Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Toán 11 Kết nối tri thức bài 4

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 11 Kết nối tri thức bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản để bạn đọc cùng tham khảo và có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạ cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 1.19 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=32

b) 2cosx=-\sqrt{2}2cosx=2

c) \sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=13tan(x2+15)=1

d) cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}cot(2x1)=cotπ5

Lời giải

a) sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{3}sinx=32sinx=sinπ3

\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)x=π3+k2πhocx=ππ3+k2π(kZ)

\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)x=π3+k2πhocx=2π3+k2π(kZ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)x=π3+k2π(kZ)x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)x=2π3+k2π(kZ)

b) 2cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{3\pi }{4}2cosx=2cosx=22cosx=cos3π4

\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)x=3π4+k2πhocx=3π4+k2π(kZ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  (k\in Z)x=3π4+k2π(kZ)x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)x=3π4+k2π(kZ)

c) \sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=13tan(x2+15)=1

\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}tan(x2+15)=13

\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=tan30^{\circ}tan(x2+15)=tan30

\Leftrightarrow \frac{x}{2}+15^{\circ}=30^{\circ}+k180^{\circ},k\in Zx2+15=30+k180,kZ

\Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Zx=30+k360,kZ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Zx=30+k360,kZ

d) cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}cot(2x1)=cotπ5

\Leftrightarrow 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in Z2x1=π5+kπ,kZ

\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Zx=π10+12+kπ2,kZ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Zx=π10+12+kπ2,kZ

Bài 1.20 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Lời giải

a) sin 2x + cos 4x = 0 ⇔ cos 4x = – sin 2x ⇔ cos 4x = sin(– 2x)

\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}-(-2x))cos4x=cos(π2(2x))

\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}+2x)cos4x=cos(π2+2x)

\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi4x=π2+2x+k2π

hoặc 4x=-(\frac{\pi }{2}+2x)+k2\pi (k\in Z)4x=(π2+2x)+k2π(kZ)

\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pix=π4+kπ hoặc x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)x=π12+kπ3(kZ)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)x=π4+kπ(kZ)x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)x=π12+kπ3(kZ)

b) cos 3x = – cos 7x ⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

\Leftrightarrow 3x=\pi +7x+k2\pi3x=π+7x+k2π hoặc 3x=-(\pi +7x)+k2\pi (k\in Z)3x=(π+7x)+k2π(kZ)

\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}x=π4+kπ2 hoặc x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)x=π10+kπ5(kZ)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\in Z)x=π4+kπ2(kZ)x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)x=π10+kπ5(kZ)

Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }+xtan\alphay=g2v02cos2α+xtanα, ở đó g = 9,8 m/s 2 là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s ^{2} nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alphay=9.82×5002cos2αx2+xtanα

hay y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alphay=492500000cos2αx2+xtanα

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alphay=492500000cos2αx2+xtanα

\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0x(492500000cos2αx+tanα)=0

\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}x=0hocx=2500000cos2α×tanα49

\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}x=0hocx=2500000cosαsinα49

\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}x=0hocx=1250000sin2α49

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}x=1250000sin2α49 (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó \frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}1250000sin2α49=22000sin2α=539625

Gọi \beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]β[π2;π2] là góc thỏa mãn \beta =\frac{539}{625}β=539625. Khi đó ta có: sin 2α = sin β

\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi2α=β+k2π hoặc 2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)2α=πβ+k2π(kZ)

\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\piα=β2+kπ hoặc \alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)α=π2β2+kπ(kZ)

c) Hàm số y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alphay=492500000cos2αx2+xtanα là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.{xI=b2a=tanα2×492500000cos2α=1250000cosαsinα49yI=f(xI)=492500000cos2α(1250000cossinα49)2+1250000cosαsinα49tanα

Hay \left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.{xI=1250000cosαsinα49yI=625000sin2α49

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}ymax=625000sin2α49

Ta có y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}ymax=625000sin2α4962500049, dấu “=” xảy ra khi sin 2α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất

Bài 1.22 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x=2cos(5t-\frac{\pi }{6})x=2cos(5tπ6)

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Lời giải

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

2cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\Leftrightarrow cos(5t-\frac{\pi }{6})=02cos(5tπ6)=0cos(5tπ6)=0

\Leftrightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k,k\in Z5tπ6=π2+k,kZ

\Leftrightarrow t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Zt=2π15+kπ5,kZ

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay

0\leq \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\leq 6\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{90-2\pi }{3\pi }02π15+kπ5623k902π3π

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Kết nối tri thức bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Kết nối tri thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
2
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán 11 Kết nối tri thức

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng