Toán 11 Kết nối tri thức bài 3

Toán 11 Kết nối tri thức bài 3: Hàm số lượng giác được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua đây bạn đọc có thể dễ dàng giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Giải Toán 10 trang 22

Giải mở đầu trang 22 SGK Toán 11 Tập 11 KNTT

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là \(T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\) (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là \(\frac{{60}}{6} = 10\) (chu kì).

Giải hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 11 Tập 11 KNTT

Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay các giá trị \(x = \frac{\pi }{6}\), \(x=0\) và \(x = - \frac{\pi }{2}\) vào sin x, cos x, tan x và cot x, ta hoàn thành được bảng như sau:

Giải Toán 10 trang 23

Giải luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Biểu thức \(\frac{1}{{\sin x}}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) là \(ℝ \setminus \{kπ | k ∈ ℤ\}\).

Giải hoạt động 2 trang 23 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức x²và x³ luôn có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) = x² là D_f = ℝ và tập xác định của hàm số g(x) = x³ là D_g = ℝ.

b) ∀ x ∈ D_f, ta luôn có f(– x) = (– x)²= x²= f(x).

Vậy f(– x) = f(x), ∀ x ∈ D_f.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x) = x² đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) ∀ x ∈ D_g, ta luôn có g(– x) = (– x)³= – x³= – g(x).

Vậy g(– x) = – g(x), ∀ x ∈ D_g.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số g(x) = x³ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Giải Toán 10 trang 24

Giải luyện tập 2 trang 24 Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Biểu thức \(\frac{1}{x}\) có nghĩa khi x ≠ 0.

Suy ra tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\) là \(D = ℝ \setminus \{0\}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(g\left( { - x} \right) = \frac{1}{{ - x}} = - \frac{1}{x} = - g\left( x \right);\forall x \in D\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Giải Toán 10 trang 25

Giải luyện tập 3 trang 25 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Biểu thức tan 2x có nghĩa khi  \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi\); k∈ℤ, \(\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\); k∈ℤ.

Suy ra hàm số y = tan 2x có tập xác định là D = ℝ\ \(\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\); {k∈ℤ} .

Với mọi số thực x, ta có:

\(x - \frac{\pi }{2} \in D;x + \frac{\pi }{2} \in D\)

\(\tan 2x + \frac{\pi }{2} = \tan 2x + \pi = \tan 2x\)

Vậy y = tan 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{2}\).

Giải hoạt động 4 trang 25 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số y = f(x) = sin x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) = – sin x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x là hàm số lẻ.

b) Ta có:

\(\sin 0 = 0,\;\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\)\(\sin \frac{\pi }{2} = 1;\sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\sin \pi = 0\)

Vì y = sin x là hàm số lẻ nên

\({\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},}\)\(\;\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\;;\)

\(\,\sin - \frac{{3\pi }}{4} = - \sin \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\)\({\rm{ }}\sin \left( {--\pi } \right) = --\sin {\rm{ }}\pi = 0.\)

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.14, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng \(- \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\frac{\pi }{2} + k2\pi\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi\), k∈ℤ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 10 trang 26

Giải luyện tập 4 trang 26 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: – 1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra 2 . (– 1) ≤ 2sin x ≤ 2 . 1 hay – 2 ≤ 2sin x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = 2sin x có tập giá trị là [– 2; 2].

Giải vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là \(T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\) (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là \(\frac{{60}}{6} = 10\) (chu kì).

b) Ta có: \(v = 0,85\sin \frac{{\pi t}}{3}\)

v > 0 khi \(0,85\sin \frac{{\pi t}}{3} > 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} > 0\)

Mặt khác \(-{\rm{ }}1{\rm{ }} \le {\rm{ }}\sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} \le {\rm{ }}1\) với mọi x ∈ ℝ.\(- 1 \le \sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} < 0\)

=> \(0 < \sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} \le {\rm{ }}1\).

v < 0 khi \(0,85\sin \frac{{\pi t}}{3} < 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0\)

Mặt khác \(-{\rm{ }}1{\rm{ }} \le {\rm{ }}\sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} \le {\rm{ }}1\) với mọi x ∈ ℝ.

=> \(- 1 \le \sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} < 0\)

• Với t ∈ (0; 3) ta có: \(0 < \sin \;\frac{{\pi t}}{{3\;}} \le {\rm{ }}1\)
• Với t ∈ (3; 5] ta có:

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

Giải hoạt động 5 trang 26 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b) Ta có:

\(\cos 0 = 1,\;\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\)\(\cos \frac{\pi }{2} = 0,\cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \pi = -1\)

Vì y = cos x là hàm số chẵn nên

\(\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\;\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\;\)

\([\cos \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \left( {-\pi } \right) = \cos \pi = -1\)

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng (−π+k2π; k2π) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π),k∈Z (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 10 trang 27

Giải luyện tập 5 trang 27 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có:

– 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

=> (– 3) . (– 1) ≥ – 3cos x ≥ (– 3) . 1 hay – 3 ≤ – 3cos x ≤ 3 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = – 3cos x có tập giá trị là [– 3; 3].

Giải vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Khi đó vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = 5cos(4πt + π) (cm) với biên độ dao động là A = 5 > 0 và pha ban đầu của dao động là φ = π.

b) Pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây) là \(ωt + φ = 4π . 2 + π = 9π\).

Dao động điều hòa có chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2}\)

(Nghĩa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần là 0,5 giây)

Do đó, trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được 2 : 0,5 = 4 dao động toàn phần.

Giải Toán 10 trang 29

Giải luyện tập 6 trang 29 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = tan x nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.16 ta suy ra trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì y < 0 khi \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).

Giải hoạt động 7 trang 29 SGK Toán 11 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cot (– x) = – cot x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cot x là hàm số lẻ.

b) Ta có:

\(\cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 ,\cot \frac{\pi }{4} = 1,\cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{\pi }{2} = 0\;,\)

\(\;\cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{3\pi }}{4} = - 1,\cot \frac{{5\pi }}{6} = - \sqrt 3\)

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số y = cot x có:

Tập giá trị là ℝ;

Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+kπ), k∈Z (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 10 trang 30

Bài 1.14 trang 30 SGK Toán 11 Tập 11 KNTT

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{1-cosx}{sinx}\)

b) \(y=\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}\)

Lời giải

a) Biểu thức \(\frac{1-cosx}{sinx}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\frac{1-cosx}{sinx}\) là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức \(\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}\) có nghĩa khi \(\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}≥ 0\) và \(2-cosx\neq 0\)

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và \(\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}≥ 0\) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}\) là D = ℝ.

Bài 1.15 trang 30 SGK Toán 11 Tập 11 KNTT

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin 2x + tan 2x;

b) y = cos x + sin²x;

c) y = sin x cos 2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải