Toán 11 Cánh Diều bài 1 trang 64, 65

Giới hạn của dãy số

Từ năm học mới 2023 - 2024, Chương trình Toán lớp 11 sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc xin giới thiệu tài liệu Toán 11 Cánh Diều bài 1 trang 64, 65. Mời quý bạn đọc cùng tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh Diều bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Bài tập 1 trang 64 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
2. Bài tập 2 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
3. Bài tập 3 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
4. Bài tập 4 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
5. Bài tập 5 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
6. Bài tập 6 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

1. Bài tập 1 trang 64 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n}=3+\frac{1}{n}; v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}$ $u_{n}=3+\frac{1}{n}; v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}$. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim u_{n}, \lim v_{n}$ $\lim u_{n}, \lim v_{n}$.

b) $\lim(u_{n}+v_{n}), \lim(u_{n}-v_{n}), \lim(u_{n}.v_{n}), \lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $\lim(u_{n}+v_{n}), \lim(u_{n}-v_{n}), \lim(u_{n}.v_{n}), \lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$.

Bài giải:

a) $\lim u_{n}=\lim(3+\frac{1}{n})=\lim3+\lim\frac{1}{n}=3$ $\lim u_{n}=\lim(3+\frac{1}{n})=\lim3+\lim\frac{1}{n}=3$

$\lim v_{n}=\lim(5-\frac{2}{n^{2}})=\lim5-\lim\frac{2}{n^{2}}=5$ $\lim v_{n}=\lim(5-\frac{2}{n^{2}})=\lim5-\lim\frac{2}{n^{2}}=5$

b) $\lim(u_{n}+v_{n})=\lim u_{n}+\lim v_{n}=3+5=8$ $\lim(u_{n}+v_{n})=\lim u_{n}+\lim v_{n}=3+5=8$

$\lim(u_{n}-v_{n})=\lim u_{n}-\lim v_{n}=3-5=-2$ $\lim(u_{n}-v_{n})=\lim u_{n}-\lim v_{n}=3-5=-2$

$\lim(u_{n}.v_{n})=\lim u_{n}.\lim v_{n}=3.5=15$ $\lim(u_{n}.v_{n})=\lim u_{n}.\lim v_{n}=3.5=15$

$\lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{\lim u_{n}}{\lim v_{n}}=\frac{3}{5}$ $\lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{\lim u_{n}}{\lim v_{n}}=\frac{3}{5}$

2. Bài tập 2 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim\frac{5n+1}{2n}$ $\lim\frac{5n+1}{2n}$;

b) $\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}$ $\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}$;

c) $\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}$ $\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}$;

d) $\lim(2-\frac{1}{3^{n}})$ $\lim(2-\frac{1}{3^{n}})$;

e) $\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}$ $\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}$;

g) $\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}$ $\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}$.

Bài giải:

a) $\lim\frac{5n+1}{2n}=\lim\frac{5+\frac{1}{n}}{2}=\frac{5}{2}$ $\lim\frac{5n+1}{2n}=\lim\frac{5+\frac{1}{n}}{2}=\frac{5}{2}$;

b) $\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}=\lim\frac{6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{6}{5}$ $\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}=\lim\frac{6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{6}{5}$;

c) $\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}=\lim\frac{n\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{n(6+\frac{2}{n})}=\frac{1}{6}$ $\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}=\lim\frac{n\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{n(6+\frac{2}{n})}=\frac{1}{6}$;

d) $\lim(2-\frac{1}{3^{n}})=\lim2-\lim(\frac{1}{3})^{n}=2$ $\lim(2-\frac{1}{3^{n}})=\lim2-\lim(\frac{1}{3})^{n}=2$;

e) $\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}=\lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{4}=\frac{1}{4}$ $\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}=\lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{4}=\frac{1}{4}$;

g) $\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}=\lim\frac{2+0}{+\infty}=0$ $\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}=\lim\frac{2+0}{+\infty}=0$.

