Toán 11 Kết nối tri thức bài 7

Toán 11 Kết nối tri thức bài 7: Cấp số nhân được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để dễ dàng giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Giải Toán 11 trang 52

Mở đầu trang 52 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu u₁ = 240 và công bội q = 1,05. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

\({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{{240.\left[ {1 - {{\left( {1,05} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,05}} \approx 3019\)

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

Giải hoạt động 1 trang 52 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}6;}\\ {{u_2} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^2} = {\rm{ }}12;}\\ {{u_3} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^3} = {\rm{ }}24;}\\ {{u_4} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^4} = {\rm{ }}48;}\\ {{u_5} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^5} = {\rm{ }}96.} \end{array}\)

b) Ta có:

\({u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }}.\;\frac{{{2^n}}}{{{2^1}}}\; = \;\frac{{{{3.2}^n}}}{2}\; = \frac{{{u_n}}}{2}\)

=> \({u_n} = {u_{n - 1}}.2\)

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n – 1} là \({u_1} = {\rm{ }}6,{\rm{ }}{u_n} = {\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}.{\rm{ }}2{\rm{ }}\) với n ≥ 2.

Giải câu hỏi trang 52 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Dãy số không đổi \(a, a, a, ...\) là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Giải Toán 11 trang 53

Giải luyện tập 1 trang 53 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Với mọi n ≥ 2, ta có:

\(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{{2.5}^n}}}{{{{2.5}^{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{\frac{{{5^n}}}{5}}} = 5\)

Nghĩa là: u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

Giải hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{u_2} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q}\\ {{u_3}\; = {\rm{ }}{u_2}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}({u_1}\;.{\rm{ }}q){\rm{ }}.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^2}}\\ {{u_4}\; = {\rm{ }}{u_3}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}({u_1}\;.{\rm{ }}{q^2}){\rm{ }}.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^3}}\\ {{u_5}\; = {\rm{ }}{u_4}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}({u_1}\;.{\rm{ }}{q^3}){\rm{ }}.{\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^4}} \end{array}\)

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁và q là u_n= u₁ . q^{n – 1} với n ≥ 2.

Giải Toán 11 trang 54

Giải luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u6 là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = 5 000 . 1,08⁵ ≈ 7 347.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

Giải hoạt động 3 trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q\\ ;{\rm{ }}...; \end{array}\\ {{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} = {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{(n{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}}\\ {{u_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;{S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} + {\rm{ }}{u_n}\;\\ = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\;\left( 1 \right) \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}})}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^n}\;\left( 2 \right).} \end{array}\)

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {S_n}\;-{\rm{ }}q{\rm{ }}.{\rm{ }}{S_n}\; = {\rm{ }}({u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}2}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}){\rm{ }}\\ -{\rm{ }}({u_1}\;.{\rm{ }}q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^2}\; + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}\;.{\rm{ }}{q^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1\;}} + {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^n}) \end{array}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}q} \right){S_n}\; = {\rm{ }}{u_1}\;-{\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^n}}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}q} \right){S_n}\;\; = {\rm{ }}{u_1}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}{q^n})}\\ { \Rightarrow {\rm{ }}{S_n}\;\; = \frac{{\;{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\;;\left( {{\rm{ }}q{\rm{ }} \ne {\rm{ }}1} \right)} \end{array}\)

Giải câu hỏi trang 54 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, ..., u₁,...

Khi đó

S_n = u₁ + u₁ + ... + u₁ = n . u₁ (tổng của n số hạng u₁).

Giải Toán 11 trang 55

Bài 2.15 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) \(2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..\)

Lời giải

a) Ta có: 4 : 1 = 4, 16 : 4 = 4

Do đó công bội q = 4

Số hạng tổng quát: \(u_{n}=4^{n-1}\)

Số hạng thứ 5: \(u_{5}=4^{5-1}=256\)

Số hạng thứ 100: \(u_{100}=4^{100-1}=4.017\times 10^{59}\)

b) Ta có: \((-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}\)

Do đó công bội \(q = -\frac{1}{4}\)

Số hạng tổng quát: \(u_{n}=2\times (-\frac{1}{4})^{n-1}\)

Số hạng thứ 5: \(u_{5}=2\times (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}\)

Số hạng thứ 100: \(u_{100}=2\times (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978\times 10^{-60}\)

Bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ × qⁿ⁻¹

a) u_n = 5n

b) u_n = 5ⁿ

c) u₁ = 1; u_n = nu_n−1

d) u₁ = 1, u_n = 5u_n−1

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 10; 15; 20; 25

Ta có: 10 : 5 = 2 \(\neq\) 15 : 10 = \(\frac{3}{2}\) suy ra \(( u_{n} )\) không phải cấp số nhân

b) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 25; 125; 625; 3125

Ta có \(u_{n}=5^{n}\) nên \(u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)\)

Do đó \(( u_{n} )\) là cấp số nhân có công bội q = 5

Số hạng tổng quát: \(u_{n}=5\times 5^{n-1}\)

c) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 2; 6; 24; 120

Ta có: 2 : 1 = 2 \(\neq\) 6:2=3 nên \((u_{n})\) không phải là cấp số nhân

d) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 5; 25; 125; 625

Ta có: \(u_{n}=5u_{n-1}\) nên \(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)\)

Do đó \((u_{n})\) là cấp số nhân với cong sai q = 5

Số hnagj tổng quát: \(u_{n}=5^{n-1}\)

Bài 2.17 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này

Lời giải

Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \(u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}\)

Ta có: \(u_{6}=u_{1}\times q^{5}=96;u_{3}=u_{1}\times q^{2}=12\)

Nên \(\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2\)

Do đó: \(u_{1}=3\)

Suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy là: \(u_{n}=3\times 2^{n-1}\)

Vậy \(u_{50}=3\times 2^{50-1}=1.689\times 10^{15}\)

Bài 2.18 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115? 

Lời giải

Ta có số hạng tổng quát của dãy là \(u_{n}=5\times 2^{n-1}\)

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng:

\(5115=S_{n}=\frac{5(1-2^{n})}{1-2}=-5+5\times 2^{n}\Rightarrow 2^{n}=1024\Rightarrow n=10\)

Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10

Bài 2.19 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng

Lời giải

Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q = 0.8.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: u₅ = 3 × 0.8^{5 − 1} = 0.1875 (tỷ đồng)

Bài 2.20 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030

Lời giải

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q = 1.0091

Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n = 11) là u₁₁ = 97 × 1.0091¹¹⁻¹ = 106.197 (triệu người)

Bài 2.21 trang 55 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp

Lời giải

Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5

Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: \(S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902\) (mg)

-------------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 2