a) cos\alpha = -\frac{12}{13}\(cos\alpha = -\frac{12}{13}\)

tan\alpha = -\frac{5}{12}\(tan\alpha = -\frac{5}{12}\)

cot\alpha = -\frac{12}{5}\(cot\alpha = -\frac{12}{5}\)

b) sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}\(sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}\)

tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\(tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\)

cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}}\(cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}}\)

c) sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\(sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos\alpha = \frac{1}{2}\(cos\alpha = \frac{1}{2}\)

cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\(cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

d) sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\(sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\(cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

tan\alpha = 2\(tan\alpha = 2\)

Bài 4 trang 19 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến \frac{\pi }{4}\(\frac{\pi }{4}\) hoặc từ 0^{o}\(0^{o}\) đến 45^{o}\(45^{o}\)và tính:

a) cos\frac{21\pi }{6}\(cos\frac{21\pi }{6}\)

b) sin\frac{129\pi }{4}\(sin\frac{129\pi }{4}\)

c) tan1020^{o}\(tan1020^{o}\)

Lời giải

a) cos\frac{21\pi }{6} = cos(2.2\pi -\frac{3\pi }{4})=cos(-\frac{3\pi }{4})=-cos(-\frac{3\pi }{4}+\pi ) = -cos(\frac{\pi }{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\(cos\frac{21\pi }{6} = cos(2.2\pi -\frac{3\pi }{4})=cos(-\frac{3\pi }{4})=-cos(-\frac{3\pi }{4}+\pi ) = -cos(\frac{\pi }{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

b) sin\frac{129\pi }{4} = sin(16.2\pi +\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\(sin\frac{129\pi }{4} = sin(16.2\pi +\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

c) tan1020^{o} = tan(3.360^{o}-60^{o})= tan(-60^{o}) = -tan(60^{o}) = -cot(90^{o}-60^{o}) = -cot(30^{o}) = -\sqrt{3}\(tan1020^{o} = tan(3.360^{o}-60^{o})= tan(-60^{o}) = -tan(60^{o}) = -cot(90^{o}-60^{o}) = -cot(30^{o}) = -\sqrt{3}\)

Bài 5 trang 19 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha\(sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha\)

b) tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }\(tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }\)

Lời giải

a) sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).\left ( sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha \right )\(sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).\left ( sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha \right )\)

= \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).1= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha - 2.cos^{2}\alpha = 1- 2.cos^{2}\alpha\(= \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).1= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha - 2.cos^{2}\alpha = 1- 2.cos^{2}\alpha\)

b)

tan\alpha + cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } + \frac{cos\alpha }{sin\alpha } = \frac{sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin\alpha .cos\alpha } = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }\(tan\alpha + cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } + \frac{cos\alpha }{sin\alpha } = \frac{sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin\alpha .cos\alpha } = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }\)

Bài 6 trang 19 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}\(\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}\)

b) cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )\(cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )\)

c) sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )\(sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )\)

Lời giải

a) \frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}\(\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}\)

= \frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha}+1} + \frac{1}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha}+1}\(= \frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha}+1} + \frac{1}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha}+1}\)

= \frac{1}{\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }} + \frac{1}{\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha }}\(= \frac{1}{\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }} + \frac{1}{\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha }}\)

= \frac{cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }+\frac{sin\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }\(= \frac{cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }+\frac{sin\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }\)

= \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }\(= \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }\)

= 1

b) cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )\(cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )\)

= sin\alpha - (-sin\alpha )\(= sin\alpha - (-sin\alpha )\)

= 2sin\alpha\(= 2sin\alpha\)

c) sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )\(sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )\)

= cos\alpha + cos(-\alpha ) - tan\alpha .cot(\pi -\alpha )\(= cos\alpha + cos(-\alpha ) - tan\alpha .cot(\pi -\alpha )\)

= cos\alpha + cos\alpha - tan\alpha.(-cot\alpha )\(= cos\alpha + cos\alpha - tan\alpha.(-cot\alpha )\)

= 2cos\alpha + 1\(= 2cos\alpha + 1\)

Bài 7 trang 20 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng đứng và in bóng vuông góc xuông mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được 3 \frac{1}{10}\(\frac{1}{10}\) vòng là bao nhiêu. Biết độ dài thanh OM là 15cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 2

Lời giải

Sau khi thah OM quay được 3 vòng, vị trí của thanh là OA. Quay tiếp \frac{1}{10}\(\frac{1}{10}\), thanh sẽ tạo với OA 1 góc α = 2π/10 = π/5.

Độ dài của bóng O'M' = OM.cosα = 15.cosπ/5 = 12,1 (cm).

Bài 8 trang 20 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau 1 phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 2

Lời giải

Sau một phút di chuyển, van V quay được một góc là 11.60 = 660 (rad)

Khoảng cách từ van đến mặt đất là: 58 + 58.sin660 ≈ 57,7 (cm)

------------------------------