Xét hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục tại một điểm môn Toán lớp 11

Hàm số liên tục tại một điểm môn Toán lớp 11

I. Phương pháp làm bài
II.Ví dụ minh họa
III. Bài tập tự luyện

Mời quý thầy cô cùng các em học sinh tham khảo tài liệu Xét hàm số liên tục tại một điểm do VnDoc.com biên soạn và đăng tải. Tài liệu trắc nghiệm hàm số liên tục này với các bài tập vận dụng xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm cho trước được xây dựng trên lý thuyết trọng tâm bài học, hỗ trợ quá trình củng cố bài học và ôn luyện nâng cao khả năng làm bài tập Đại số môn Toán lớp 11. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

I. Phương pháp làm bài

Bước 1: Tìm _{$lim_{x \to x_{0}} f (x), f (x_{0})$}
Bước 2: Nếu tồn tại $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ và so sánh $f({{x}_{0}})$ $f (x_{0})$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ $lim_{x \to x_{0}} f (x)$

Chú ý:

Hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} f(x) \\ a \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ne {{x}_{0}} \\ x={{x}_{0}} \\ \end{matrix} \right.$ $y = {\begin{matrix} f (x) \\ a \end{matrix} \begin{matrix} x \neq x_{0} \\ x = x_{0} \end{matrix}$ liên tục tại $x=x_{0}$ $x = x_{0}$
Hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) & x\geq x_{0} \\ g(x) & x< x_{0} \end{matrix}\right.$ $y = f (x) = {\begin{matrix} f (x) & x \geq x_{0} \\ g (x) & x < x_{0} \end{matrix}$ liên tục tại $x={{x}_{0}}$ $x = x_{0}$ khi và chỉ khi $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=f({{x}_{0}})$ $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = lim_{x \to {x_{0}}^{-}} g (x) = f (x_{0})$

II.Ví dụ minh họa

1. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 6&\text{ }x=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ 6 & x = 1 \end{matrix}$ tại $x = 1$

Tập xác định: $\mathbb{R}$ $R$
Ta có: $f (1) = 6$ , $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$ $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=2\ne f(1)=6$ $= lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \neq f (1) = 6$

Vậy hàm số không liên tục tại $x = 1$

4. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}^{2}+1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 2&\text{x }=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = {\begin{matrix} x^{2} + 1 & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{matrix}$

Tập xác định: $\mathbb{R}$ $R$
Ta có: $f (1) = 2$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+1)=2=f(1)$ $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} (x^{2} + 1) = 2 = f (1)$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$

3. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-15}{{{x}^{2}}-x-6} \\ 10 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ne 3 \\ x=3 \\ \end{matrix} \right.$ $y = {\begin{matrix} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 15}{x^{2} - x - 6} \\ 10 \end{matrix} \begin{matrix} x \neq 3 \\ x = 3 \end{matrix}$ tại x = 3

Ta có: $f (3) = 10$
$\begin{align} \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-18}{{{x}^{2}}-x-6}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)(x{}^{2}+x+6)}{(x-3)(x+2)} \end{align}$ $\begin{array}{r} (1) & lim_{x \to 3} f (x) = lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 18}{x^{2} - x - 6} = lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + x + 6)}{(x - 3) (x + 2)} \end{array}$

$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{}^{2}+x+6}{x+2}=\frac{18}{5}\ne f(3)$ $= lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + x + 6}{x + 2} = \frac{18}{5} \neq f (3)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

4. Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.$ $y = {\begin{matrix} \frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1} \\ 2 x + 3 \end{matrix} \begin{matrix} x \geq - 1 \\ x < - 1 \end{matrix}$ tại x = -1

Ta có : $f (- 1) = 1$
$\begin{align} \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ \end{align}$ $\begin{array}{r} (2) & lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1} = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x - \sqrt{x + 2})} = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x - 2}{x - \sqrt{x + 2}} = \frac{3}{2} \end{array}$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

5. Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+x+4 \\ 3x+5 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge 1 \\ x<1 \\ \end{matrix} \right.$ $y = {\begin{matrix} x^{2} + x + 4 \\ 3 x + 5 \end{matrix} \begin{matrix} x \geq 1 \\ x < 1 \end{matrix}$ tại x = 1

Ta có: $f (1) = 6$
$\begin{align} \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+4)=6\\ \end{align}$ $\begin{array}{r} (3) & lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + x + 4) = 6 \end{array}$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(3x+5)=8 \\$ $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (3 x + 5) = 8$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ $lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq lim_{x \to 1^{+}} f (x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

III. Bài tập tự luyện

1. Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}&\text{ x}\ne 4 \\ 8&\text{x }=4 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} & x \neq 4 \\ 8 & x = 4 \end{matrix}$ tại x = 4

2. Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-4x+3}{x-3}&\text{ x}\ne 3 \\ -1&\text{x }=3 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 3} & x \neq 3 \\ - 1 & x = 3 \end{matrix}$ tại x = 3

3. Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \frac{2-3x}{{{x}^{2}}-2x+1}&\text{ x}\ne 1 \\ 2&\text{x}=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = {\begin{matrix} \frac{2 - 3 x}{x^{2} - 2 x + 1} & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{matrix}$ tại x = 1

4. Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{\sqrt{x-1}} \\ x-1 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x>1 \\ x\le 1 \\ \end{matrix} \right.$ $y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{\sqrt{x - 1}} \\ x - 1 \end{matrix} \begin{matrix} x > 1 \\ x \leq 1 \end{matrix}$ tại x = 1

5. Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+5 \\ {{x}^{3}}+x \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x>2 \\ x\le 2 \\ \end{matrix} \right.$ $y = f (x) = {\begin{matrix} x + 5 \\ x^{3} + x \end{matrix} \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 2 \end{matrix}$ tại x = 2

6. Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2x+1}{x-1}&\text{ x}\ne \text{1} \\ 4&\text{ }x=1 \\ \end{matrix} \right.\text{ }$ $y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{2 x + 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ 4 & x = 1 \end{matrix}$ tại x = 1

7. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{3{{x}^{2}}+2x-5}{{{x}^{2}}-1}&\text{ x}<1 \\ 3x+5&\text{ x}\ge \text{1} \\ \end{matrix} \right.$ $y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x^{2} - 1} & x < 1 \\ 3 x + 5 & x \geq 1 \end{matrix}$ tại x = 1

8. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ -1 & \text { khi } x=1\end{array} \text { tại } x=-1\right.$ $$ f (x) = {\begin{cases} \frac{x + 3}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ - 1 & khi x = 1 \end{cases} tại x = - 1$

9. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ \frac{1}{4} & \text { tai } x=1\end{array}\right.$ $f (x) = {\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ \frac{1}{4} & tai x = 1 \end{cases}$ tại x = 1

10. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{2-7x+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-3x+2} & \text{ khi x }\ne 2 \\ 1 & \text{ khi }x=2 \\ \end{array}\right.$ $f (x) = {\begin{cases} \frac{2 - 7 x + 5 x^{2} - x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2} & khi x \neq 2 \\ 1 & khi x = 2 \end{cases}$ tại x = 2

11. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} & \text { khi } x \neq 0 \\ \frac{1}{3} & \text { tai } x=0\end{array}\right.$ $f (x) = {\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x} & khi x \neq 0 \\ \frac{1}{3} & tai x = 0 \end{cases}$ tại x = 0

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12

Các phương pháp giải Toán hình học không gian

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Xét hàm số liên tục tại một điểm mong rằng qua đây bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các Ngữ văn 11, Tiếng Anh 11, đề thi học kì 2 lớp 11, ...

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

245

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Xét hàm số liên tục tại một điểm

297,5 KB

Tải xuống Word
122,3 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!