Toán 11 Kết nối tri thức bài 9

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 9: Các số đặc trưng đo các xu thế trung tâm để bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thể dễ dàng giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 62

Mở đầu trang 62 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	15	45	75	105
Số khách hàng	3	15	10	7

Tổng số khách hàng là n = 35. Số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng là

\(\overline x = \frac{{15.3 + 45.15 + 75.10 + 105.7}}{{35}} = 63\)(nghìn đồng).

=> Số trung bình cho mẫu số liệu gốc khoảng 63 nghìn đồng.

Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

Gọi x₁, x₂ ..., x₃₅ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x₁₈.

Do x₁₈ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị.

=> p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 3}}{{15}}.30 = 59\)

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₉. Do x₉ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q₁.

=> p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{4} - 3}}{{15}}.30 = 41,5\)

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là x₃₇. Do x₂₇ thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q₃.

=> p = 3; a₃ = 60; m₃ = 10; m₁ + m₂ = 3 + 15 = 18; a₄ – a₃ = 90 – 60 = 30 và ta có

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.35}}{4} - 18}}{{10}}.30 = 84,75\)

Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 59.

=> Trung vị của mẫu số liệu gốc khoảng 59 và các tứ phân vị khoảng 41,5; 59; 84,75.

Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60).

Ta có, j = 2, a₂ = 30, m₂ = 15, m₁ = 3, m₃ = 10, h = 30

\(\Rightarrow {M_0} = 30 + \frac{{15 - 3}}{{\left( {15 - 3} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.30 \approx 51,18\)

Vậy mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 51,18.

Giải hoạt động 1 trang 62 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

Thời gian (giờ)	Dưới 1,5 giờ	[1,5; 3)	[3; 4,5)	Từ 4,5 giờ trở lên
Số học sinh	5	15	8	2

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là \(\frac{{1,5 + 3}}{2} = 2,25a\), tần số tương ứng là 15.

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là \(\frac{{3 + 4,5}}{2} = 3,75\;\), tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

Số trung bình là:

\(\overline x = \frac{{5.0,75 + 15.2,25 + 8.3,75 + 2.5,25}}{{30}} = 2,6\)

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Giải Toán 11 trang 63

Giải luyện tập 1 trang 63 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian (giờ)	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5
Số học sinh	8	16	4	2	2

Tổng số học sinh là \(n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32.\)

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

\(\overline x = \frac{{8.2,5 + 16.7,5 + 4.12,5 + 2.17,5 + 2.22,5}}{{32}} = 8,4375{\rm{ }}\) (giờ).

Vậy thời gian trung bình cần tìm là 8,4375 giờ.

Giải hoạt động 2 trang 63 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có: cỡ mẫu n = 21, là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu.

Mặt khác x₁₁ thuộc [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Giải Toán 11 trang 64

Giải luyện tập 2 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi x₁, x₂, ..., x₂₀₀ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

=> Trung vị là \(\frac{{{x_{100}} + {x_{101}}}}{2}\)

Vì 2 giá trị x₁₀₀, x₁₀₁ thuộc nhóm [165; 170) (vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị

=> p = 4; a₄ = 165; m₄ = 43; m₁ + m₂ + m₃ = 18 + 28 + 35 = 81; a_5­ – a₄ = 170 – 165 = 5 và ta có \({M_e} = {\rm{ }}165 + \frac{{\frac{{200}}{2} - 81}}{{63}}{\rm{.5}} \approx 167,21\)

Giải hoạt động 3 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì n = 21 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6

=> \({Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\) mà x₅, x₆ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q₁ thuộc nhóm [5; 10).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy x₁₂, x­₁₃, ..., x₂₁ nên \({Q_6} = \frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}\)

Ta có: 3 + 8 + 7 = 18, => x₁₆, x₁₇ thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba Q₃ thuộc nhóm [10; 15).

Giải Toán 11 trang 65

Giải luyện tập 3 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \({Q_1} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\).

Vì x₅₀, x₅₁ đều thuộc nhóm [160; 165) => Nhóm này chứa Q₁.

