VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.
Cho dãy số 
\((u_{n})\) với \(u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}\). Mệnh đề đúng là:
A. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty\)
B. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1\)
C. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty\)
D. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0\)
Lời giải
Đáp án: C
Cho \(u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}\). Giới hạn của dãy số \((u_{n})\) bằng
A. 1
B. 2
C. -1
D. 0
Lời giải
Đáp án: D
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với un = \(\frac{2}{3^{n} }\) . Tổng của cấp số nhân này bằng
A. 3
B. 2
C. 1
D. 6
Lời giải
Đáp án: C
Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\). Mệnh đề đúng là:
A. \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\infty\)
B. \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=0\)
C. \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-1\)
D. \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}\)
Lời giải
Đáp án: B
Cho hàm số \(f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}\). Khi đó \(\underset{x\rightarrow 0^{+} }{lim}f(x)\) bằng
A. 0
B. 1
C. \(+\infty\)
D. -1
Lời giải
Đáp án: B
Cho hàm số f(x) = \(\frac{x+1}{|x+1|}\). Hàm số f(x) liên tục trên
A. (−∞; +∞)
B. (−∞; 1]
C. (−∞;−1) ∪ (−1;+∞)
D. [−1;+∞)
Lời giải
Đáp án: C
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+x-2}{x-1} nếu x\neq 1\\ a nếu x = 1 \end{matrix}\right.\). Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi
A. a = 0
B. a = 3
C. a = -1
D. a = 1
Lời giải
\(\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+2)=3\)
Để f(x) liên tục tại x = 1 thì \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}=f(1)\) suy ra a = 3
Đáp án: B
Cho dãy số (un) có tính chất | un − 1 | < \(\frac{2}{n}\) . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
Lời giải
|un − 1 < \(\frac{2}{n}\) ⇔ \(\frac{-2}{n}\) < un − 1 < \(\frac{2}{n}\) ⇔ \(\frac{-2}{n}\) + 1 < un < \(\frac{2}{n}\) + 1
lim(\(\frac{-2}{n}\) + 1) = 1; lim(\(\frac{2}{n}\) + 1) = 1
⇒ limun = 1
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) \(u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}\)
b) \(v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}\)
c) \(w_{n}=\frac{sin n}{4n}\)
Lời giải
a) \(lim u_{n}=lim\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}=lim\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{3}\)
b) \(lim\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=lim\sum_{k=0}^{n}\frac{(\frac{1}{2})^{k}+(\frac{5}{6})^{k}}{1^{k}}=0\)
c) \(lim\frac{sinn}{4}=lim[(\frac{sinn}{n})\times \frac{1}{4}]=\frac{1}{4}\)
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số
a) 1.(01)
b) 5.(132)
Lời giải
a) Ta có: 1.(01) = 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 +...
= 1 + 1 × 10−2 + 1 × 104 + 1 × 106 +...
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = 10−2 nên 1.(01) = \(\frac{u_{1} }{1 - q}\) = \(\frac{1}{1 - 10^{-2} }\) = \(\frac{100}{99}\)
b) Ta có: 5.(132) = 5 + 0.132 + 0.000132 + 0.000000132 +...
\(=5+132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...\)
\(132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=132\times 10^{-3}, q=10^{-3}\) nên \(5.(132)=5+\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{132\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1709}{333}\)
Tính các giới hạn sau:
a) \(\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\)
b) \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\)
c) \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}\)
d) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}\)
Lời giải
a) \(\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}\)
b) \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}\)
c) \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[(2-x)(\frac{1}{(1-x)^{2}})]\)
\(\underset{x\rightarrow 1}{lim}(2-x)=1\)
\(\underset{x\rightarrow 1}{lim}(\frac{1}{(1-x)^{2}})=+\infty\)
\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2})}=+\infty\)
d) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}\)
Tính các giới hạn một bên
a) \(\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}\)
b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\)
Lời giải
a) \(x\rightarrow 3^{+}\Rightarrow x-3>0\)
\(\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}(x+3)=6\)
b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}x=1\)
\(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=+\infty\)
\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty\)
Chứng minh rằng giới hạn \(\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}\) không tồn tại
Lời giải
\(f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}\)
Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0 \(x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}\)
Khi đó: \(limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\)
\(limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1\)
\(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})\)
Vậy không tồn tại \(\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}\)
Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho
a) \(f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} nếu x\neq 0\\ 1 nếu x =0\end{matrix}\right. tại điểm x = 0\)
b) \(g(x)=\left\{\begin{matrix}1+x nếu x <1\\ 2-x nếu x\geq 1\end{matrix}\right. tại điểm x = 1\)
Lời giải
a) \(\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}=+\infty\)
f(0) = 1
Vì \(f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)\) suy ra hàm số gián đoạn tại x = 0
b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x)=2\)
\(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(2-x)=1\)
\(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(gx)\neq \underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) do đó không tồn tại \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là \(F(r) = \left\{\begin{matrix} \frac{GMr}{R^{3} } nếu r < R \\ \frac{GM}{r^{2} } nếu r \geq R\end{matrix}\right.\) , trong đó M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r)
Lời giải
F(r) liên tục trên khoảng \([0;+\infty )\)
Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm số này liên tục trên các khoảng xác định của chúng
a) \(f(x)=\frac{cosx}{x^{2}+5x+6}\)
b) \(g(x)=\frac{x-2}{sinx}\)
Lời giải
a) Tập xác định : D = R\{-2;-3}
b) Tập xác định: D = R\{k\(\pi\) }
------------------------
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục. Hi vọng qua đây bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
Lớp 11
Toán 11 Kết nối tri thức
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm lớp 11
Đề thi giữa kì 1 lớp 11
Đề thi học kì 1 lớp 11
Đề thi giữa kì 2 lớp 11
Đề thi học kì 2 lớp 11
Thi học sinh giỏi lớp 11
Đề kiểm tra 15 phút lớp 11
Toán 11
Toán 11 Chân trời sáng tạo
Toán 11 Cánh diều
Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức
Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Sách bài tập Toán 11 Cánh diều
