sin(\frac{5\pi }{12}) = sin(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})+cos(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\(sin(\frac{5\pi }{12}) = sin(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})+cos(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

cos(\frac{5\pi }{12}) = cos(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = cos(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})-sin(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\(cos(\frac{5\pi }{12}) = cos(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = cos(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})-sin(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

tan(\frac{5\pi }{12}) = \frac{sin(\frac{5\pi }{12})}{cos(\frac{5\pi }{12})} = \frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\(tan(\frac{5\pi }{12}) = \frac{sin(\frac{5\pi }{12})}{cos(\frac{5\pi }{12})} = \frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)

sin(-555^{o}) = sin(720^{o}-555^{o}) = sin165^{o} = sin(180^{o}-165^{o})\(sin(-555^{o}) = sin(720^{o}-555^{o}) = sin165^{o} = sin(180^{o}-165^{o})\)

= sin15^{o} = sin(45^{o}-30^{o})= sin(45^{o}).cos(30^{o})-cos(45^{o}).sin(30^{o})\(= sin15^{o} = sin(45^{o}-30^{o})= sin(45^{o}).cos(30^{o})-cos(45^{o}).sin(30^{o})\)

= \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\(= \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

cos(-555^{o}) = cos(720^{o}-555^{o}) = cos165^{o} = -cos(180^{o}-165^{o})\(cos(-555^{o}) = cos(720^{o}-555^{o}) = cos165^{o} = -cos(180^{o}-165^{o})\)

= -cos15^{o} = -cos(45^{o}-30^{o})= -cos(45^{o}).cos(30^{o})-sin(45^{o}).sin(30^{o})\(= -cos15^{o} = -cos(45^{o}-30^{o})= -cos(45^{o}).cos(30^{o})-sin(45^{o}).sin(30^{o})\)

= -\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\(= -\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

tan(-555^{o}) = \frac{sin(-555^{o})}{cos(-555^{o})} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\(tan(-555^{o}) = \frac{sin(-555^{o})}{cos(-555^{o})} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

Bài 2 trang 23 SGK Toán 11 Chân trời

Tính sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) , cos(\frac{\pi }{4}-\alpha ) biết sin\alpha = -\frac{5}{13} và \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\(sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) , cos(\frac{\pi }{4}-\alpha ) biết sin\alpha = -\frac{5}{13} và \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\) .

Lời giải

Do \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\(\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\) nên cos\alpha <0\(cos\alpha <0\)

cos\alpha = -\sqrt{1-sin^{2}\alpha } = -\frac{12}{13}\(cos\alpha = -\sqrt{1-sin^{2}\alpha } = -\frac{12}{13}\)

sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) = sin\alpha .cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha .sin\frac{\pi }{6} = \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-12}{13}.\frac{1}{2} = \frac{-5\sqrt{3} -12}{26}\(sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) = sin\alpha .cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha .sin\frac{\pi }{6} = \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-12}{13}.\frac{1}{2} = \frac{-5\sqrt{3} -12}{26}\)

cos(\frac{\pi }{4}-\alpha ) = cos\frac{\pi }{4} .cos\alpha + sin\frac{\pi }{4} .sin\alpha = \frac{-12}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-17\sqrt{2}}{26}\(cos(\frac{\pi }{4}-\alpha ) = cos\frac{\pi }{4} .cos\alpha + sin\frac{\pi }{4} .sin\alpha = \frac{-12}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-17\sqrt{2}}{26}\)

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Tính các giá trị lượng giác của góc 2\alpha\(2\alpha\) , biết:

a) sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} và 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\(sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} và 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\)

b) sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{4} và \pi <\alpha <2\pi\(sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{4} và \pi <\alpha <2\pi\)

Lời giải

a) cos2\alpha =1 -2sin^{2}\alpha = \frac{1}{3}\(cos2\alpha =1 -2sin^{2}\alpha = \frac{1}{3}\)

Do 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\) nên 0<2\alpha <\frac{\pi }{2}\(0<2\alpha <\frac{\pi }{2}\) . Suy ra sin2\alpha >0\(sin2\alpha >0\)

sin2\alpha = \sqrt{1-cos^{2}2\alpha } = \frac{2\sqrt{2}}{3}\(sin2\alpha = \sqrt{1-cos^{2}2\alpha } = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

b) cos\alpha =1 -2sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{-1}{8}\(cos\alpha =1 -2sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{-1}{8}\)

cos2\alpha =2cos^{2}\alpha - 1 = \frac{-31}{32}\(cos2\alpha =2cos^{2}\alpha - 1 = \frac{-31}{32}\)

Do \pi <\alpha <2\pi\(\pi <\alpha <2\pi\) nên sin\alpha <0\(sin\alpha <0\)

Mà cos\alpha <0\(cos\alpha <0\). Suy ra sin2\alpha >0\(sin2\alpha >0\)

sin2\alpha = -\sqrt{1-cos2\alpha } = \frac{\sqrt{63}}{32}\(sin2\alpha = -\sqrt{1-cos2\alpha } = \frac{\sqrt{63}}{32}\)

Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha\(\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha\)

b) (cos\alpha + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha\((cos\alpha + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha\)

Lời giải

a) \sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha\(\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha\)

= -\sqrt{2}cos\alpha - cos\alpha\(-\sqrt{2}cos\alpha - cos\alpha\)

= -(\sqrt{2}+1)cos\alpha\(-(\sqrt{2}+1)cos\alpha\)

b) (cos\alpha + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha\((cos\alpha + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha\)

= cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha + 2sin\alpha .cos\alpha -2sin\alpha .cos\alpha\(cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha + 2sin\alpha .cos\alpha -2sin\alpha .cos\alpha\)

