
• \(\begin{align} \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+4)=6\\ \end{align}\)

\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(3x+5)=8 \\\)

\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

III. Bài tập tự luyện

1. Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}&\text{ x}\ne 4 \\ 8&\text{x }=4 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\) tại x = 4

2. Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-4x+3}{x-3}&\text{ x}\ne 3 \\ -1&\text{x }=3 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\)tại x = 3

3. Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix} \frac{2-3x}{{{x}^{2}}-2x+1}&\text{ x}\ne 1 \\ 2&\text{x}=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\) tại x = 1

4. Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{\sqrt{x-1}} \\ x-1 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x>1 \\ x\le 1 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 1

5. Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+5 \\ {{x}^{3}}+x \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x>2 \\ x\le 2 \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 2

6. Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2x+1}{x-1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 4&\text{ }x=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\) tại x = 1

7. Kiểm tra tính liên tục của hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{3{{x}^{2}}+2x-5}{{{x}^{2}}-1}&\text{ x}<1 \\ 3x+5&\text{ x}\ge \text{1} \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 1

8. Kiểm tra tính liên tục của hàm số \($f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ -1 & \text { khi } x=1\end{array} \text { tại } x=-1\right.\)

9. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ \frac{1}{4} & \text { tai } x=1\end{array}\right.\) tại x = 1

10. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{2-7x+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-3x+2} & \text{ khi x }\ne 2 \\ 1 & \text{ khi }x=2 \\ \end{array}\right.\) tại x = 2

11. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} & \text { khi } x \neq 0 \\ \frac{1}{3} & \text { tai } x=0\end{array}\right.\) tại x = 0

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Xét hàm số liên tục tại một điểm mong rằng qua đây bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các Ngữ văn 11, Tiếng Anh 11, đề thi học kì 2 lớp 11, ...