=> p = 3; a₃ = 160; m₃ = 35; m₁ + m₂ = 18 + 28 = 46; a₄ – a₃ = 165 – 160 = 5 và ta có

\({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 46}}{{35}}.5 \approx 160,57\)

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \({Q_3} = \frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\)

Vì x₁₅₀, x₁₅₁ đều thuộc nhóm [170; 175) => Nhóm này chứa Q₃.

=> p = 5; a₅ = 170; m₅ = 41; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 18 + 28 + 35 + 43 = 124; a₆ – a₅ = 175 – 170 = 5 và ta có:

\({Q_3} = 170 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - 124}}{{41}}.5 \approx 173,17\)

Giải Toán 11 trang 66

Giải hoạt động 4 trang 66 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất.

Ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là j = 2; a_j = a₂ = 5; m₂ = 16; m₁ = 8; m₃ = 4; độ dài của nhóm h = 5.

=> Mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng 5 + 16 − 8 ( 16 − 8 ) + ( 16 − 4 ) .5 = 7 .

Giải luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm [10,5; 20,5).

Ta có: j = 2; a₂ = 10,5; m₂ = 10; m₁ = 2; m₃ = 6; h = 20,5 – 10,5 = 10.

=> Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là

\({M_0} = 10,5 + \frac{{10 - 2}}{{\left( {10 - 2} \right) + \left( {10 - 6} \right)}}.10 = \frac{{103}}{6} \approx 17,17{\rm{ }}.\)

Giải vận dụng trang 66 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	[0; 30)	[30; 60)	[60; 90)	[90; 120)
Số khách hàng	3	15	10	7

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	15	45	75	105
Số khách hàng	3	15	10	7

Tổng số khách hàng là n = 35.

Số trung bình là: \(\overline x = \frac{{3.15 + 15.45 + 10.75 + 7.105}}{{35}} = 63\)

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

Ý nghĩa: Trung bình mỗi người đi xe máy vào mua xăng hết 63 000 đồng.

Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi x₁, x₂, ..., x₃₅ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x₁₈.

Vì x_18­ thuộc nhóm [30; 60) => Nhóm này chứa trung vị.

=> p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có \({M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 3}}{{15}}.30 = 59\)

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₉.

Vì x₉ thuộc nhóm [30; 60) => Nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{4} - 3}}{{15}}.30 = 41,5\)

- Tứ phân vị thứ ba Q₃ là x₂₇.

Vì x₂₇ thuộc nhóm [60; 90) => Nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3; a₃ = 60; m₃ = 10; m₁ + m₂ = 3 + 15 = 18; a₄ – a₃ = 90 – 60 = 30 và ta có

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.35}}{4} - 18}}{{10}}.30 = 84,75\)

- Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 59.

Do đó, các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ là Q₁ = 41,5; Q₂ = 59 và Q₃ = 84,75, mỗi giá trị này là các ngưỡng để chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Ý nghĩa: Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60).

Ta có, j = 2, a₂ = 30, m₂ = 15, m₁ = 3, m₃ = 10, h = 30.

\(\Rightarrow {M_0} = 30 + \frac{{15 - 3}}{{\left( {15 - 3} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.30 \approx 51,18\)

=> Mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18.

Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

Giải Toán 11 trang 67

Bài 3.4 trang 67 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) 

Quãng đường (km)	[0;5)	[5;10)	[10;15)	[15;20)	[20;25)	[25;30)	[30;35)
Số công nhân	6	10	11	9	1	1	2
Giá trị đại diện	2.5	7.5	12.5	17.5	22.5	27.5	32.5

b) Với mẫu số liệu không ghép nhóm:

\(\bar{x}\) = (5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12) : 40 = 11.9

Với mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\bar{x}=\frac{2.5\times 6+7.5\times 10+12.5\times 11+17.5\times 9+22.5+27.5+32.5\times 2}{40}=12.5\)

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn

c) 11 là tần số lớn nhất nên nhóm chưa mốt là [10;15)

