Toán 11 Kết nối tri thức bài 13

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 13: Hai mặt phẳng song song để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 13. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 88

Mở đầu trang 88 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc là nằm trong các mặt phẳng song song với nhau.

Giải hoạt động 1 trang 88 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

• Hai mặt kính của một cửa sổ hai lớp có thể xem như nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Hai mặt đối diện của một tấm bảng điện tử dạng hộp gợi hình ảnh hai mặt phẳng song song.
• Các lát cắt của một ổ bánh mì được cắt đều và song song có thể xem là nằm trên những mặt phẳng song song.
• Hai mặt phẳng chứa hai lớp của một tấm gỗ ép nhiều lớp cũng cho hình ảnh tương tự.
• Hai mặt đối diện của một quyển sách đóng bìa cứng có thể được xem gần đúng là hai mặt phẳng song song.
• ...

Giải câu hỏi trang 88 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

Giải Toán 11 trang 89

Giải hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì a song song với mặt phẳng \((β)\) và a nằm trong mặt phẳng \((α)\) nên \((α)\) và \((β)\) cắt nhau theo giao tuyến c song song với a.

Giải thích tương tự, ta thấy c song song với b.

Suy ra a song song với b hoặc a trùng với b (mâu thuẫn giả thiết).

Giải câu hỏi trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Giả sử hai đường thẳng \(a, b\) trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau trên => \((α)\) và \((β)\) không song song với nhau.

Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Giải luyện tập 1 trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

\(m // BC => m // (BCD)\).

\(n // BD => n // (BCD)\).

\(mp(m, n)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n (cắt nhau tại A) cùng song song với mặt phẳng \((BCD)\) nên \(mp(m, n)\) song song với mặt phẳng \((BCD)\).

Giải vận dụng 1 trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Đặt tên các đường thẳng như trong hình vẽ dưới đây.

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau

\(=> a // c\) và \(b // d\).

Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên \(a // c\) thì đường thẳng a song song với mặt đất và \(b // d\) thì đường thẳng b song song với mặt đất.

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Giải hoạt động 3 trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: Mặt bìa trùng với mặt bàn.

Vì tấm bìa có một góc đặt trên mặt bàn nên hai mặt phẳng có một điểm chung. Mặt bìa lại được yêu cầu song song với mặt đất, trong khi mặt bàn nằm ngang cũng song song với mặt đất.

Theo tính chất: qua một điểm thuộc một mặt phẳng, chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho, nên mặt bìa không thể nằm ở vị trí khác mà phải nằm ngay trên mặt bàn.

Vậy mặt bìa và mặt bàn là một mặt phẳng.

Giải câu hỏi trang 89 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh:

Cho ba mặt phẳng \((α), (β), (γ)\) phân biệt có \((α) // (β), (β) // (γ)\).

Ta chứng minh \((α) // (γ)\).

Trên mặt phẳng (α) ta có hai đường thẳng cắt nhau a₁ và b₁.

Ta có: \((α) // (β) => a_1 // (β); b_1 // (β)\).

Trên \(mp(β)\), kẻ \(a_2 // a_1, b_2 // b_1\).

Vì a₁ và b₁ cắt nhau suy ra a₂ và b₂ cũng cắt nhau, (β) // (γ) nên \(a_2 // (γ), b_2 // (γ)\)

Trên \(mp (γ)\), kẻ \(a_3 // a_2, b_3 // b_2\). Vì a₂ và b₂ cắt nhau suy ra a₃ và b₃ cắt nhau

Ta có: \(a_3 // a_1\) (vì cùng song song với a₂), suy ra \(a_3 // (α)\)

\(b_3 // b_1\) (vì cùng song song với b₂), suy ra \(b_3 // (α)\)

\(=> (γ) // (α)\).

Vậy nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau.

Giải Toán 11 trang 90

Giải luyện tập 2 trang 90 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SAB ta có:

\(\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}\)

\(=> MN // AB\) (theo định lí Thalés).

=> MN song song với mặt phẳng \((ABCD)\).

Chứng minh tương tự, \(NP // BC\) syy ra NP song song với mặt phẳng \((ABCD)\).