3. Bài tập 3 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ $(u_{n})$, với $(u_{n})$ $(u_{n})$, với $u_{1}=\frac{2}{3}, q=-\frac{1}{4}$ $u_{1}=\frac{2}{3}, q=-\frac{1}{4}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Bài giải:

a) $S=\frac{\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{5}{6}$ $S=\frac{\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{5}{6}$;

b) $1,(6)=\frac{5}{3}$ $1,(6)=\frac{5}{3}$.

4. Bài tập 4 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích $S_{n}$ $S_{n}$ của hình vuông được tạo thành ở bước thứ $n$;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Bài tập 4 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Bài giải:

a) Ta có: $u_{1}=1, q=\frac{1}{2}$ $u_{1}=1, q=\frac{1}{2}$

Do đó: $S_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$ $S_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

b) $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

5. Bài tập 5 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi $u_{n}$ $u_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ của dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$.

b) Chứng minh rằng $(u_{n})$ $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}$ $10^{-6}$ g.

Bài giải:

a) Sau một chu kì bán rã: $u_{1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$ $u_{1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$ (kg).

Sau hai chu kì bán rã: $u_{2}=\frac{1}{2}.u_{1}=\frac{1}{2^{2}}$ $u_{2}=\frac{1}{2}.u_{1}=\frac{1}{2^{2}}$.

Tổng quát: Sau n chu kì bán rã: $u_{n}=\frac{1}{2^{n}}$ $u_{n}=\frac{1}{2^{n}}$.

b) $\lim_{n\rightarrow \infty} u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{1}{2})^{n}=0$ $\lim_{n\rightarrow \infty} u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{1}{2})^{n}=0$.

c) Đổi $10^{-6}$ $10^{-6}$ g = $10^{-9}$ $10^{-9}$ kg

Ta có: $u_{n}< 10^{-9}\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}}< 10^{-9}\Leftrightarrow 2^{n}>10^{9} \Leftrightarrow n\geq 30$ $u_{n}< 10^{-9}\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}}< 10^{-9}\Leftrightarrow 2^{n}>10^{9} \Leftrightarrow n\geq 30$

Vậy sau 30 chu kì, tức là 30.24000 = 720 000 năm thì 1 kg phóng xạ này không còn độc hại nữa.

6. Bài tập 6 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Gọi $C$ là nửa đường tròn đường kính $AB=2R$, $C_{1}$ $C_{1}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$ $\frac{AB}{2}$, $C_{2}$ $C_{2}$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$ $\frac{AB}{4}$, $C_{n}$ $C_{n}$ là đường gồm $2^{n}$ $2^{n}$ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^{n}}$ $\frac{AB}{2^{n}}$,... (Hình 4). Gọi $p_{n}$ $p_{n}$ là độ dài của $C_{n}$ $C_{n}$, $S_{n}$ $S_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $C_{n}$ $C_{n}$ và đoạn thẳng $AB$.

a) Tính $p_{n}, S_{n}$ $p_{n}, S_{n}$.

b) Tìm giới hạn của các dãy số $(p_{n})$ $(p_{n})$ và $(S_{n})$ $(S_{n})$.

Bài tập 6 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Bài giải:

a) Ta có: $p_{n}=2^{n}.\frac{R}{2^{n}}.\pi =\pi R$ $p_{n}=2^{n}.\frac{R}{2^{n}}.\pi =\pi R$

$S_{n}=2^{n}.(\frac{R}{2^{n}})^{2}.\frac{\pi }{2}=\frac{\pi R^{2}}{2}.\frac{1}{2^{n}}$ $S_{n}=2^{n}.(\frac{R}{2^{n}})^{2}.\frac{\pi }{2}=\frac{\pi R^{2}}{2}.\frac{1}{2^{n}}$

b) Ta có: $\lim p_{n}=\pi R$ $\lim p_{n}=\pi R$, $\lim S_{n}=0$ $\lim S_{n}=0$

-------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Cánh Diều bài 1 trang 64, 65. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Cánh Diều.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

4

1.126

Bài trước

Bài sau