Bài 3.5 trang 67 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3; 3.5), ta có \(j = 3, a_{3}=3,m_{3}=14,m_{2}=9,m_{4}=11,h =0.5\)

Do đó: \(M_{o}=3+\frac{14-9}{(14-9)+(14-11)}\times 0.5=3.31\)

b)

Tuổi thọ (năm)	[2;2.5)	[2.5;3)	[3;3.5)	[3.5;4)	[4;4.5)	[4.5;5)
Tần số	4	9	14	11	7	5
Giá trị đại diện	2.25	2.75	3.25	3.75	4.25	4.75

Tuổi thọ trung bình:

\(\bar{x}=\frac{4\times 2.25+9\times 2.75+14\times 3.25+11\times 3.75+7\times 4.25+5\times 4.75}{50}=3.48\)

Bài 3.6 trang 67 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a)

Điểm	[0;10)	[10;20)	[20;30)	[30;40)	[40;50)	[50;60)	[60;70)	[70;80)	[80;90)	[90;100)
Số thí sinh	1	2	4	6	15	12	10	6	3	1

b) Cỡ mẫu n = 60

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_{1}\) là \(\frac{x_{15}+x_{16}}{2}\) . Do \(x_{15},x_{16}\) đều thuộc nhóm [40;50) nên nhóm này chứa \(Q_{1}\) . Do đó, \(p=5;a_{5}=40,m_{5}=15,m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=1+2+4+6=13,4\)

\(4a_{6}-a_{5}=10\) và ta có:

\(Q_{1}=40+\frac{\frac{60}{4}-13}{15}\times 10=41.33\)

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41.3

Tứ phân vị thứ hai tức \(M_{e} là \frac{x_{30}+x_{31}}{2}\) . Do \(x_{30},x_{31}\) đều thuộc nhóm [50;60) nên nhóm này chứa \(M_{e}\) . Do đó, \(p=6;a_{6}=50,m_{6}=12\),

\(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}=1+2+4+6+15=28\),

\(a_{7}-a_{6}=10\) và ta có:

\(M_{e}=50+\frac{\frac{60}{2}-28}{12}\times 10=51.67\)

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51.67

Tứ phân vị thứ ba \(Q_{3} là \frac{x_{45}+x_{46}}{2}\). Do \(x_{45},x_{46}\) đều thuộc nhóm [60;70) nên nhóm này chứa \(Q_{3}\). Do đó, \(p=7;a_{7}=60,m_{7}=10\),

\(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}=1+2+4+6+15+12=40\)

\(a_{8}-a_{7}=10\) và ta có:

\(Q_{3}=60+\frac{\frac{60\times 3}{4}-40}{10}\times 10=65\)

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65

Bài 3.7 trang 67 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a)

Thời gian	Giá trị đại diện	Số học sinh nam	Số học sinh nữ
[4;5)	4.5	6	4
[5;6)	5.5	10	8
[6;7)	6.5	13	10
[7;8)	7.5	9	11
[8;9)	8.5	7	8

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam \(\bar{x}_{nam}=\frac{4.5\times 6+5.5\times 10+6.5\times 13+7.5\times 9+8.5\times 7}{6+10+13+9+7}=6.52\)

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ \(\bar{x}_{nữ}=\frac{4.5\times 4+5.5\times 8+6.5\times 10+7.5\times 11+8.5\times 8}{4+8+10+11+8}=6.77\)

6.77 > 6.52. Như vậy thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ nhiều hơn các bạn nam

b) Cỡ mẫu n = 86

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_{1}\) là \(\frac{x_{21}+x_{22}}{2}\) . Do \(x_{21},x_{22}\) đều thuộc nhóm [5;6) nên nhóm này chứa \(Q_{1}\) . Do đó, \(p=2,a_{2}=5,m_{2}=18;m_{1}=10,a_{3}-a_{2}=1\) và ta có:

\(Q_{1}=5+\frac{\frac{86}{4}-10}{18}\times 1=5.64\)

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5.64 giờ

---------------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 3

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 9: Các số đặc trưng đo các xu thế trung tâm. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.