Toán 11 Kết nối tri thức bài 17

Toán 11 Kết nối tri thức bài 17: Hàm số liên tục được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua đây bạn đọc có thêm tài liệu để giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 119

Mở đầu trang 119 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là \({v_a} = \frac{{180}}{3} = 60\left( {km/h} \right)\)

Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát t₀, vận tốc của xe v(t₀) = 0 nên có một thời điểm t₁ xe chạy với vận tốc v(t₁) > v_a.

Xét hàm số f(t) = v(t) – v_a, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t₀; t₁].

Mặt khác ta có f(t₀) = – v_a < 0, f(t₁) = v(t₁) – v_a > 0 (do v(t₁) > v_a), nên tồn tại thời điểm t* thuộc khoảng (t₀; t₁) sao cho f(t*) = 0.

Khi đó ta có v(t*) – va = 0 hay v(t*) = va = 60.

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Giải hoạt động 1 trang 119 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(f\left( 1 \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2 \end{array}\)

Vậy \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Giải Toán 11 trang 120

Giải luyện tập 1 trang 120 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) xác định trên ℝ

=> x₀ = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0 \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 0\)\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\)

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 0.

Giải hoạt động 2 trang 120 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x;{\rm{ }}khi{\rm{ }}0 \le x \le \frac{1}{2}\\ 1;{\rm{ }}khi{\rm{ }}\frac{1}{2} < x \le 1 \end{array} \right.\)

Hàm số f(x) xác định trên [0; 1] => \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \left( 1 \right) = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \left( {2x} \right) = 2.\frac{1}{2} = 1 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = 1\)

Mà \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.\frac{1}{2} = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)

Vậy hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x;{\rm{ }}khi{\rm{ }}0 \le x \le \frac{1}{2}\\ 1;{\rm{ }}khi{\rm{ }}\frac{1}{2} < x \le 1 \end{array} \right.\)

Hàm số g(x) xác định trên [0; 1]

=> \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \left( 1 \right) = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \left( x \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} g\left( x \right)\)

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại \(x = \frac{1}{2}\)

=> Hàm số g(x) gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\).

Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.

Giải Toán 11 trang 121

Giải luyện tập 2 trang 121 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) có nghĩa khi x + 2 ≠ 0 hay x ≠ – 2.

=> Tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).

Giải hoạt động 3 trang 121 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(f(x) = x^2\) và \(g(x) = – x + 1\) là các hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

=> Hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.

b) Ta có:

\(f\left( x \right) + g\left( x \right) = {x^2} - x + 1\)

\(= > L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {1^2} - 1 + 1 = 1\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right){\rm{ }} = {1^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\ g\left( 1 \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right. = > {\rm{ }}f\left( 1 \right){\rm{ }} + {\rm{ }}g\left( 1 \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0{\rm{ }} = {\rm{ }}1\)

Vậy \(L = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)=1\)

Giải Toán 11 trang 122

Giải bài 5.14 trang 122 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Vì f(x) và g(x) liên tục tại x = 1 suy ra \(2f(1)-g(1)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2f(x)-g(x)]=3\) suy ra g(1) = 1

Giải bài 5.15 trang 122 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+5x+6}=\frac{x}{(x+2)(x+3)}\)

Tập xác định của f(x): D = R \{-2;-3}

Suy ra f(x) liên tục trên \((-\infty ;-3),(-3;-2) và (-2;+\infty )\)

b) Tập xác định: D = R

Ta thấy \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(4-x)=3,\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x^{2})=2\). Do đó không tồn tại giới hạn \(\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)\)

Vậy hàm số gián đoạn tại 1

Giải bài 5.16 trang 122 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Ta có: \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=0\)

Để hàm số liên tục trên R thì \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}(-x+m)=0\Rightarrow m=0\)

Giải bài 5.17 trang 122 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(f(x)\;=\;\left\{\begin{array}{l}10000\;x\;nếu\;x\;\leq\;0.5\\5000\;+\;13500(x-\;0.5)\;nếu\;0.5<x\leq30\\403250\;+\;11000(x-30)\;nế\;ux>30\end{array}\right.\)

b) 

Ta có:

Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).

Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).

Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.

- Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} \left( {13500x + 3250} \right) = 13500.0,5 + 3250 = 10000\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} \left( {10000} \right) = 10000 \end{array}\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} y = y\left( {0,5} \right)\) nên hàm số liên tục tại x = 0,5.

- Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} \left( {13500x + 3250} \right)\\ = 13500.30 + 3250 = 408250 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} \left( {11000x + 78250} \right)\\ = {\rm{ }}11{\rm{ }}000.30 + 78250 = {\rm{ }}408250 \end{array}\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} y = y\left( {30} \right)\)nên hàm số liên tục tại x = 30.

Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).

-------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 5

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 17: Hàm số liên tục. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng theo dõi thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.