Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 16: Giới hạn của hàm số để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 111

Giải câu hỏi mở đầu trang 111 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ công thức khối lượng đã cho: \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c).

Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v ⟶ c, ta có \(\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \to 0\)

\(= > \mathop {\lim }\limits_{v \to c - } m\left( v \right) = + \infty\) (Tức là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng).

Giải hoạt động 1 trang 111 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi \(x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.\)

=> Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\left( {\frac{{2n + 1}}{n}} \right) - 2}} = \frac{{4 - \left( {4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} = - 4 - \frac{1}{n}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = - 4\)

c) Ta có:

\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}} = \frac{{\left( {2 - {x_n}} \right)\left( {2 + {x_n}} \right)}}{{{x_n} - 2}} = - 2 - {x_n}\)

Ta có: x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2 với mọi n => \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 2\)

Giải Toán 11 trang 113

Giải luyện tập 1 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Dễ thấy mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có:

\(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)

Giải hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < {\rm{ }}1\) với mọi n > 0 => xn - 1 < 0 với mọi n > 0.

\(\Rightarrow {y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{ - \left( {{x_n} - 1} \right)}}{{{x_n} - 1}} = - 1\)

Ta cũng có: \(x'_{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) với mọi n > 0 => x'n - 1 < 0 với mọi n > 0.

\(\Rightarrow {y_n}' = f\left( {{x_n}'} \right) = \frac{{\left| {{x_n}' - 1} \right|}}{{{x_n}' - 1}} = \frac{{{x_n}' - 1}}{{{x_n}' - 1}} = 1\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( { - 1} \right) = - 1\\ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( 1 \right) = 1 \end{array} \right.\)

c) Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \left\{ \begin{array}{l} 1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x - 1 > 0\\ - 1;{\rm{ }}neu{\rm{ }}x - 1 < 0 \end{array} \right.\)

Vì x_n < 1 < x'_n, suy ra x_n – 1 < 0 và x'_n – 1 > 0 với mọi n.

=> f(x_n) = – 1 và f(x'_n) = 1.

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = - 1;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = 1\)

Giải luyện tập 2 trang 113 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n < 0 và xn ⟶ 0, ta có f(x_n) = – x_n.

\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {x_n}} \right) = 0\)

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n > 0 và x_n ⟶ 0, ta có f(xn) = √xn.

\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{x_n}} } \right) = 0\)

\(= > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0\)

Giải hoạt động 3 trang 114 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Với (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞.

Ta có: \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)

Khi x_n ⟶ +∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right)\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right) = 1\)

Giải Toán 11 trang 114

Giải hoạt động 3 trang 114 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Với (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞.

Ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}\)

Khi xn ⟶ +∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{{x_n} - 1}} = 0\)

=> l=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right) = 1\)

Giải Toán 11 trang 115

Giải luyện tập 3 trang 115 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{x}}}{{\frac{{x + 1}}{x}}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\)

Giải vận dụng trang 115 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1\)

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}}\\ \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \end{array}\)

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } h = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}}}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} = 1\)

vậy điểm H dịch chuyển về điểm B.

Giải hoạt động 4 trang 115 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({x_n} = \frac{1}{n}\) \(\Rightarrow f\left( {{x_n}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{n}} \right)}^2}}} = {n^2}\)

Vì n ⟶ +∞ nên \({x_n} = \frac{1}{n} \to 0\) và \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\)

Giải Toán 11 trang 116

Giải hoạt động 5 trang 116 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{x_n} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) - 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\frac{1}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( n \right) = + \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {x{'_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{x{'_n} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) - 1}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{ - \frac{1}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - n} \right) = - \infty\)

Giải luyện tập 4 trang 116 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left| x \right|}}\).

Lấy dãy số (xn) bất kì sao cho x_n ≠ 0, x_n ⟶ 0.

Khi đó: \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{2}{{\left| {{x_n}} \right|}} \to + \infty\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left| x \right|}} = + \infty\)

b) Đặt \(g\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\)

Với mọi dãy số (x_n) trong khoảng (– ∞; 2) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 2\), ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {2 - {x_n}} }} = + \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} = + \infty\)

Giải Toán 11 trang 118

Giải bài 5.7 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Ta có:

- tập xác định của f(x): D = R \{1}

- tập xác định của g(x): R

\(\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2\)

\(\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2\)

Vậy khẳng định b đúng

Giả bài 5.8 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{x^{2}+4x}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}(x+4)=4\)

b) \(\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{6}\)

Giải bài 5.9 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

\(\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=1\)

\(\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=0\)

Giải bài 5.10 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-2)=-1<0\)

\(\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-1)>0\)

\(\Rightarrow \underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}=-\infty\)

b) \(\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(x^{2}-x+1)=13>0\)

\(\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(4-x)>0\)

\(\Rightarrow \underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty\)

Giải bài 5.11 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Khi \(x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow |x-2|=2-x\)

Ta có: \(\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}\)

\(=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[-(x-3)]=3-2=1\)

Khi \(x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow |x-2|=x-2\)

Ta có:

\(\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}\)

\(=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[x-3]=2-3=-1\)

Giải bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

a) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-2\)

b)

\(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}\)

\(=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}\)

Giải bài 5.13 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Lời giải

Khi \(x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow (x-1)(x-2)>0\)

\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty\)

Khi \(x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow (x-1)(x-2)<0\)

\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=-\infty\)

------------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 17

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 16: Giới hạn của hàm số. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.