Toán 11 Kết nối tri thức bài 2

Công thức lượng giác

Toán 11 Kết nối tri thức bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.8 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.10 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.12 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 1.13 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 11 Kết nối tri thức bài 2: Công thức lượng giác để bạn đọc cùng tham khảo và có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài giải dưới đây.

Bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Sử dụng $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$ $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$ $15^{\circ}$

Lời giải chi tiết

$cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})$ $cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}$ $=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-30^{\circ})$ $sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}$ $=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan15^{\circ}=tan(45^{\circ}-30^{\circ})$ $tan15^{\circ}=tan(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\frac{tan45^{\circ}-tan30^{\circ}}{1+tan45^{\circ}tan30^{\circ}}$ $=\frac{tan45^{\circ}-tan30^{\circ}}{1+tan45^{\circ}tan30^{\circ}}$

$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$ $=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$

$cot15^{\circ}=\frac{1}{tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ $cot15^{\circ}=\frac{1}{tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Bài 1.8 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính:

a) $cos(a+\frac{\pi }{6})$ $cos(a+\frac{\pi }{6})$, biết $sina=\frac{1}{\sqrt{3}}$ $sina=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha <\pi$ $\frac{\pi }{2} < \alpha <\pi$

b) $tan(a-\frac{\pi }{4})$ $tan(a-\frac{\pi }{4})$, biết $cosa=-\frac{1}{3}$ $cosa=-\frac{1}{3}$ và $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$ $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$

Lời giải chi tiết

a) Vì $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ suy ra cos a < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$ $sin^{2}a+cos^{2}a=1$

$\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

$cos(a+\frac{\pi }{6})=cosacos\frac{\pi }{6}-sinasin\frac{\pi }{6}$ $cos(a+\frac{\pi }{6})=cosacos\frac{\pi }{6}-sinasin\frac{\pi }{6}$

$=-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$ $=-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$

b) Vì $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$ $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$ suy ra sina < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$ $sin^{2}a+cos^{2}a=1$

$\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$

$tan(a-\frac{\pi }{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi }{4}}{1+tanatan\frac{\pi }{4}}$ $tan(a-\frac{\pi }{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi }{4}}{1+tanatan\frac{\pi }{4}}$

$=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}=-17+12\sqrt{2}$ $=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}=-17+12\sqrt{2}$

Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:

a) $sina=\frac{1}{3}$ $sina=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ $\frac{\pi }{2}< a<\pi$

b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$ $sina+cosa=\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$ $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$

Lời giải chi tiết

a) Vì $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ suy ra cosa < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$ $sin^{2}a+cos^{2}a=1$

$\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$

$sin2a=2sinacosa$

$=2\times \frac{1}{3}\times (-\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$ $=2\times \frac{1}{3}\times (-\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$

$cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a$ $cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a$

$=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$ $=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$

$tan2a=\frac{2tana}{1-tan{2}a}$ $tan2a=\frac{2tana}{1-tan{2}a}$

$=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{7}$ $=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{7}$

b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$ $sina+cosa=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (sina+cosa)^{2}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow (sina+cosa)^{2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow sin2a=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}$ $\Rightarrow sin2a=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}$

Vì $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$ $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$

$\Rightarrow \pi <2a<\frac{3\pi }{2}$ $\Rightarrow \pi <2a<\frac{3\pi }{2}$

$\Rightarrow cos2a<0$ $\Rightarrow cos2a<0$

$cos2a=-\sqrt{1-sin^{2}2a}$ $cos2a=-\sqrt{1-sin^{2}2a}$

$=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ $=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$ $tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

Bài 1.10 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$ $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$

b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$ $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

Lời giải chi tiết

a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$ $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$

$=\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}+cos\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}-cos\frac{\pi }{3})}$ $=\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}+cos\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}-cos\frac{\pi }{3})}$

$=\frac{-sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{30}+2sin\frac{\pi }{6}}{2cos\frac{\pi }{3}}$ $=\frac{-sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{30}+2sin\frac{\pi }{6}}{2cos\frac{\pi }{3}}$

$=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{3}}=1$ $=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{3}}=1$

b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$ $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$ $=\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}$ $=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}$

Bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chứng ming đẳng thức sau: sin(a + b)sin(a - b) = sin²a - sin²b = cos²b - cos²a

Lời giải chi tiết

$sin(a+b)sin(a-b)$

= (sinacosb + cosasinb) (sinacosb - cosasina)

= (sinacosb)² - (cosasinb)²

= sin²a(1 - sin²b) - (1 - sin²a)sin²b

$=sin^{2}a-sin^{2}b$ $=sin^{2}a-sin^{2}b$

$=cos^{2}b(1-cos^{2}a)-cos^{2}a(1-cos^{2}b)$ $=cos^{2}b(1-cos^{2}a)-cos^{2}a(1-cos^{2}b)$

$=cos^{2}b-cos^{2}a$ $=cos^{2}b-cos^{2}a$

Bài 1.12 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}$ $\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}$ và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}absinC$ $S=\frac{1}{2}absinC$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$ $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Lời giải chi tiết

a) Định lí sin: $sin\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$ $sin\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$

suy ra $sinA = \frac{asinB}{b}$ $sinA = \frac{asinB}{b}$

$\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}$ $\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}$

$=\frac{1}{2}\frac{a^{2}bsinBsinC}{asinB}=\frac{1}{2}absinC=S$ $=\frac{1}{2}\frac{a^{2}bsinBsinC}{asinB}=\frac{1}{2}absinC=S$

b) $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$ $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$

$=\frac{12^{2}\times \frac{1}{2}(cos30^{\circ}-cos120^{\circ})}{2sin(180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ})}$ $=\frac{12^{2}\times \frac{1}{2}(cos30^{\circ}-cos120^{\circ})}{2sin(180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ})}$

$=36+12\sqrt{3} (cm^{2})$ $=36+12\sqrt{3} (cm^{2})$

Bài 1.13 trang 21 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$ $x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$, trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và $\varphi \in [-\pi ;\pi ]$ $\varphi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x1(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})$ $x1(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})$ (cm)

$x2(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ $x2(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ (cm)

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải chi tiết

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

$=2coss(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})+2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ $=2coss(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})+2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$

$=2[2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})cos\frac{\pi }{4}]$ $=2[2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})cos\frac{\pi }{4}]$

$=2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})$ $=2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})$

Biên độ là $A=2\sqrt{2}$ $A=2\sqrt{2}$, pha ban đầu là $\varphi =-\frac{\pi }{12}$ $\varphi =-\frac{\pi }{12}$

----------------------------------

Toán 11 Kết nối tri thức bài 3

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 2: Công thức lượng giác. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

1.009

Bài trước

Bài sau