Toán 11 Kết nối tri thức bài 3

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do \(tan2x=\frac{sin2x}{cos2x}\)), tức là \(2x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\)

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là D = R \ {\(\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|k\in Z\)}

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin²x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f(– x) = cos (– x) + sin^{2} (– x) = cos x + (– sin x)^{2}\)

\(= cos x + sin^{2} x = f(x), ∀ x ∈ D\).

Vậy y = cos x + sin²x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) cos (– 2x) = – sin x cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.16 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y=2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\)

b) \(y=\sqrt{1+cosx}-2\)

Lời giải

a) Ta có: \(-1\leq sin(x-\frac{\pi }{4})\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -2\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})\leq 2\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -2-1\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\leq 2-1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -3\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y=2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\) là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, \(0\leq \sqrt{1+cosx}\leq \sqrt{2}\) với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra \(-2\leq \sqrt{1+cosx}-2\leq \sqrt{2}-2\) với mọi x ∈ ℝ.

Hay \(-2\leq y\leq \sqrt{2}-2\) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số \(y=\sqrt{1+cosx}-2\) là \([-2;\sqrt{2}-2]\)

Bài 1.17 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Từ đồ thị của hàm số y = tan x, hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0.

Lời giải

Ta có đồ thị của hàm số y = tan x như hình vẽ dưới đây.

Ta có tan x = 0 khi hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 ứng với các điểm x mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra y = 0 hay tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ ℤ.

Bài 1.18 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số h\((t) = 90cos(\frac{\pi }{10}t)\), trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Lời giải

a) Chu kì của sóng là \(T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=20\) (giây).

b) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.

Ta có: \(h(20)=90cos(\frac{\pi }{10}\times 20)=90\) (cm).

Vậy chiều cao của sóng là 90 cm.

-------------------------

• Toán 11 Kết nối tri thức bài 4