Toán 11 Kết nối tri thức bài 1

Giải Toán 11 Kết nối tri thức bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời bạn đọc cùng theo dõi.

Giải Toán 11 trang 5

Mở đầu trang 5 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là \(R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).\)

Đổi \(45^\circ = \frac{{45.\pi }}{{180}} = \frac{\pi }{4}rad\)

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là \(l\; = R.\alpha {\rm{ }} = \;6800.\frac{\pi }{4} \approx 5340,708 \approx 5341\;\left( {km} \right)\)

Giải Toán 11 trang 6

Giải hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Quan sát đồng hồ ta thấy một vòng tròn theo chiều quay của kim phút được chia thành 12 phần bằng nhau.

a) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng \(\frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\) vòng tròn.

b) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay của chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều quay của kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng \(\frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\) vòng tròn.

c) Có vô số cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ theo từng số vòng nhất định.

Giải Toán 11 trang 7

Giải luyện tập 1 trang 7 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là

\(sđ(Ou, Ov) = 45°\).

Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là

\(sđ(Ou, Ov) = – (360° – 45°) = – 315°\).

Giải hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

\(sđ(Ou, Ov) = 30°\);

\(sđ(Ov, Ow) = 45°\);

\(sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°\).

b) Ta có:

\(sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°\).

Ta lại có: \(– 285° + 1 . 360° = 75°\)

Vậy tồn tại một số nguyên \(k = 1\) để

\(sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°\)

Giải Toán 11 trang 9

Giải luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\({360^0} = 360.\frac{\pi }{{180}} = 2\pi\)

\(- {450^0} = - 450.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{ - 5\pi }}{2}\)

b) Ta có:

\(3\pi = 3\pi .{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {540^0}\)

\(\frac{{ - 11\pi }}{5} = \frac{{ - 11\pi }}{5}.{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = - {396^0}\)

Giải hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Theo lí thuyết ta có cung tròn có số đo bằng 1 rad nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Do đó, độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là R.

b) Vì độ dài của cung tròn có đo bằng 1 rad là R nên độ dài của cung tròn có số đo α rad là l = Rα.

Giải vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Chu vi của bánh xe sau là: \(C_s= π . 184\) (cm).

Khi đó, bánh xe sau đi mỗi vòng được quãng đường có độ dài là 184π (cm).

Trong 10 phút, bánh xe sau chuyển động được \(80 . 10 = 800\) (vòng).

Quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút hay chính là quãng đường đi được khi bánh xe sau lăn 800 vòng là \(800 . 184π = 147 200π\) (cm) = \(1,472π\) (km).

b) Ta có: 10 phút = \(\frac{1}{6}\) giờ.

Vận tốc của máy kéo là \(v = \frac{{1,472\pi }}{{\frac{1}{6}}} \approx 27,75\left( {km/h} \right)\)

c) Chu vi của bánh xe trước là: \(C_t= π . 92\) (cm).

Khi bánh xe sau lăn được 800 vòng trong 10 phút thì bánh xe trước lăn được số vòng là \(\frac{{147200\pi }}{{92\pi }} = 1600\) (vòng).

Vận tốc của bánh xe trước trong chuyển động này là (vòng/phút).

Giải Toán 11 trang 10

Giải hoạt động 4 trang 10 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = \(\frac{{5\pi }}{4} = \pi + \frac{\pi }{4}\)

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = \(\frac{{5\pi }}{4}\) được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = \(- \frac{{7\pi }}{4} = - \left( {\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = \(\frac{{ - 7\pi }}{4}\) được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Giải luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{ - 15\pi }}{4} = - \left( {3\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\), điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác định trong hình dưới đây:

Ta có: \(420° = 60° + 360°\), điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 420° được xác định trong hình dưới đây:

Giải Toán 11 trang 11

Giải hoạt động 5 trang 11 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi \(M(x_0; y_0)\) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha\). Khi đó:

sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, kí hiệu là sin α

\(\sin α = y_0\).

côsin của góc α là hoành độ của x₀ của điểm M, kí hiệu là cos α

\(\cos α = x_0\).

Khi α ≠ 90° (hay là x₀≠ 0), tang của α là \(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\), kí hiệu là tan α

\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\).

Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay là y₀≠ 0), côtang của α là \(\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\), kí hiệu là cot α

\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\).

Giải Toán 11 trang 12

Giải luyện tập 5 trang 12 Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\) được xác định trong hình sau:

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l} \tan \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{6}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{6}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \cot \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{\cos \frac{{5\pi }}{6}}}{{\sin \frac{{5\pi }}{6}}} = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Giải Toán 11 trang 13

Giải luyện tập 6 trang 13 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Dùng máy tính cầm tay fx570 VN PLUS.

a) Để tính \(\cos \frac{{3\pi }}{7}\) ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934

Vậy \(\cos \frac{{3\pi }}{7} \approx {\rm{ }}0,222520934\)

Để tính tan (– 37°25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện – 0,76501876

Vậy tan (– 37°25') ≈ – 0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c) Đổi \(\frac{7}{9}\) (rad) sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44°33'48,18"

Vậy 79(rad) = 44°33'48,18".

Giải hoạt động 6 trang 13 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Theo định nghĩa, ta có: sin α = y, cos α = x.

