Toán 11 Kết nối tri thức bài 4

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 11 Kết nối tri thức bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản để bạn đọc cùng tham khảo và có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạ cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 31

Mở đầu trang 31 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình dưới đây.

Khi đó theo Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha\) (với g là gia tốc trọng trường).

Cho y = 0 ta được \(\frac{{ - g}}{{2v_0^2.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha = 0\)

=> x = 0 hoặc \(x = \frac{{v_0^2.\sin \alpha }}{g}\).

Quả đạn tiếp đất khi \(x = \frac{{v_0^2.\sin \alpha }}{g}\)

Ta có: \(x = \frac{{v_0^2.\sin \alpha }}{g} \le \frac{{v_0^2}}{g}\), dấu bằng xảy ra khi sin 2α = 1.

Giải phương trình sin 2α = 1, ta được \(\alpha = \frac{\pi }{4} + k\pi\), k∈Z.

Do \(0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\) nên hay α = 45°.

Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng 45°.

Giải hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2x – 4 = 0, suy ra x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x – 4 = 0 là S₁ = {2}.

Ta có: (x – 2)(x² + 1) = 0

Vì x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

=> (x – 2)(x² + 1) = 0 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 là S₂ = {2}.

Nhận thấy S₁ = S₂ = {2}.

Vậy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.

Giải Toán 11 trang 32

Giải luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) điều kiện x ≠ – 1.

Khi đó:

\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) là S₁ = {1}.

Phương trình x² – 1 = 0 được viết lại thành (x – 1)(x + 1) = 0, từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = – 1

=> Tập nghiệm của phương trình x² – 1 = 0 là S₂ = {– 1; 1}.

+) Nhận thấy S₁ ≠ S₂, vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

Giải hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc \(\frac{\pi }{6}\) và \(\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}\), lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng \(\frac{1}{2}\) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có \(\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\)

Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\)

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là

\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right )\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giải Toán 11 trang 34

Giải luyện tập 2 trang 34 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right.)\)

b) Ta có:

\(\sin 3x = -\sin 5x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin (-5x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = - 5x + k2\pi \\ 3x = \pi - ( - 5x) + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = k2\pi \\ - 2x = \pi + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{4}\\ x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{{k\pi }}{4};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giải hoạt động 3 trang 34 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc \(\frac{{2\pi }}{3}\) và \(-\frac{{2\pi }}{3}\), lại có hoành độ của điểm M và M' đều bằng \(- \frac{1}{2}\) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có:

\(\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}\) và \(\cos \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\).

Vậy trong nửa khoảng [– π; π), phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) có hai nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3};x = - \frac{{2\pi }}{3}\).

b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải Toán 11 trang 35

Giải luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(2\cos x = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\ x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: \(x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;(k \in \mathbb{Z})\)

b) Ta có:

\(\cos 3x - \sin 5x = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 5x\)

\(\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\ 3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4};(k \in \mathbb{Z})\) và \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;(k \in \mathbb{Z})\)

Giải vận dụng trang 35 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Với F = 0, ta có:

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0\)\(\Leftrightarrow \cos {\rm{ }}\alpha = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = {0^0}\\ \alpha = {360^0} \end{array} \right.\)(do 0° ≤ α ≤ 360°).

Vậy α ∈ {0°; 360°}.

b) Với F = 0,25, ta có:

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0,25 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos \alpha = \cos {60^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = {60^0} + k{.360^0}\\ \alpha = - {60^0} + k{.360^0} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = {60^0} + k{.360^0}\\ \alpha = {300^0} + k{.360^0} \end{array} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α ∈ {60°; 300°}.

c) Với F = 0,5, ta có:

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0,5 \Leftrightarrow \cos \alpha = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos \alpha = \cos {90^0} \Leftrightarrow \alpha = {90^0} + k{.360^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α ∈ {90°; 270°}.

d) Với F = 1, ta có:

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = - 1\)

\(\Leftrightarrow \cos \alpha = \cos {180^0}\)\(\Leftrightarrow \alpha = {180^0} + k{.360^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α = 180°.

Giải Toán 11 trang 36

Giải hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ \(x = \frac{\pi }{4}\).

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x = 1 có nghiệm là trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Do hàm số tang có chu kì là π, nên công thức nghiệm của phương trình tan x = 1 là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giải luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\sqrt 3 \tan 2x = - 1 \Leftrightarrow \tan 2x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}\)

\(\Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)\(\Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Ta có:

\(\tan 3x + \tan 5x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = -\tan 5x\)

\(\Leftrightarrow \tan 3x = \tan (-5x)\)\(\Leftrightarrow 3x = - 5x + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\Leftrightarrow 8x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\(\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{8};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà tan x có nghĩa khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{{k\pi }}{8};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(k \ne 4 + 8n,n \in \mathbb{Z}\).

Giải Toán 11 trang 37

Lời giải

a) \(sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)\) và \(x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)\)

b) \(2cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{3\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)\) và \(x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)\)

c) \(\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1\)

\(\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=tan30^{\circ}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{2}+15^{\circ}=30^{\circ}+k180^{\circ},k\in Z\)

\(\Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z\)

d) \(cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}\)

\(\Leftrightarrow 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in Z\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\)

Lời giải

a) sin 2x + cos 4x = 0 ⇔ cos 4x = – sin 2x ⇔ cos 4x = sin(– 2x)

\(\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}-(-2x))\)

\(\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}+2x)\)

\(\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi\)

hoặc \(4x=-(\frac{\pi }{2}+2x)+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi\) hoặc \(x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)\)

b) cos 3x = – cos 7x ⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

\(\Leftrightarrow 3x=\pi +7x+k2\pi\) hoặc \(3x=-(\pi +7x)+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\) hoặc \(x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)\)

Lời giải

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s ^{2} nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là \(y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha\)

hay \(y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha\)

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó \(y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha\)

\(\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}\)

\(\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}\)

\(\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}\)

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}\) (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó \(\frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}\)

Gọi \(\beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\) là góc thỏa mãn \(\beta =\frac{539}{625}\). Khi đó ta có: sin 2α = sin β

\(\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi\) hoặc \(2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi\) hoặc \(\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)\)

c) Hàm số \(y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha\) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

\(\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.\)

Hay \(\left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.\)

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là \(y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\)

Ta có \(y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}\), dấu “=” xảy ra khi sin ²α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất

Lời giải

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

\(2cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\Leftrightarrow cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\)

\(\Leftrightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k,k\in Z\)

\(\Leftrightarrow t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Z\)

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay

\(0\leq \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\leq 6\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{90-2\pi }{3\pi }\)

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

------------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1