= 1

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Tính các giá trị lượng giác của góc \alpha\(\alpha\), biết:

a) cos2\alpha = \frac{2}{5} và -\frac{\pi }{2}<\alpha <0\(cos2\alpha = \frac{2}{5} và -\frac{\pi }{2}<\alpha <0\)

b) sin2\alpha = -\frac{4}{9} và \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\(sin2\alpha = -\frac{4}{9} và \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\)

Lời giải

a) Do -\frac{\pi }{2}<\alpha <0\(-\frac{\pi }{2}<\alpha <0\) nên sin\alpha <0\(sin\alpha <0\) và cos\alpha >0\(cos\alpha >0\)

Ta có: \frac{2}{5}= cos2\alpha = 2.cos^{2}\alpha - 1 = 1-2sin^{2}\alpha\(\frac{2}{5}= cos2\alpha = 2.cos^{2}\alpha - 1 = 1-2sin^{2}\alpha\)

Suy ra: cos\alpha = \frac{\sqrt{70}}{10} và sin\alpha = -\frac{\sqrt{30}}{10}\(cos\alpha = \frac{\sqrt{70}}{10} và sin\alpha = -\frac{\sqrt{30}}{10}\)

b) Do \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\(\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\) nên \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}\(\pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}\)

Suy ra: sin\alpha >0 , cos\alpha <0 và cos2\alpha <0\(sin\alpha >0 , cos\alpha <0 và cos2\alpha <0\)

cos2\alpha = \sqrt{1-sin^{2}2\alpha} = -\frac{\sqrt{65}}{9}\(cos2\alpha = \sqrt{1-sin^{2}2\alpha} = -\frac{\sqrt{65}}{9}\)

Suy ra: cos\alpha \approx -0,69 và sin\alpha \approx 0,16\(cos\alpha \approx -0,69 và sin\alpha \approx 0,16\)

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sin A = sin BcosC + sin C . cos B.

Lời giải

Trong tam giác ABC, ta có: \hat{A}\(\hat{A}\) + \hat{B}\(\hat{B}\) + \hat{C}\(\hat{C}\) = π

Ta có: sinA = sin(π − B − C)

sinA = sin(B + C)

sinA = sinB . cosC + cosB . sinC

Bài 7 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn \widehat{CAD} = 30^{o}\(\widehat{CAD} = 30^{o}\). Tính tan \widehat{BAD}\(\widehat{BAD}\), từ đó tính độ dài cạnh CD.

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3

Lời giải

tan\widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}\(tan\widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}\)

tan\widehat{BAD} = tan(\widehat{BAC}+\widehat{CAD})=\frac{tan\widehat{BAC}+tan\widehat{CAD}}{1-tan\widehat{BAC}.tan\widehat{CAD}} \approx 2,34\(tan\widehat{BAD} = tan(\widehat{BAC}+\widehat{CAD})=\frac{tan\widehat{BAC}+tan\widehat{CAD}}{1-tan\widehat{BAC}.tan\widehat{CAD}} \approx 2,34\)

CD = BD - BC = AB.tan\widehat{BAD} \approx 6,36\(CD = BD - BC = AB.tan\widehat{BAD} \approx 6,36\)

Bài 8 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I,A,M thẳng hàng. Cho \alpha\(\alpha\) là góc quay của trục khuỷu, O là vị trị của pít-tông khi \alpha =\frac{\pi }{2}\(\alpha =\frac{\pi }{2}\) và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính toạ độ x_{M}\(x_{M}\) của điểm M trên trục Ox theo \alpha\(\alpha\).

b) Làm tròn \alpha =0\(\alpha =0\). Sau 1 phút chuyển động, x_{M} = -3cm\(x_{M} = -3cm\). Xác định x_{M}\(x_{M}\) sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3

Lời giải

a) Khi \alpha =\frac{\pi }{2}\(\alpha =\frac{\pi }{2}\) thì M ở vị trí O, H ở vị trí I. Ta có IO = HM = AM

x_{M}\(x_{M}\) = IM - OI = IH + HM - OI = IH + AM - AM = IH = IA.cos\alpha\(\alpha\)

x_{M} = 8cos\alpha\(x_{M} = 8cos\alpha\)

b) Sau khi chuyển động 1 phút, trục khuỷu quay được một góc là \alpha\(\alpha\)

Khi đóx_{M}\(x_{M}\) = -3cm. Suy ra cos\alpha = \frac{-3}{8}\(cos\alpha = \frac{-3}{8}\)

Sau khi chuyển động 2 phút, trục khuỷu quay được một góc là 2\alpha\(2\alpha\)

x_{M} = 8.cos2\alpha = 8.(2cos^{2}\alpha -1) = -5,75\(x_{M} = 8.cos2\alpha = 8.(2cos^{2}\alpha -1) = -5,75\)

Bài 9 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là \frac{2\pi }{3}\(\frac{2\pi }{3}\) và số đo góc (OA, OM) là \alpha\(\alpha\)

a) Tính sin\alpha và cos\alpha\(sin\alpha và cos\alpha\)

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 3

Lời giải

a) sin\alpha = \frac{-30}{31}\(sin\alpha = \frac{-30}{31}\)

cos\alpha = \sqrt{1-(\frac{-30}{31})^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{31}\(cos\alpha = \sqrt{1-(\frac{-30}{31})^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{31}\)

b) sin(OA, ON) = sin(\alpha -\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} - cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,27\(sin(OA, ON) = sin(\alpha -\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} - cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,27\)

Chiều cao điểm N so với mặt đất là: 60 + 31.0,37 = 68,27 (m)

sin(OA, OP) = sin(\alpha +\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} -+cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,7\(sin(OA, OP) = sin(\alpha +\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} -+cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,7\)

Chiều cao điểm P so với mặt đất là: 60 + 31.0,7 = 81,7 (m)

-----------------------------