Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Giải bài tập môn Toán lớp 11

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn. Tài liệu giúp bạn nắm chắc kiến thức của bài Nhị thức Niu - tơn thông qua việc hướng dẫn giải các bài tập được nêu trong SGK. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Giải bài tập trang 54, 55 SGK Giải tích 11: Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
Giải bài tập trang 46 SGK Giải tích 11: Quy tắc đếm

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

a) (a + 2b)⁵ b) (a - √2)⁶ c) (x - 1/x)¹³

Hướng dẫn giải

+ Sử dụng công thức khai triển Newton:

${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}.{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n}{{a}^{0}}{{b}^{n}}$ ${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}.{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n}{{a}^{0}}{{b}^{n}}$ áp dụng khai triển với các biểu thức đã cho ở đề bài.

+ Đối với những số mũ nhỏ hơn 5 ta có thể sử dụng trực tiếp kết quả Tam giác Pascal

Bài giải:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵ = a⁵ + 5a⁴(2b) + 10a³(2b)² + 10a²(2b)³ + 5a(2b)⁴ + (2b)⁵
= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶ = a⁶ - 6√2a⁵ + 30a⁴ - 40√2a³ + 60a² - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{13}}={{\left[ x+\left( -\frac{1}{x} \right) \right]}^{13}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}.{{x}^{13-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{13-2k}}}$ ${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{13}}={{\left[ x+\left( -\frac{1}{x} \right) \right]}^{13}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}.{{x}^{13-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{13-2k}}}$

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2. Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức: ${{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$ ${{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$

Hướng dẫn giải

Để tìm hệ số của một hạng tử trong khai triển biểu thức:

Bước 1: Viết khai triển _{${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{n}}}$}

Bước 2: Biến đổi khai triển thành dạng _{${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{B.{{x}^{f\left( x \right)}}}$}

Bước 3: Số hạng chứa $x^\alpha$ $x^\alpha$ tương ứng với số hạng k thỏa mãn $f(k)=\alpha$ $f(k)=\alpha$

Bước 4: Suy ra số hạng cần tìm

Bài giải:

${{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}.{{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{6-3k}}}}$ ${{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}.{{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{6-3k}}}}$

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 - 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{matrix} 6-3k=3 \\ 0\le k\le 6 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=1$ $\left\{ \begin{matrix} 6-3k=3 \\ 0\le k\le 6 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=1$

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là: _{$C_{6}^{2}.2$} = 2 . 6 = 12

Bài 3. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải

Bài tập này chúng ta làm gần giống bài 2

Bước 1: Viết khai triển _{${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{n}}}$}

Bước 2: Biến đổi khai triển thành dạng _{${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{B.{{x}^{f\left( x \right)}}}$}

Bước 3: Giair phương trình $f(k)=\alpha$ $f(k)=\alpha$

Bước 4: Suy ra n cần tìm

Bài giải:

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

${{\left( 1-3x \right)}^{n}}={{\left[ 1-\left( 3x \right) \right]}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{n-k}}.{{\left( -3 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}$ ${{\left( 1-3x \right)}^{n}}={{\left[ 1-\left( 3x \right) \right]}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{n-k}}.{{\left( -3 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}$

Suy ra hệ số của x² trong khai triển này là $3^2C_n^2$. Theo giả thiết, ta có:

$3^2C_n^2=90\Rightarrow C_n^2=10$ $3^2C_n^2=90\Rightarrow C_n^2=10$

Từ đó ta có: _{$\frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}$} = 10 ⇔ n(n - 1) = 20.

⇔ n² – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

Đáp số: n = 5.

Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ + 1/x)⁸

Hướng dẫn giải

Làm tương tự bài 2, chú ý số hạng không chứ x nghĩa là số mũ của x bằng 0 (do _$x^0=1$)

Bài giải:

Ta có: ${{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{8-k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{x}^{24-4k}}}$ ${{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{8-k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{x}^{24-4k}}}$

Trong tổng này, số hạng _{$C^k_8 x^{24 - 4k}$} không chứa x khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} 24-4k=0 \\ 0\le k\le 8 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=6$ $\left\{ \begin{matrix} 24-4k=0 \\ 0\le k\le 8 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow k=6$

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Hướng dẫn giải

Từ công thức khai triển nhị thức Newton ta suy ra được tổng các hệ số của đa thức không phụ thuộc vào x hay nói cách khác chính là tổng của khai triển khi x = 1

Bài giải:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)¹⁷ bằng:

f(1) = (3 – 4)¹⁷ = (– 1)¹⁷ = -1.

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;
b) 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000;
c) $\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})100 – (1- \sqrt{10})100]$ $\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})100 – (1- \sqrt{10})100]$ là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

a. Tách $11^{10}$ $11^{10}$ - 1 bằng nhị thức Newton về dạng một tổng chia hết cho 100.

b. Tách $101^{100} – 1$ $101^{100} – 1$ bằng nhị thức Newton về dạng một tổng chia hết cho 10000

Bài giải:

a) _{$11^{10} – 1 = (1 + 10)^{10} – 1 = (1 + C^1_{10} 10 + C^2_{10} 10^2 + ... +C^9_{10} 10^9 + 10^{10}) – 1$}

_{$= 10^2 + C^2_{10} 10^2 +...+ C^9_{10} 10^9 + 10^{10}$}

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101¹⁰⁰ – 1 = (1 + 100)¹⁰⁰ - 1

= (1 + C¹₁₀₀ 100 + C²²₁₀₀ 100² + ...+ C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰) – 1.

= 100² + C²₁₀₀ 100² + ...+ C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000.