Toán 11 Cánh Diều bài 2 trang 72

Giới hạn của hàm số

Từ năm học mới 2023 - 2024, Chương trình Toán lớp 11 sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc xin giới thiệu tài liệu Toán 11 Cánh Diều bài 1 trang 72. Mời quý bạn đọc cùng tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh Diều bài 2: Giới hạn của hàm số

1. Bài tập 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
2. Bài tập 2 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
3. Bài tập 3 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
4. Bài tập 4 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
5. Bài tập 5 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
6. Bài tập 6 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

1. Bài tập 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}$ $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}$;

b) $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}$ $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}=(-3)^{2}=9$ $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}=(-3)^{2}=9$

b) Giả sử ( $x_{n}$ $x_{n}$) là dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n}\neq 5$ $x_{n}\neq 5$ và $\lim x_{n}=5$ $\lim x_{n}=5$, ta có:

$\lim f(x_{n})=\lim\frac{x_{n}^{2}-25}{x_{n}-5}=\lim\frac{(x_{n}-5)(x_{n}+5)}{x_{n}-5}=\lim(x_{n}+5)=5+5=10$ $\lim f(x_{n})=\lim\frac{x_{n}^{2}-25}{x_{n}-5}=\lim\frac{(x_{n}-5)(x_{n}+5)}{x_{n}-5}=\lim(x_{n}+5)=5+5=10$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}=10$ $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}=10$.

2. Bài tập 2 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Biết rằng hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=3$ $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=3$ và $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=5$ $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=5$. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ hay không? Giải thích.

Bài giải:

Ta có: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)$ $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)$

Vậy không tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$.

3. Bài tập 3 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)$ $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)$;

b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$ $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$;

c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)=2^{2}-4.2+3=-1$ $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)=2^{2}-4.2+3=-1$;

b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} (x-2)=1$ $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} (x-2)=1$;

c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$ $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$.

4. Bài tập 4 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}$;

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}$;

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;

d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;

e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}$ $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}$;

g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}$ $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9+\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}=3$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9+\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}=3$;

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7-\frac{11}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{7}{2}$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7-\frac{11}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{7}{2}$;

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$;

d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$;

e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}=-\infty$ $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}=-\infty$;

g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}=+\infty$.

5. Bài tập 5 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N(t)=\frac{50t}{t+4} \left ( t\geq 0 \right )$ $N(t)=\frac{50t}{t+4} \left ( t\geq 0 \right )$ bộ phận mỗi ngày sau $t$ ngày đào tạo. Tính $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài giải:

$\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50t}{t+4}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50}{1+\frac{4}{t}}=50$ $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50t}{t+4}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50}{1+\frac{4}{t}}=50$

Vậy khi số ngày đào tạo càng nhiều thì số bộ phận mà trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được tiến dần đến 50.

6. Bài tập 6 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50 000 + 105x$.

a) Tính chi phí trung bình $\overline{\rm C}(x)$ $\overline{\rm C}(x)$ để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)$ $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài giải:

a) $\overline{\rm C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{50000+105x}{x}$ $\overline{\rm C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{50000+105x}{x}$

b) Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{50000+105x}{x}=105$ $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{50000+105x}{x}=105$

Vậy khi số sản phẩm càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tiến dần đến 105 (nghìn đồng).

-------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Cánh Diều bài 2 trang 72. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Cánh Diều.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

170

Bài trước

Bài sau