Toán 11 Cánh Diều bài 2

Các phép biến đổi lượng giác

Từ năm học mới 2023 - 2024, Chương trình Toán lớp 11 sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc xin giới thiệu tài liệu Giải Toán 11 bài 2: Các phép biến đổi lượng giác CD, Mời quý bạn đọc cùng tham khảo.

Toán 11 Cánh Diều bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

1. Bài tập 1 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
2. Bài tập 2 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
3. Bài tập 3 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
4. Bài tập 4 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
5. Bài tập 5 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
6. Bài tập 6 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
7. Bài tập 7 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
8. Bài tập 8 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
9. Bài tập 9 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
10. Bài tập 10 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
11. Trắc nghiệm kiến thức Toán 11 Cánh diều bài 2:

1. Bài tập 1 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

Cho cosa = $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$ với 0< a < $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$.

Tính: sin(a + $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$), cos(a − $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$), tan(a+ $\frac{\pi }{4}$ $\frac{\pi }{4}$).

Bài giải:

Vì 0 < a < $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$ nên sina > 0

Áp dụng công thức sina² + cos²a = 1, suy ra sina = $\frac{4}{5}$ $\frac{4}{5}$, tana = $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$.

Ta có: sin(a+ $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$) = sinacos $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$+ cosasin $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$ = $\frac{3+4\sqrt{3} }{10}$ $\frac{3+4\sqrt{3} }{10}$

cos(a− $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$) = cosacos $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$+ sinasin $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$ = $\frac{3+4\sqrt{3} }{10}$ $\frac{3+4\sqrt{3} }{10}$

tan(a + $\frac{\pi }{4}$ $\frac{\pi }{4}$) = $\frac{tana+tan\frac{\pi }{4} }{1-tanatan\frac{\pi }{4}}$ $\frac{tana+tan\frac{\pi }{4} }{1-tanatan\frac{\pi }{4}}$ = −7.

2. Bài tập 2 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính:

A = sin(a − 17^∘)cos(a + 13^∘) − sin(a + 13^∘)cos(a − 17^∘);

B = cos(b + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)cos( $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$− b) − sin(b + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)sin( $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$ − b).

Bài giải:

A = sin(a − 17^∘)cos(a + 13^∘) − sin(a + 13^∘)cos(a − 17^∘)

= sin(a − 17^∘− a − 13^∘) = sin(−30^∘) = −12

B = cos(b + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)cos( $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$− b) − sin(b + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)sin( $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$ − b)

= cos(b + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$ + $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$ − b) = cos $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$ = 0

3. Bài tập 3 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho tan(a + b) = 3, tan(a − b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Bài giải:

Ta có: tan(a + b) = 3 ⇔ $\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=3$ $\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=3$ (1)

tan(a − b) = 2 ⇔ $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}=2$ $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}=2$ (2)

tan2a = $\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$ $\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$ , tan2b = $\frac{2tanb}{1-tan^{2}b}$ $\frac{2tanb}{1-tan^{2}b}$

Cộng hai vế của phương trình (1) và (2), suy ra: 2tana = 5−tanatanb ⇔ tana = $\frac{5-tanatanb}{2}$ $\frac{5-tanatanb}{2}$. Do đó: tan2a = $\frac{4(5-tanatanb)}{(7-tanatanb)(tanatanb-3)}$ $\frac{4(5-tanatanb)}{(7-tanatanb)(tanatanb-3)}$

Trừ hai vế của phương trình (1) và (2), suy ra: 2tanb = 1 − 5tanatanb ⇔ tanb = $\frac{1-5tanatanb}{2}$ $\frac{1-5tanatanb}{2}$ Do đó: $\frac{4(1-5tanatanb)}{(3-5tanatanb)(5tanatanb+1)}$ $\frac{4(1-5tanatanb)}{(3-5tanatanb)(5tanatanb+1)}$

4. Bài tập 4 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho sina = $\frac{2}{\sqrt{5} }$ $\frac{2}{\sqrt{5} }$. Tính: cos2a,cos4a.