Vậy mặt phẳng \((MNP)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng \((ABCD)\) nên mặt phẳng \((MNP)\) song song với mặt phẳng \((ABCD)\).

Lập luận tương tự ta có mặt phẳng \((MPQ)\) cũng song song với mặt phẳng \((ABCD)\).

Hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((MPQ)\) cùng đi qua điểm M và cùng song song với mặt phẳng \((ABCD)\) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm \(M, N, P, Q\) đồng phẳng.

Giải hoạt động 4 trang 90 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử mặt phẳng (R) không cắt mặt phẳng (Q), tức là hai mặt phẳng (R) và (Q) song song với nhau, mà mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), do đó mặt phẳng (R) cũng song song với mặt phẳng (P) (hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau), mẫu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P) theo giao tuyến a.

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Vì a và b cùng thuộc mặt phẳng (R) nên hai đường thẳng a và b không thể chéo nhau.

Hai đường thẳng a và b không có điểm chung, vì nếu chúng có điểm chung A thì hai mặt phẳng (P) và (Q) cũng có điểm chung A (mâu thuẫn với giả thiết (P) và (Q) song song với nhau). Vậy hai đường thẳng a và b không thể cắt nhau.

Giải Toán 11 trang 91

Giải luyện tập 3 trang 91 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được:

Hai mặt phẳng \((MNPQ)\) và \((ABCD)\) song song với nhau.

Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng \((EMQ)\) với hai mặt phẳng \((MNPQ)\) và \((ABCD)\) song song với nhau.

Ta có: \((EMQ) ∩ (MNPQ) = MQ.\)

Trong mặt phẳng (MEQ), qua E vẽ đường thẳng song song với MQ cắt CD tại H (\(EH // MQ // AD\)) thì đường thẳng EH là giao tuyến của hai mặt phẳng \((EMQ)\) và mặt phẳng \((ABCD)\).

Giải hoạt động 5 trang 91 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Mặt phẳng (ACC') lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (Q) và (R) theo hai giao tuyến BD và CC '

\(=> BD // CC ' .\)

Mặt phẳng AC'A' lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến AA' và B'D.

\(=> B ' D // AA ' .\)

b) Xét tam giác ACC ' ta có:

\(BD // CC '\)

T heo định lý Thalés trong tam giác suy ra: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC\prime }}\) (1)

Chứng minh tương tự:

Xxét tam giác AA'C' ta có:

\(B ' D // AA '\)

Theo định lý Thalés trong tam giác suy ra: \(\frac{{AD}}{{DC\prime }} = \frac{{A\prime B\prime }}{{B\prime C\prime }}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC\prime }} = \frac{{A\prime B\prime }}{{B\prime C\prime }}\;\).

Giải luyện tập 4 trang 91 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có:

\(\frac{{AB}}{{A\prime B\prime }} = \frac{{BC}}{{B\prime C\prime }}\)

\(\Rightarrow B\prime C\prime = \frac{{A\prime B\prime .BC}}{{AB}} = \frac{{3.4}}{2} = 6\) (cm).

Giải hoạt động 6 trang 91 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Giải Toán 11 trang 92

Giải câu hỏi trang 92 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Xét mặt bên \({A_1}A{'_1}A{'_2}{A_2}\) ta có \({A_1}A{'_1}//A{'_2}{A_2}\)

Lại có mặt phẳng \(({A_1}A{'_1}A{'_2}{A_2})\) lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (α) và (α') theo hai giao tuyến \({A_1}{A_2}\) và \(A{'_1}A{'_2}\;\) nên \({A_1}{A_2}\;//{\rm{ }}A{'_1}A{'_2}\)

=> Tứ giác \({A_1}A{'_1}A{'_2}{A_2}\) là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song).

=> \({A_1}A{'_1}\;//{\rm{ }}{A_2}A{'_2}\) và \({A_1}A{'_1}\; = {\rm{ }}{A_2}A{'_2}\).

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Giải luyện tập 5 trang 92 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ \(ABC.A ' B ' C '\) đôi một song song nên \(AA ' , BB ' , CC '\) đôi một song song (1).