Khi đó: \(\sin^2 α + \cos^2 α = (\sin α)^2 + (\cos α)^2 = y^2 + x^2\)

Từ hình vẽ ta thấy \(x^2 + y^2 = R^2 = 1\) (theo định lí Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy \(\sin^2 α + \cos^2 α = 1\).

b) Theo định nghĩa với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi\) (k∈Z), ta có:

\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

\(\Rightarrow {\tan ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

\(\Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\(= \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Vậy \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).

Giải Toán 11 trang 14

Giải luyện tập 7 trang 14 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra ta có: \(\;\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) suy ra sin α < 0.

Mặt khác, từ \(\sin^2 α + \cos^2 α = 1\)

\(\Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - \sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \end{array} \right.\)

Giải hoạt động 7 trang 14 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử \(M(x_M; y_M), N(x_N; y_N)\).

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành Ox, do đó ta có: \(x_M = x_N\) và \(y_M = – y_N\).

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

\(\cos α = x_M\) và \(\cos (– α) = x_N => \cos (– α) =\cos α\).

\(\sin α = y_M\) và \(\sin (– α) = y_N => \sin α = – \sin (– α)\) hay \(\sin (– α) = – \sin α\).

b) Ta có:

\(\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha\)

\(\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} = - \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \cot \alpha\)

Vậy ; \(cot (– α) = – \cot α.\)

Giải Toán 11 trang 16

Bài 1.1 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hoàn thành bảng sau

Số đo độ	\(15 ^{\circ}\)	?	\(0^{\circ}\)	\(900^{\circ}\)	?	?
Số đo radian	?	\(\frac{3\pi }{8}\)	?	?	\(-\frac{7\pi }{12}\)	\(-\frac{11\pi }{8}\)

Lời giải chi tiết:

Bài 1.2 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) \(\frac{\pi }{12}\)

b) 1.5

c) \(35^{\circ}\)

d) \(315^{\circ}\)

Lời giải chi tiết:

a) Độ dài cung đường tròn: \(l=20\times \frac{\pi }{12}=5.236\) (cm)

b) Độ dài cung đường tròn: \(l=20\times 1.5=30\) (cm)

c) Đổi \(35^{\circ}=\frac{7\pi }{36}\)

Độ dài cung đường tròn: \(l=20\times \frac{7\pi }{36}=12.2173\) (cm)

d) Đổi \(315^{\circ}=\frac{7\pi }{4}\)

Độ dài cung đường tròn: \(l=20\times \frac{7\pi }{4}=109.9557\) (cm)

Bài 1.3 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{2\pi }{3}\)

b) \(-\frac{11\pi }{4}\)

c) \(150^{\circ}\)

d) \(315^{\circ}\)

Lời giải chi tiết

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{2\pi }{3}\) được xác định trong hình sau:

b) Ta có: \(-\frac{11\pi }{4}=-(\frac{3\pi }{4}+2\pi )\)

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(-\frac{11\pi }{4}\) được xác định trong hình sau:

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150° được xác định trong hình sau:

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng – 225° được xác định trong hình sau:

Bài 1.4 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Tính các giá trị lượng giác góc \(\alpha\), biết

a) \(cos\alpha =\frac{1}{5} và 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\)

b) \(sin\alpha =\frac{2}{3} và \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi\)

c) \(tan\alpha =\sqrt{5} và \pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}\)

d) \(cot\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}} và \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(0 < \alpha <\frac{\pi }{2}\) nên \(sin \alpha > 0\)

Mặt khác, từ \(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\) 

suy ra \(sin\alpha =\sqrt{1-cos^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

Do đó, \(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}\) và \(cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}\)

b) Vì \(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi\)  nên \(cos\alpha<0\)

Mặt khác, từ \(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\)

Suy ra \(cos\alpha =-\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Do đó, \(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5} và cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{-\sqrt{5}}{2}\)

c) \(cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{2-\sqrt{5}}\)

Vì \(\pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}\) nên \(cos\alpha <0,sin\alpha <0\)

Mặt khác, từ \(1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }\)

suy ra \(cos\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+5}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Từ \(1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }\)

suy ra \(sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}=-\frac{\sqrt{30}}{6}\)

d) \(tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha }=-\sqrt{2}\)

Vì \(\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi\) nên \(cos\alpha >0,sin\alpha <0\)

Mặt khác, từ \(1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }\)

suy ra \(cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Từ \(1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }\)

suy ra \(sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Bài 1.5 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Chứng minh các đẳng thức:

a) \(cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha =2cos^{2}\alpha -1\)

b) \(\frac{cos^{2}\alpha +tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }=tan^{2}\alpha\)

Lời giải chi tiết

a) \(cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha =(cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha )(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )\)

\(=1\times (cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )=cos^{2}\alpha -(1-sin^{2}\alpha )=2cos^{2}\alpha -1\)

b) \(\frac{cos^{2}\alpha +tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }+\frac{tan^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }-\frac{1}{sin^{2}\alpha }\)

\(=cot^{2}\alpha +\frac{\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}{sin^{2}\alpha }-(1+cot^{2}\alpha )=\frac{1}{cos^{2}}-1=tan^{2}\alpha\)

Bài 1.6 trang 16 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680mm

Lời giải chi tiết

a) 1 giây bánh xe quay được số vòng là: \(11:5=\frac{11}{5}\) (vòng)

Góc mà bánh xe quay được trong 1 giây: \(\frac{11}{5}\times 360^{\circ}=792^{\circ}=4.4\pi\) (rad)

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được \(60\times \frac{11}{5}=132\) vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π\times 132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 2