Toán 11 Kết nối tri thức bài 10

Toán 11 Kết nối tri thức bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để dễ dàng giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 11 trang 71

Giải câu hỏi trang 71 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế: mặt bàn, mặt gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...

Giải hoạt động 1 trang 71 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Một chiếc nút áo được khâu cố định trên mặt áo, một giọt nước nhỏ trên mặt kính cửa sổ hoặc một chiếc tem dán trên bìa sách đều gợi cho ta hình ảnh một điểm thuộc một mặt phẳng.

Một giọt nước nhỏ đọng trên mặt kính cửa sổ gợi hình ảnh một điểm nằm trên mặt phẳng.

Một viên gạch nhỏ đặt trên nền nhà gợi hình ảnh một điểm thuộc mặt phẳng của nền.

Một mắt lưới được đánh dấu trên mặt lưới cầu lông gợi hình ảnh một điểm thuộc mặt phẳng của lưới.

Một chiếc tem nhỏ dán trên bìa sách gợi hình ảnh một điểm thuộc mặt phẳng của bìa.

Một hạt bụi nằm trên mặt bàn có thể xem như hình ảnh của một điểm thuộc mặt phẳng mặt bàn.

Giải Toán 11 trang 72

Giải hoạt động 2 trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm A, B đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.

Giải câu hỏi trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường thẳng đi qua 2 điểm đó.

=> Số đường thẳng tạo thành là

Hình vẽ minh hoa:

Giải hoạt động 3 trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Khi đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn, mặt màu đỏ của khối rubik nằm trên mặt bàn.

b) Không thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn.

Giải câu hỏi trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.

Giải luyện tập 1 trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm \(A, B, C, D\) đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng \((ABCD)\).

Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải vận dụng 1 trang 72 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Khi đó, khi thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,... ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng và có một mặt phẳng đi qua 3 điểm này, mặt phẳng này trùng với mặt phẳng của các bề mặt.

Điều này giúp các đồ vật có thể giữ được trạng thái thăng bằng, vững chãi mà không bị nghiêng hay đổ.

Giải Toán 11 trang 73

Giải hoạt động 4 trang 73 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây nằm trên mặt bàn.

Giải luyện tập 2 trang 73 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình minh họa:

Đường thẳng \(AB\) có hai điểm phân biệt \(A, B\) thuộc mặt phẳng \((ABC)\) nên đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng \((ABC)\). Vì N thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(N\) thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Theo Ví dụ 2, ta có điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((ABC)\). Khi đó đường thẳng \(MN\) có hai điểm phân biệt \(M, N\) thuộc mặt phẳng \((ABC)\) nên đường thẳng \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((ABC)\).

Giải hoạt động 5 trang 73 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Trong Hình 4.7, mặt nước (lúc tĩnh lặng) và thành bể là hai mặt phẳng và chúng giao nhau theo đường thẳng, phần giao nhau của hai mặt phẳng này là đường mực nước trên thành bể.

Giải Toán 11 trang 74

Giải luyện tập 3 trang 74 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hai đường thẳng \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại điểm A.

=> Điểm A thuộc đường thẳng \(BM\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((SBM)\), điểm A thuộc đường thẳng \(CN\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((SCN)\).

Vậy A là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SBM)\) và \((SCN)\).

Vì S và A là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SBM)\) và \((SCN)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA.

Ta viết \(SA = (SBM) ∩ (SCN)\).

Giải hoạt động 6 trang 74 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng \((ABC)\)

Suy ra đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \((ABC)\) hay mặt phẳng \((ABC)\) chứa đường thẳng d. Điểm A thuộc mặt phẳng \((ABC)\) hay mặt phẳng \((ABC)\) chứa điểm A.

Mặt phẳng \((ABC)\) chứa các điểm \(A, B, C\) nên mặt phẳng \((ABC)\) chứa hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\).

Giải Toán 11 trang 75

Giải luyện tập 4 trang 75 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi L là giao điểm của a và c, K là giao điểm của b và c.

Ta có:

L thuộc a => L thuộc \(mp(S, a)\).

L thuộc c=> L thuộc \(mp(S, c)\).

Hai điểm S và L cùng thuộc \(mp(S, a)\) và \(mp(S, c)\) => Giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.

Lại có:

K thuộc b => K thuộc \(mp(S, b)\).

K thuộc c => K thuộc \(mp(S, c)\).

Hai điểm S và K cùng thuộc \(mp(S, b)\) và \(mp(S, c)\) => Giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SK.

Giải vận dụng 2 trang 75 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Một chốt hít cửa nam châm có thể được xem như một điểm cố định, còn mép dưới của cánh cửa có thể hình dung là một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Khi điểm cố định và đường thẳng này được xác định, chúng cùng xác định một mặt phẳng. Nhờ chốt hít giữ cửa tại vị trí thích hợp, cánh cửa được duy trì ở trạng thái cố định.

