Toán 11 Cánh diều bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Toán 11 Cánh diều bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Cánh diều nhé.

Bài 1 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Bài làm

a) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AC

=> \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,C]

Có AB = BC = AC = a

=> Tam giác ABC đều

=> \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{ABC}\) = 60^∘

b) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AD

=> BADˆ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,D]

Có ABCD là hình thoi

=> \(\widehat{BAD}\) = 180^∘ − \(\widehat{ABC}\) = 120^∘

c) SA ⊥ (ABCD) => (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \(\widehat{SCA}\)

Tam giác SAC vuông tại A

=> tan\(\widehat{SCA}\) =  \(\frac{SA}{AC}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1

=> \(\widehat{SCA}\) = 45^∘

Bài 2 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Bài làm

SO ⊥ (ABCD) => (SA,(ABCD)) = (SA,OA) = \(\widehat{SAO}\)

Tam giác SAC là tam giác đều => \(\widehat{SAO}\) = 60^∘

=> \((SA,(ABCD))=60^{\circ}\)

b) ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD

SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ AC

=> AC ⊥ (SBD)

=>(SA,(SBD)) = (SA,SO) = \(\widehat{ASO}\) = \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ASC}\) = 30^∘

c) SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ MO, SO ⊥ DO

=> \(\widehat{MOD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,SO,D]

Có ABCD là hình vuông => \(\widehat{AOD}\) = 90^∘

Tam giác AMO vuông cân tại M => \(\widehat{AOM}\) = 45^∘

=> \(\widehat{MOD}\) = \(\widehat{AOM}\) + \(\widehat{AOD}\) = 45^∘ + 90^∘ = 135^∘

Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bài làm

Dựa vào hình vẽ, ta có AB là chiều dài con dốc, AE là độ cao của điểm A so với mặt nước biển, BD là độ cao của điểm B so với mực nước biển, BC là chiều cao của con dốc, độ dốc là góc BAC

Ta có: AE = 200, BD = 220, AB = 120

AEDC là hình chữ nhật => AE = CD = 200 => BC = 220 − 200 = 20

Vì tam giác ABC vuông tại C

=> sin\(\widehat{ABC}\) = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{6}\)

=> \(\widehat{ABC}\) ≈ 9,59^∘

=> Độ dốc của con dốc đó là 10,66%

Bài 4 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = AC = 30 cm và BC = 30\(\sqrt{3}\) cm.

Bài làm

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính

=> d ⊥ AB, d ⊥ AC

=> \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính

Xét tam giác ABC có

cos\(\widehat{ABC}\) = \(\frac{AB^{2}+AC^{2} -BC^{2} }{2AB.AC}\) = \(-\frac{1}{2}\)

=> \(\widehat{BAC}\) = 120^∘

Bài 5 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là \(\hat{B}\), \(\hat{C}\), \(\hat{D}\), \(\hat{E}\) trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, \(\hat{A}\) = \(\hat{G}\) =  90,  \(\hat{B}\) = \(\hat{E}\) = x, \(\hat{C}\)  =  \(\hat{D}\) = y . Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Bài làm

Kẻ CH ⊥ AG (H ∈ AG), DK ⊥ AG (K ∈ AG)

Gọi I = BE ∩ CH, J = BE ∩ DK

ABEG là hình chữ nhật => BE = AB = 12

CDKH,CDJI là hình chữ nhật => IH = JK = AB = 2

AH = GK = BI = EJ = \(\frac{AG-HK}{2}\) = \(\frac{12-1}{2}\) = 5,5

CD = d(C,AG) = 4 => CI = CH − IH = 2

Có tam giác BCI vuông tại I

=> tan\(\widehat{CBI}\) = \(\frac{CI}{BI}\) = \(\frac{2}{5,5}\) = \(\frac{4}{11}\)

=> \(\widehat{CBI}\) ≈ 19,98^∘

=> x = \(\widehat{ABI}\) + \(\widehat{CBI}\) = 90^∘ + 19,98^∘ = 110^∘

=>y = 180^∘ − x = 180^∘ − 110^∘ = 70^∘

Bài 6 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC). Gọi a là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosa.

Bài làm

Kẻ \(AH\perp BC (H\in BC)\)

=> \(SA\perp (ABC) => SA\perp BC\)

=> \(BC \perp (SAH) => BC\perp SH\)

=> \(\widehat{SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,BC,S]

=> \(\widehat{SHA}=\alpha\)

Có \(\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{\frac{1}{2}BC.SH}=cos\widehat{SHA}=cos\alpha\)

-----------------------------------------

Bài tiếp theo: Toán 11 Cánh diều bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Cánh diều bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Cánh diều, Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều.