Toán 11 Kết nối tri thức bài 6

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 6: Cấp số cộng để bạn đọc cùng tham khảo và có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 48

Mở đầu trang 48 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 16 và công sai d = 2.

Tổng các số hạng này là

\(\begin{array}{l} {S_{25\;}} = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{25}}\;\\ = \;252.\left[ {2{u_1} + \left( {25 - 1} \right)d} \right]\\ = 252\left( {2.16 + 24.2} \right) = 1000 \end{array}\)

Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1 000 ghế.

Giải hoạt động 1 trang 48 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: \(1; 3; 5; 7; 9\).

b) Nhận thấy trong dãy số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Dự đoán công thức biểu diễn số hạng un theo số hạng u_{n – 1} là:\(u_n = u_{n – 1 }+ 2\).

Giải câu hỏi trang 48 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

Giải Toán 11 trang 49

Giải luyện tập 1 trang 49 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có:

u_{n – 1} = – 2(n – 1) + 3 = – 2n + 2 + 3 = – 2n + 5

=> u_n – u_{n – 1} = (– 2n + 3) – (– 2n + 5) = – 2, với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = – 2 . 1 + 3 = 1 và công sai d = – 2.

Giải hoạt động 2 trang 49 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{u_2} = {u_1} + d}\\ {{u_3} = {u_2} + d = ({u_1} + d) + d = {u_1} + 2d}\\ {{u_4} = {u_3} + d = ({u_1} + 2d) + d = {{\rm{u}}_1} + 3d}\\ {u{ _5} = {u_4} + d = ({u_1} + 3d) + d = {u_1} + 4d} \end{array}\)

b) Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u_n theo u₁ và d là

u_n = u₁ + (n – 1)d.

Giải luyện tập 2 trang 49 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} {u_n}\;-{\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {\rm{ }}\left( {4n{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {4\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]{\rm{ }}\\ = {\rm{ }}4n{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4n{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4;\forall n \ge 2 \end{array}\)

=> Dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 . 1 – 3 = 1 và công sai d = 4.

Vậy số hạng tổng quát là: u_n = 1 + (n – 1) . 4.

Giải Toán 11 trang 50

Giải hoạt động 3 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_2} = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}d;{\rm{ }}\\...;\\{\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n-1-1} \right)d{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n-2} \right)d;{\rm{ }}\\{u_n} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d\end{array}\)

\(\begin{array}{l} {S_n}\; = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}{\rm{ }}\\ = {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + ... + \left[ {{u_1} + \left( {n - 2} \right)d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {Sn\; = {\rm{ }}{u_n}\; + {\rm{ }}{u_{n - 1}}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}{u_1}}\\ { = {\rm{ }}[{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d\left] {{\rm{ }} + {\rm{ }}} \right[{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)d]{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}({u_1} + {\rm{ }}d){\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}} \end{array}\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l} {S_n}\; + {\rm{ }}{S_{n\;}} = {\rm{ }}\left\{ {{u_1}\; + {\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}d){\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}\left[ {{u_{1\;}} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)d} \right] + \left[ {{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d} \right]} \right\}\\ + \left\{ {\left[ {{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d} \right] + \left[ {{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)d} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}d){\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}} \right\} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{S_n}\; = {\rm{ }}\{ {u_1}\; + {\rm{ }}[{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]\} {\rm{ }} + {\rm{ }}\{ ({u_1}\; + {\rm{ }}d){\rm{ }} + {\rm{ }}[{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)d]\} {\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} +\)

\(\;\{ [{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)d]{\rm{ }} + {\rm{ }}({u_1} + {\rm{ }}d)\} {\rm{ }} + {\rm{ }}\{ [{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\}\)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{S_n} = {\rm{ }}[2{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d\left] {{\rm{ }} + {\rm{ }}} \right[2{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} +\)

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\;[2{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d\left] {{\rm{ }} + {\rm{ }}} \right[2{u_1}\; + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}2{S_n}\; = {\rm{ }}n{\rm{ }}.{\rm{ }}[2{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}S{n_n} = {\rm{ }}[2{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)d]{\rm{ }}.} \end{array}\)

Giải vận dụng trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là;

\(\begin{array}{l} {S_{10\;}} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{10}}\;\\ = \;\dfrac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = 5.\left( {2.100 + 9.20} \right) = 1900 \end{array}\)

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.

