Toán 11 Kết nối tri thức bài 25

Toán 11 Kết nối tri thức bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé.

Bài 7.16 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Cho hình chóp S.ABC có SA \(\perp\) (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) \(\perp\) (ABC) và (SAH) \(\perp\) (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC} = 30 ^{\circ} , AC = a , SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).Tính số đo nhị diện [S. BC. A]

Bài làm

a) (SAB) \(\perp\) (ABC): Vì SA \(\perp\) (ABC) nên ta có SA \(\perp\) AB và SA \(\perp\) AC. Do đó, ta có thể kết luận rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là A, và hình chiếu của A trên đường thẳng SB cũng nằm trên mặt phẳng (ABC), do đó (SAB) vuông góc với (ABC).

(SAH) \(\perp\) (SBC): Gọi I là trung điểm của SA. Ta có IH \(\perp\) BC vì H là hình chiếu của A trên BC, và SI \(\perp\) BC vì SI là đường cao của tam giác SBC. Do đó, (SAH) vuông góc với (SBC).

b) ta có \(\widehat{ABC} = 30^\circ do đó AB=AC\sqrt{3}=a\sqrt{3}\)

Diện tích tam giác ABC là \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{3a^{2}}{4}\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Khi đó, ta có:

\(SBC=\frac{1}{2}.BC.SH=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Do đo số đo nhị diện [S.BC.A]

\(S_{SBC}-S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{3a^{2}}{4}=-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Bài 7.17 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC'A') \(\perp\) (BDD'B')

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng \(\widehat{COC'}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C'].

Bài làm

a) Độ dài đường chéo của hình lập phương có thể tính từ công thức cạnh đường chéo của hình lập phương như sau: \(d=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a\)

b) Ta có \(AC^{2}+CA'^{2}=AA'^{2}\) do tam giác vuông ACA' nên ta có \(AC=CA'=\frac{a}{\sqrt{2}}\) tương tự \(BD^{2}=DB'^{2}=BC^{2}=CB'^{2}=AD^{2}=DA'^{2}=a^{2}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BD , A'C' thì MN // AC // A'C' và \(MN=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}a^{2}\)

Do AMD' và D'BN là hai tam giác vuông cân tại M , N .

suy ra (ACC'A') \(\perp\) (BDD'B')

Bài 7.18 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (BDD′B′) ⊥ (ABCD).

b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).

c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c . Tính AC′.

Bài làm

a) Ta có BD // B'D' và BD'=BD, suy ra BDD'B' là hình bình hành. Hơn nữa, BD \(\perp\) AB và B'D' \(\perp\) A'D', suy ra BDD'B' \(\perp\) (ABCD).

b) Vẽ điểm P trên (ABCD) sao cho AP \(\perp\) AC'. Khi đó hình chiều AC' trên (ABCD) sẽ chính là đoạn thẳng PC'

Gọi M là trung điểm cả CC' ta có

\(\vec{MC'}=\frac{1}{2}\vec{CC'}\)

\(\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CA}\)

Do đó:

\(\vec{MC'}+\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CC'}+\frac{1}{2}\vec{CA}=\frac{1}{2}(\vec{CC'}+\vec{CA})=\frac{1}{2}\vec{C'A}\)

Kết hợp với \vec{MA} vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , suy ra AP \(\perp\) (ABCD) từ đó ta tìm được điểm P là giao điểm của đường thẳng AA' với (ABCD)

c)Ta có ABCD là hình chữ nhật, suy ra AD = BC = b . Hơn nữa, \(AC'^2=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= \dfrac{a^2+b^2}{2}+c^2\). Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC, ta có \(AB=\sqrt{a^2+b^2}\), suy ra:

\(AC'=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c^{2}}=\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})+c^{2}}\)

Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Bài làm

a) Vì đây là hình chóp đều nên cạnh đáy AB có độ dài bằng a. Đường cao HS được kéo từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABC. Theo định lý Pythagoras, ta có: \(HS^{2}=SA^{2} -AS^{2}\)

\(SA=SB=SC=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}} và AS=\frac{b}{2}\)

Thay vào công thức ta có:

\(HS^{2}=(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-\frac{b^{2}}{4}=a^{2}\)

Do HS = a và góc gữa đường cao HS và cạnh đáy AB là góc \(\theta\)

\(sin \theta =\frac{HS}{AB}=\frac{a}{a}=1\)

b) Mặt phẳng SBC là một tam giác đều, do đó các cạnh SB và SC là phân giác của góc \(\widehat{BSC}=120^\circ\).Vì vậy, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng SBC là một nửa của góc \(\widehat{BSC}\)

Do đó, tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên là:

\(tan \theta=tan60^\circ = \sqrt{3}\)

Bài 7.20 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Bài 7.21 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối

Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá \(\frac{1}{12}\) Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

---------------------------------

Bài tiếp theo: Toán 11 Kết nối tri thức bài 26

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.