Ta có: \(BB ' // CC ' => BCC ' B '\) là hình thang.

Vì M và M ' lần lượt là trung điểm của cạnh BC và B'C' nên MM' là đường trung bình của hình thang \(BCC ' B '\), suy ra \(MM ' , BB ' , CC\) đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MM ' , AA ' , CC '\) đôi một song song.

Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \((A ' B ' C ' )\) nên mặt phẳng (AMC) song song với mặt phẳng \((A ' M ' C ' )\).

Vậy \(AMC.A ' M ' C '\) là hình lăng trụ.

Giải hoạt động 7 trang 92 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình ảnh thứ hai từ trái sang phải trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Giải Toán 11 trang 93

Bài 4.21 trang 93 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P),(Q),(R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q)thì (P) song song với (Q)

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P)song song với (Q)

d) Nếu (P) và (Q)cắt (R)thì (P)và (Q) song song với nhau.

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Giải Toán 11 trang 94

Bài 4.22 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA′,BB′,CC′. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Lời giải

Ta có: ABB'A' là hình bình hành, M, N là trung điểm của AA', BB' nên MN // AC suy ra MN // (ABC)

Tương tự, ta có NP // BC suy ra NP (ABC)

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP song song với mp(ABC) suy ra (MNP) //(ABC)

Bài 4.23 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A,D lần lượt vẽ các đường thẳng m,n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B,m) và mp(C,n) song song với nhau.

Lời giải

Ta có: m // n suy ra m // (C,n)

AB // CD (do ABCD là hình thang) suy ra AB // (C,n)

Mặt phẳng (B,m) chứa hia đường thẳng cắt nhau m và AB song song với mp(C,n) suy ra (B,m) // (C,n)

Bài 4.24 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁,A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁,C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₂, C₂. Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Lời giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SC ta có: \(\frac{C_{2}S}{A_{2}S}=\frac{C_{1}C_{2}}{A_{1}A_{2}}=\frac{CC_{1}}{AA_{1}}\) mà \(AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}S\) suy ra \(CC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}S\)

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SB ta có: \(\frac{B_{2}S}{A_{2}S}=\frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\frac{BB_{1}}{AA_{1}}\) mà \(AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}S\) suy ra \(BB_{1}=B_{1}C_{2}=B_{2}S\)

Bài 4.25 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A'', B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B'', C'', D'' là hình gì?

Lời giải

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' đôi một song song nên AA", BB", CC" đôi một song song.

Mặt phẳng (ABCD) song song với (A"B"C"D") (do cùng song song với (A'B'C'D')) nên ABCD.A"B"C"D" là hình lăng trụ tứ giác

Bài 4.26 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Lời giải

a) Ta có ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên ΔABC = ΔA′B′C′ suy ra AG = A'G'

Lại có (ABC) // (A'B'C'), giao tuyến của mp(AGG'A') với (ABC) và (A'B'C') lần lượt là AG, A'G' suy ra AG // A'G'

Như vậy , tứ giác AGG'A' có AG = A'G', AG // A'G' là hình bình hành

b) AGG'A' là hình bình hành suy ta AA' // GG'

Lại có AA' // CC' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ)

Mặt phẳng (AGC) // (A'G'C') suy ra AGC.A'G'C' là hình lăng trụ

Bài 4.27 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M' là hình hộp

Lời giải

Ta có (ABB'A') // (MNN'M'), (ADD′A′) ∪ (ABB′A′) = AA′,(ADD′A′) ∪ (MNN′M′) = MM′ suy ra AA'//MM'

Tương tự, BB' // NN'

ABNM.A'B'N'M' có các cạnh bên đôi một song song, (ABNM) // (A'B'N'M') suy ra ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ

Ta có: (ABB'A') // (MNN'M'), (ABNM) ∪ (ABB′A′) = AB,(ABNM) ∪ (MNN′M′) = MN suy ra AB//MN

Bài 4.28 trang 94 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải

Các mặt của bậc thang đều song song với mặt sàn nên chúng đôi một song song với nhau

Mặt phẳng tường cắt các mặt bậc thang tại các mép nằm trên bờ tường nên chúng song song với nhau

-------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 14