Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11 Kết nối tri thức

Toán 11 Kết nối tri thức bài 5

Dãy số
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Giải bài tập
Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toán 11 Kết nối tri thức bài 5: Dãy số

Toán 11 Kết nối tri thức bài 5 Dãy số được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 42

Mở đầu trang 42 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P10 = 500 . (1 + 0,02)10 ≈ 609 (nghìn người).

Giải hoạt động 1 trang 42 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Hướng dẫn giải

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0

Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1

Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4

Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9

Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là un = (n – 1)2 với n ∈ \mathbb{N^*}.\(n ∈ \mathbb{N^*}.\)

Giải Toán 11 trang 43

Giải hoạt động 2 trang 43 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Hướng dẫn giải

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49\(0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49\).

b) Ta có: u_n= (n-1)^2\(u_n= (n-1)^2\) với n ∈ \mathbb{ℕ^*}\(n ∈ \mathbb{ℕ^*}\) và n ≤ 8\(n ≤ 8\).

Giải luyện tập 1 trang 43 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Hướng dẫn giải

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1\(a = 5q + 1\).

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần.

=> Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n + 1 ;(n ∈ \mathbb{ℕ^*})\(u_n = 5n + 1 ;(n ∈ \mathbb{ℕ^*})\)

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26\(6; 11; 16; 21; 26\).

Số hạng đầu của dãy là u_1 = 6\(u_1 = 6\), số hạng cuối của dãy là u_5 = 26.\(u_5 = 26.\)

Giải hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...\(5, 10, 15, 20, 25, 30, ...\)

a) Viết công thức số hạng tổng quát uncủa dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi .

Hướng dẫn giải

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u_n= 5n; (n ∈ \mathbb{ℕ^*}).\(u_n= 5n; (n ∈ \mathbb{ℕ^*}).\)

b) Số hạng đầu của dãy số là u_1= 5\(u_1= 5\).

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u_n = u_{n – 1} + 5; (n ∈ \mathbb{ℕ^*}, n > 1)\(u_n = u_{n – 1} + 5; (n ∈ \mathbb{ℕ^*}, n > 1)\).

Giải Toán 11 trang 45

Giải hoạt động 4 trang 45 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

a) Xét dãy số (un) với un= 3n – 1. Tính un + 1 và so sánh với un.

b) Xét dãy số (vn) với {v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính vn + 1 và so sánh với vn.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

{u_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\;}} = 3\left( {n + 1} \right)-1 = 3n + 3-1 = 3n + 2\({u_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\;}} = 3\left( {n + 1} \right)-1 = 3n + 3-1 = 3n + 2\)

Xét hiệu {u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\({u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\) ta có:

{u_{n + 1}}-{\rm{ }}{u_n}\; = \left( {3n + 2} \right)-\left( {3n-1} \right) = 3 > 0\({u_{n + 1}}-{\rm{ }}{u_n}\; = \left( {3n + 2} \right)-\left( {3n-1} \right) = 3 > 0\), tức là un + 1 > un; ∀n ∈ ℕ*.

Vậy un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

b) Ta có: {v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

Xét hiệu vn + 1 – vn ta có:

{v_{n + 1}}\;-{v_n}\; = \;\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}\({v_{n + 1}}\;-{v_n}\; = \;\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}\)

\; = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\(\; = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

Tức là vn + 1 < vn , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy vn + 1 < vn ∀ n ∈ ℕ*.

Giải luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), với {u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \left\{ \begin{array}{l} {u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\\ {u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}} \end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l} {u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\\ {u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}} \end{array} \right.\)

{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}}\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}}\)

Tức là un + 1 < un, ∀ n ∈ ℕ*.

= \frac{{\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\(= \frac{{\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

Vậy (un) là dãy số giảm.