Giải hoạt động 7 trang 75 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

Giải Toán 11 trang 76

Giải luyện tập 5 trang 76 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Hình chóp \(S.ABCD\) có

+ Bốn mặt bên là các tam giác \(SAB, SBC, SCD, SDA\).

+ Một mặt đáy là tứ giác \(ABCD\).

Giải hoạt động 8 trang 76 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp thứ ba tính từ trái sang (hình khối rubik) có ít mặt nhất.

Hình chóp này có 6 cạnh và 4 mặt.

Giải luyện tập 6 trang 76 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Điểm E nằm trong tam giác \(BCD\)

=> Đường thẳng DE cắt cạnh BC tại một điểm K.

Các điểm \(A, E\) thuộc mặt phẳng \((ADK)\)

=> Đường thẳng AE thuộc mặt phẳng \((ADK)\)

Suy ra điểm F thuộc mặt phẳng \((ADK)\).

Vậy các điểm \(A, D, E, F, K\) cùng thuộc mặt phẳng \((ADK)\).

Trong tam giác \(ADK\), đường thẳng \(DF\) cắt \(AK\) tại G. Vì G thuộc AK và \(A, K\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABC)\) nên G thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy G là giao điểm của đường thẳng \(DF\) và mặt phẳng \((ABC)\).

Giải Toán 11 trang 77

Bài 4.1 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P)

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P)

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P)

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P)

Lời giải

Mệnh đề đúng: b, c

Bài 4.2 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S

a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?

b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE)

Lời giải

a) Ta có các điểm D, E đều nằm trong mp(SAB) nên đường thẳng DE nằm trong mp (SAB)

b) F thuộc AB suy ra F nằm trong mp (SAB)

F thuộc DE suy ra F nằm trong mp(CDE)

Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE)

Bài 4.3 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B

Ta có A thuộc a mà a nằm trong mp(P) suy ra A cũng nằm trong mp(P)

B thuộc b mà b nằm trong mp(P) suy ra B cũng nằm trong mp(P)

Suy ra đường thẳng AB cũng nằm trong mp(P) tức c cũng nằm trong mp(P)

Bài 4.4 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD)

Lời giải

Ta có N thuộc đường thẳng AB , mà AB nằm trong mặt phẳng (ABM) nên N cũng nằm trong mp(ABM)

M và N đều nằm trong mặt phẳng (ABM) nên MN nằm trong mp(ABM) (1)

M thuộc SC suy ra M nằm trong mp(SCD), N thuộc đường thẳng CD nên N nằm trong mp(SCD)

Do đó, MN nằm trong mp(SCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là giao tuyến của hai mp(ABM) và (SCD)

Bài 4.5 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp(E,d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp(E,d) với các mặt của hình chóp

Lời giải

a) - giao điểm của mp(E,d) với cạnh SB

P thuộc AB suy ra P cũng thuộc mp(SAB)

Trên mp(SAB), gọi giao điểm của EP và SB là I

P thuộc đường thẳng d suy ra P cũng nằm trên mp(E,d)

E, P đều nằm trên mp(D,d) suy ra EP nằm trên mp(E,d) suy ra I cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy I là giao điểm của mp(E,d) và SB

- giao điểm của mp(E,d) với cạnh SD.

Q thuộc AD suy ra Q nằm trên mp(SAD)

Gọi giao điểm của EQ và SD là K

Q thuộc đường thẳng d suy ra Q cũng nằm trên mp(E,d)

E, Q đều nằm trên mp(E,d) suy ra EQ nằm trên mp(E,d) , suy ra K cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy K là giao điểm của mp(E,d) và SD

b) Ta có EI cùng thuộc mp(SAB) và mp(E,d) suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng

EK cùng thuộc mp(SAD) và mp(E,d) suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng

IM ∈ mp(SBC), IM ∈ mp(E,d) suy ra IM là giao điểm của hai mp(SBC) và mp(E,d)

KN ∈ mp(SCD), kn ∈ mp(E,d) suy ra Kn là giao điểm của mp(SCD) và mp(E,d)

Bài 4.6 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP)

Lời giải

a) Xét trên mp(BCD): NP cắt CD tại I

I thuộc NP suy ra I nằm trên mp(MNP)

Suy ra giao điểm của CD và mp(MNP) là I

b) Ta có I, M đều thuộc mp(ACD) suy ra IM nằm trên mp(ACD)

I, M đều thuộc mp(MNP) suy ra IM nằm trên mp(MNP)

Do đó, IM là giao tuyến của 2 mp(ACD) và mp(MNP)

Bài 4.7 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải

Việc bưng ít nhất 3 ngón tay sẽ tạo thành mặt phẳng cố định chứa mặt khay giúp cố định khay trong quá trình di chuyển

Bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Lời giải

Ta có: mặt phẳng chứa phần bàn và mặt phẳng chứa dao cắt, đường cắt chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên đường cắt luôn là đường thẳng

----------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 11