VnDoc.com

Toán 11 Cánh Diều bài 5 trang 113

Hình lăng trụ và hình hộp

Bài trước

Bài sau

Từ năm học mới 2023 - 2024, Chương trình Toán lớp 11 sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc xin giới thiệu tài liệu Toán 11 Cánh Diều bài 5 trang 113. Mời quý bạn đọc cùng tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh Diều bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

1. Bài tập 1 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
2. Bài tập 2 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều
3. Bài tập 3 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

1. Bài tập 1 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (ACB') $\parallel$ $\parallel$ (A'C'D).

b) Gọi $G_{1}, G_{2}$ $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là giao điểm của BD' với các mặt phẳng (ACB') và (A'C'D). Chứng minh rằng $G_{1}, G_{2}$ $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB' và A'C'D.

c) Chứng minh rằng $BG_{1} = G_{1}G_{2} = D$ $BG_{1} = G_{1}G_{2} = D'G_{2}$.

Bài giải:

a) Ta có: AD // B'C', AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành

Suy ra: AB' // DC' nên AB' // (A'C'D) (1)

Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'. Suy ra: AC // (A'C'D) (2)

Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)

(1)(2)(3) suy ra (ACB') // (A'C'D)

b) Gọi O, O' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D'

Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại $G_{1}$ $G_{1}$

Suy ra: B'O cắt BD' tại $G_{1}$ $G_{1}$

Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại $G_{2}$ $G_{2}$

Ta có: $\triangle G_{1}$ $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$ $\triangle G_{1}$B'D' (do BD // B'D')

Suy ra: $\frac{G_{1}O}{G_{1}B$ $\frac{G_{1}O}{G_{1}B'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}$

Nên: $\frac{G_{1}O}{OB$ $\frac{G_{1}O}{OB'}=\frac{2}{3}$

Do đó: $G_{1}$ $G_{1}$ là trọng tâm $\triangle$ $\triangle$ACB'.

Chứng minh tương tự ta có: $G_{2}$ $G_{2}$ là trọng tâm $\triangle$ $\triangle$A'C'D.

c) Ta có: $\triangle G_{1}$ $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$ $\triangle G_{1}$B'D'

Suy ra: $\frac{G_{1}B}{G_{1}D$ $\frac{G_{1}B}{G_{1}D'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}$

Nên: $G_{1}B=\frac{1}{3}BD$ $G_{1}B=\frac{1}{3}BD'$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{G_{2}D$ $\frac{G_{2}D'}{G_{2}B}=\frac{OD'}{DB}=\frac{1}{2}$

Nên: $G_{2}D$ $G_{2}D'=\frac{1}{3}DD'$ (2)

(1)(2) suy ra $G_{1}B=G_{1}G_{2}=G_{2}D$ $G_{1}B=G_{1}G_{2}=G_{2}D'$.

2. Bài tập 2 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA', C'D', AD'. Chứng minh rằng:

a) NQ $\parallel$ $\parallel$ A'D' và NQ = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$A'D';

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN $\parallel$ $\parallel$ (ACD');

d) (MNP) $\parallel$ $\parallel$ (ACD').

Bài giải:

a) Ta có: N là trung điểm của AA' nên $\frac{AN}{AA$ $\frac{AN}{AA'}=\frac{1}{2}$

Q là trung điểm của AD' nên $\frac{AQ}{AD$ $\frac{AQ}{AD'}=\frac{1}{2}$

Theo định lí Ta-lét ta có: NQ // A'D'

Suy ra: $\frac{NQ}{A$ $\frac{NQ}{A'D'}=\frac{AN}{AA'}=\frac{1}{2}$ nên $NQ=\frac{1}{2}A$ $NQ=\frac{1}{2}A'D'$

b) Ta có: NQ // A'D' mà A'D' // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có: $NQ=\frac{1}{2}A$ $NQ=\frac{1}{2}A'D'$ mà A'D' = BC, MC = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ BC nên NQ = MC (2)

(1)(2) suy ra: MNQC là hình bình hành

c) Ta có: MNCQ là hình bình hành nên MN // CQ

Mà CQ thuộc (ACD')

Nên MN // (ACD')

d) Gọi O là trung điểm của AC

$\triangle$ $\triangle$ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC

Suy ra: OM // AB nên OM = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ AB

Mà AB = C'D', D'P = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ C'D

Suy ra: OM = D'P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C'D' nên OM // C'D' hay OM // D'P (2)

(1)(2) suy ra OMPD' là hình bình hành. Do đó: MP // OD'

Mà OD' thuộc (ACD')

Suy ra: MP // (ACD')

Mà MN thuộc (ACD') (câu c)

Do đó: (MNP) // (ACD').

3. Bài tập 3 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A'B'.

a) Chứng minh rằng EF $\parallel$ $\parallel$ (BCC'B').

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC'B). Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CF.

Bài giải:

a) Gọi H là trung điểm của BC

$\triangle$ $\triangle$ABC có: E là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC

Suy ra: EH // AB

Mà AB // A'B'

Do đó: EH // A'B' hay EH // B'F (1)

Ta có: EH // AB nên $\frac{EH}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}$ $\frac{EH}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}$

Mà AB = A'B', B'F = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ A'B'

Nên: EH = B'F (2)

(1)(2) suy ra: EHB'F là hình bình hành. Do đó: EF // B'H

Mà B'H thuộc (BCC'B')

Suy ra: EF // (BCC'B')

b) Gọi K là trung điểm AB

Dễ dàng chứng minh được FKBB' là hình bình hành

Ta có: FK // BB'

Mà BB' // CC'

Suy ra: FK // CC' (1)

Ta có: FK = BB', mà BB' = CC'

Do đó: FK = CC' (2)

(1)(2) suy ra FKCC' là hình bình hành

Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên C'K cắt CF tại trung điểm của hai đường thẳng

mà C'K thuộc (AC'B), CF cắt (AC'B) tại I (đề bài)

Do đó: I là trung điểm của CF.

-------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Cánh Diều bài 5 trang 113: Hình lăng trụ và hình hộp. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Cánh Diều.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

83

Bài trước

Bài sau