Bài giải:

cos2a =1 − 2sin²a = $-\frac{3}{5}$ $-\frac{3}{5}$

cos4a = cos(2.2a) = 1 − 2sin²2a = 1 − 2(1−cos²2a) = $-\frac{7}{25}$ $-\frac{7}{25}$

5. Bài tập 5 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Bài giải:

(sina+cosa)² = 1⇔ 1 + 2sinacosa = 1 ⇔ sin2a = 0

6. Bài tập 6 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cos2a = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$ < a < π. Tính: sina,cosa,tana.

Bài giải:

Vì $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$ < a < π, suy ra: sina > 0, cosa < 0, tana < 0

cos2a = 1 − 2sin²a = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ⇔ sin²a = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ⇔ sina = $\frac{\sqrt{3} }{3}$ $\frac{\sqrt{3} }{3}$

cos2a = 2cos²a − 1 = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ⇔ cos²a = $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ ⇔ cosa = $-\frac{\sqrt{6} }{3}$ $-\frac{\sqrt{6} }{3}$

tana = $\frac{sina}{cosa} =\frac{\sqrt{2} }{2}$ $\frac{sina}{cosa} =\frac{\sqrt{2} }{2}$

7. Bài tập 7 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

Cho cos2x = $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$

Tính: A = cos(x + $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$)cos(x − $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$); B = sin(x + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)sin(x − $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$).

Bài giải:

Áp dụng công thức: cosacosb = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$[cos(a + b) + cos(a − b)]

⇒ A = cos(x + $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$)cos(x − $\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}$) = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$[cos2x + cos $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$] = $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$

Áp dụng công thức: sinasinb = $-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}$[cos(a + b) − cos(a − b)]

⇒ B = sin(x + $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$)sin(x − $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$) = $-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}$[cos2x − cos $\frac{2\pi }{3}$ $\frac{2\pi }{3}$] = $-\frac{3}{8}$ $-\frac{3}{8}$.

8. Bài tập 8 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}$ $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}$.

Bài giải:

Ta có: sinx + sin2x + sin3x = (sinx + sin3x) + sin2x = 2sin2xcosx + sin2x

= sin2x(2cosx + 1)

Tương tự: cosx + cos2x + cos3x = (cosx + cos3x) + cos2x = 2cos2xcosx + cos2x

= cos2x(2cosx + 1)

Suy ra: $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x$ $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x$

9. Bài tập 9 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

Bài tập 9 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Bài giải:

a) Gọi β là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất; γ là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.

Do đó: α = β − γ.

Ta có: tanα = tan(β − γ) = $\frac{tan\beta -tan\gamma }{1+tan\beta tan\gamma }=\frac{\frac{14}{15}-\frac{12}{15} }{1+\frac{14}{15}.\frac{12}{15} }=\frac{10}{131}$ $\frac{tan\beta -tan\gamma }{1+tan\beta tan\gamma }=\frac{\frac{14}{15}-\frac{12}{15} }{1+\frac{14}{15}.\frac{12}{15} }=\frac{10}{131}$

b) tanα = $\frac{10}{131}$ $\frac{10}{131}$ ⇒ α ≈ 0,076.

10. Bài tập 10 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Bài tập 10 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Bài giải:

Bài tập 10 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Gọi D, E nằm trên đường thẳng CK sao cho BD, AE ∥ HK.

Từ hình vẽ, ta có: $\hat{ACB}=\hat{BCD} -\hat{ACE}$ $\hat{ACB}=\hat{BCD} -\hat{ACE}$

Ta có: tan $\hat{ACB}$ $\hat{ACB}$ = tan( $\hat{BCD}-\hat{ACE}$ $\hat{BCD}-\hat{ACE}$)

Áp dụng công thức tan(a − b) = $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$ $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Suy ra: tan( $\hat{BCD}-\hat{ACE}$ $\hat{BCD}-\hat{ACE}$) = $\frac{45}{76}$ $\frac{45}{76}$ nên tan $\hat{ACB}$ $\hat{ACB}$ = $\frac{45}{76}$ $\frac{45}{76}$.

Do đó: $\hat{ACB}$ $\hat{ACB}$ = 30.63^∘.