Giải Toán 11 trang 51

Bài 2.8 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, -1, -3, -5, ...

Lời giải

a) 9 - 4 = 5; 14 - 9 = 5

Suy ra cấp số cộng có u₁ = 4, công sai d = 5

Số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = 4 + 5(n − 1)

Số hạng thứ 5: u₅ = 4 + 5(5 − 1) = 24

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 4 + 5(100 − 1) = 499

b) -1 - 1 = -2; -3 - (-1) = -2

Suy ra cấp số cộng có u₁ = 1, công sai d = -2

Số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = 1 + (−2) (n−1)

Số hạng thứ 5: u₅ = 1 + (−2) (5−1) = −7

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 1 + (−2) (100−1) = −197

Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ + (n − 1)d

a) u_n = 3 + 5n

b) u_n = 6n − 4

c) u₁ = 2, u_n = u_{n − 1} + n

d) u₁ = 2, u_n = u_{n − 1} + 3

Lời giải

a) u₁ = 8; u₂ = 13; u₃ = 18; u₄ = 23; u₅ = 28

Ta có: u_n − u_{n −1} = 3 + 5n − [3 + 5 (n − 1)] = 5 ∀ x ≥ 2

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u₁ = 8 và công sai d = 5

Số hạng tổng quát: u_n = 8 + 5 (n − 1)

b) u₁ = 2; u₂ = 8; u₃ = 14; u₄ = 20; u₅ = 26

Ta có: u_n − u_n−1 = 6n − 4 − [ 6 (n − 1) − 4] = 6 ∀ x ≥ 2

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u₁ = 2 công sai d = 6

Số hạng tổng quát: u_n = 2 + 6 (n − 1)

c) u₁ = 2; u₂ = 4; u₃ = 7; u₄ = 11; u₅ = 16

Ta có: u₂ − u₁ = 2 ≠ u₃ − u₂ = 3

Suy ra đây không phải cấp số cộng

d) u₁ = 2; u₂ = 5; u₃ = 8; u₄ = 11; u₅ = 14

Ta có: u_n − u_n−1 =3

Suy ra đây là dãy cấp số công có u₁ = 2 và công sai d = 3

Số hạng tổng quát: u_n = 2 + 3 (n − 1)

Bài 2.10 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này

Lời giải

Gọi số hạng tổng quát của dãy là: u_n = u₁ + (n − 1)d

Ta có: u₅ = u₁ + 4d = 18; u₁₂ = u₁ + 11d = 32

Suy ra u₁ = 10, d = 2

Số hạng tổng quát: u_n = 10  +2 (n − 1)

Số hạng thứ 50 là: u₅₀ = 108

Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?

Lời giải

Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:

\(2700=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 5+(n-1)\times 2]=\frac{n}{2}(8+2n)\)

Do đó \(4n+n^{2}-2700=0\). Giải phương trình bậc hai này ta được n = -54 (loại) hoặc n = 50

Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.

Bài 2.12 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Lời giải

Giá của chiếc xe sau n năm là: u_n = 680 − 55 (n − 1)

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: u₅ = 680 − 55 (5 − 1) = 460 (triệu đồng)

Bài 2.13 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở đằng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiếu bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_{1}=15\) và công sai d = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:

\(870=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 15+(n-1)\times 3]=\frac{n}{2}(27+3n)\)

Do đó \(27n+3n^{2}-1740=0\) , suy ra n = 20, n = -29 (loại)

Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế

Bài 2.14 trang 51 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1.2 triệu người. Giả sử mõi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030

Lời giải

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có u₁ = 1200, công sai d = 30

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: u_n = 1200 + 30 (n − 1)

Dân số của năm 2030 tức n = 11 u₁₁ = 1200 + 30 (11 − 1) = 1500 (nghìn người)

-----------------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 7