Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng qua đây bạn đọc có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

Giải Toán 11 trang 105

Giải hoạt động 1 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) đã cho là:

\(\begin{array}{l} {u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{1} = - 1;{u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\ {u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} = - \frac{1}{3};{u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{4} = \frac{1}{4}\\ {u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{5} = - \frac{1}{5} \end{array}\)

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ un đến 0 là \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| = \frac{{{1^n}}}{n} = \frac{1}{n};\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có:

\(\frac{1}{n} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow n > 100\)

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Giải luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Xét dãy số (u_n) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\)

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}} \right| = \frac{1}{{{3^n}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\)

Giải hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({v_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\)

Giải Toán 11 trang 106

Giải luyện tập 2 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({u_n} - 3 = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{\left( {{{3.2}^n} - 1} \right) - {{3.2}^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi n ⟶ +∞.

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\) (Điều phải chứng minh)

Giải vận dụng 1 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là \({u_1} = \frac{2}{3}.5\)

Tiếp tục, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là

\({u_2} = \frac{2}{3}.{u_1} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.5 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.5\)

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là

\({u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3}.\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}.5} \right] = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}.5\)

….…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là \({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}.5\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) (điều phải chứng minh)

Giải hoạt động 3 trang 106 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}\)

Xét \({u_n} + {v_n} - 5 = 5 - \frac{1}{n} - 5 = - \frac{1}{n}\) tiến đến không khi n ⟶ +∞.

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 5\)

Ta có: \({u_n} - 2 = 2 + \frac{1}{n} - 2 = \frac{1}{n} \to 0\)khi n ⟶ +∞.

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 2\)

Lại có: \({v_n} - 3 = 3 - \frac{2}{n} - 3 = - \frac{2}{n} \to 0\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n}} \right) = 3\)

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n}} \right) = 2 + 3 = 5\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)

Giải Toán 11 trang 107

Giải luyện tập 3 trang 107 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {\frac{{2{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)} }}{{\frac{{n + 1}}{n}}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2\)

Giải hoạt động 4 trang 107 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u₁là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau => \({u_1} = \frac{1}{2}\)

Tiếp tục quá trình trên ta thu được:

\(\begin{array}{l} {u_2} = \frac{1}{2}{u_1}\\ {u_3} = \frac{1}{2}{u_2}\\ ....\\ {u_n} = \frac{1}{2}{u_{n - 1}} \end{array}\)

=> Độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

Khi đó tổng của n số hạng đầu cần tìm là:

\(\begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\\ = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} \end{array}\)

b) Ta có:

\(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( 1 \right) - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 1 - 0 = 1\)

Giải Toán 11 trang 108

Giải luyện tập 4 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + ....\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 2 và \(q = \frac{1}{7}\)

Khi đó tổng cần tìm được tính như sau: \(= > S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{2}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{{14}}{6} = \frac{7}{3}\)

Giải vận dụng 2 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Biểu diễn các điểm dừng trên trục như sau

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ A₁ đến A₂ với A₁A₂ = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1\left( h \right)\).

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₂A₃ = 1 (km).

Để chạy hết quãng đường từ A₂ đến A₃ với A₂A₃ = 1 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}\left( h \right)\). Với thời gian t₂ này, rùa đã chạy được quãng đường A₃A₄ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A_n đến A_{n + 1} với (km), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2};{A_2}{A_3};....;{A_n}{A_{n + 1}};...\) tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\)

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + .... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\) (giờ)

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1;q = \frac{1}{{100}}\)

Khi đó ta tính được tổng thời gian như sau: \(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\) (giờ)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

Giải hoạt động 5 trang 108 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u₀ = 50.

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u₁ = 2u₀ = 2 . 50.

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u₂ = 2u₁ = 2 . 2 . 50 = 22 . 50.

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là un = 2n . 50.

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Giải Toán 11 trang 109

Giải bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(2+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{2}\)

b)

\(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{2n^{2}+1}-n)\)

\(=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}\)

\(=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=1\)

Giải bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}=\frac{(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n})^{2}}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}-\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}}=\frac{2^{2}}{3-2}=4\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+2v_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+2\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=2+2\times 3=8\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}=\sqrt{8}\)

Giải bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{2n-1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})}\)

Ta có: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})=1,\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})=0 suy ra \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{2n^{2}+1}-n=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n^{2}+1-n^{2}}{\sqrt{2n^{2}+1}+n}\)

\(=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{n^{2}(\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n}}=+\infty\)

Giải bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) 1,121212...= 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= \(1 +12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+\)...

\(12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+\)... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=12\times 10^{-2},q=10^{-2} nên 1,121212...=1+\frac{u_{1}}{1-q}=1+\frac{12\times 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{37}{33}\)

b) 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 +...

= \(3+102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}\)...

\(102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}+\)... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=102\times 10^{-3}, q=10^{-3} nên 3,(102)=3+\frac{u_{1}}{1-q}=3+\frac{102\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1033}{333}\)

Giải bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

=> Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

\(150{\rm{ }} + {\rm{ }}150{\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }} = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05} \right)\)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

\(\begin{array}{l} 150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\ = {\rm{ }}150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right){\rm{ }}\\ = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right) \end{array}\)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

\(\begin{array}{l} 150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2}} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\ = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3}} \right) \end{array}\)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 150{\rm{ }} + {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3}} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}5\% {\rm{ }}\\ = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3} + {\rm{ }}0,{{05}^4}} \right) \end{array}\\ { = {\rm{ }}157,8946875{\rm{ }}\left( {mg} \right)} \end{array}\)

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}150\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{{05}^2} + {\rm{ }}0,{{05}^3} + {\rm{ }}0,{{05}^4} + {\rm{ }}...} \right){\rm{ }}\left( {mg} \right)\)

Nhận thấy rằng: \(1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{05^2} + {\rm{ }}0,{05^3} + {\rm{ }}0,{05^4} + {\rm{ }}...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 0,05.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}0,{05^2} + {\rm{ }}0,{05^3} + {\rm{ }}0,{05^4} + {\rm{ }}...{\rm{ }}\\ = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}0{\rm{ }},{\rm{ }}05{\rm{ }}}} = {\rm{ }}\frac{{20}}{{19}} \end{array}\)

\(\Rightarrow S{\rm{ }} = {\rm{ }}150.\frac{{20}}{{19}} = {\rm{ }}\frac{{3000{\rm{ }}}}{{19}}{\rm{ }}\left( {mg} \right)\)

Giải bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Độ dài đường gấp khúc tạo thành cấp số nhân với số hạng tổng quát là: u_n = sinα × h × (sinα)ⁿ⁻¹

Độ dài đường gấp khúc: AA₁ + A₂A₃ +....

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = sinα × h, q = sinα nên AA₁ + A₂A₃ + .... = \(\frac{sinα × h}{1 − sinα}\)

-------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.