Giải hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho dãy số (un) với {u_n} = \frac{{n + 1}}{n};\forall n \in {\mathbb{N^*}}\({u_n} = \frac{{n + 1}}{n};\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

a) So sánh un và 1.

b) So sánh un và 2.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: {u_n} = \frac{{n + 1}}{n} = 1 + \frac{1}{n};\forall n \in {\mathbb{N^*}}\({u_n} = \frac{{n + 1}}{n} = 1 + \frac{1}{n};\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

b) Ta có: \frac{1}{n} \le 1;\forall n \in {\mathbb{N^*}} \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 1 + 1 = 2;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\(\frac{1}{n} \le 1;\forall n \in {\mathbb{N^*}} \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 1 + 1 = 2;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

Suy ra {u_n} = 1 + \frac{1}{n} \le 2;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\({u_n} = 1 + \frac{1}{n} \le 2;\forall n \in {\mathbb{N^*}}\)

Giải Toán 11 trang 46

Bài 2.1 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_{n}) có sooa hnagj tổng quát cho bởi

a) u_{n}=3n-2\(u_{n}=3n-2\)

b) u_{n}=3 x 2^{n}\(u_{n}=3 x 2^{n}\)

c) u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}\(u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}\)

Lời giải

a) u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298\(u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298\)

b) u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}\(u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}\)

c) u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148\(u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148\)

Bài 2.2 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Dãy số (u_{n})\((u_{n})\) cho bởi hệ thức truy hồi u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}\(u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}\) với n\geq 2\(n\geq 2\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_{n}\(u_{n}\)

Lời giải

a) u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120\(u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120\)

b) Ta có: u1 = 1 = 1, u2 = 2 = 2, u3 = 6 = 3, u4 = 24 = 4, u5 = 120 = 5

Vậy công thức số hạng tổng quát là: u_{n}=n\(u_{n}=n\)

Bài 2.3 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Xét tính tăng, giảm của dãy số ( u_{n} )\(( u_{n} )\), biết:

a) u_{n}=2n-1\(u_{n}=2n-1\)

b) u_{n}=-3n+2\(u_{n}=-3n+2\)

c) u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\(u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\)

Lời giải

a) Ta có: u_{2}=3 > u_{1}=1\(u_{2}=3 > u_{1}=1\) suy ra đây là dãy số tăng

b) u_{2}=4 < u_{1}= -1\(u_{2}=4 < u_{1}= -1\)suy ra đây là dãy số giảm

c) u_{2} = \frac{-1}{4} < u_{1}= \frac{1}{2}\(u_{2} = \frac{-1}{4} < u_{1}= \frac{1}{2}\) suy ra đây là dãy số giảm

Bài 2.4 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Trong các dãy số ( u_{n} )\(( u_{n} )\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_{n}=n-1\(u_{n}=n-1\)

b) u_{n}=\frac{n+1}{n+2}\(u_{n}=\frac{n+1}{n+2}\)

c) u_{n}=sinn\(u_{n}=sinn\)

d) u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}\(u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}\)

Lời giải

a) Ta có u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N *)\(u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N *)\) suy ra u_{n}\(u_{n}\) bị chặn dưới

b) Ta có: u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1;\(u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1;\)

u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N *)\(u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N *)\)

Suy ra u_{n}\(u_{n}\) bị chặn

c) u_{n}=sinn\(u_{n}=sinn\) do đó -1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N *)\(-1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N *)\)

Suuy ra u_{n}\(u_{n}\) bị chặn

d) Ta có: u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}>0\(u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}>0\) nếu n là số tự nhiên lẻ

u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}< 0\(u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}< 0\) nếu n là số tự nhiên chẵn

Bài 2.5 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Lời giải

a) u_{n}=3n(\forall n\in N *)\(u_{n}=3n(\forall n\in N *)\)

b) u_{n}=4n+1(\forall n\in N *)\(u_{n}=4n+1(\forall n\in N *)\)

Bài 2.6 trang 46 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}\(A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}\)

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Lời giải

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5\(A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5\) (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025\(A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025\) (triệu đồng)

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678\(A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678\) (triệu đồng)

Bài 2.7 trang 47 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi A_{n}(n\in N)\(A_{n}(n\in N)\) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}\(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}\) để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_{n})\((A_{n})\)

Lời giải

a) Ta có: A_{0}=100\(A_{0}=100\)

A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8\(A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8\)

A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59\(A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59\)

A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37\(A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37\)

A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14\(A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14\)

A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90\(A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90\)

A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65\(A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65\)

Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92.65 triệu đồng

b) Hệ thức truy hồi: A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2\(A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2\) (triệu đồng)

------------------------------

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
Đang cập nhật / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
916 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này