Toán 11 Chân trời sáng tạo bài tập cuối chương 3

Giới hạn. Hàm số liên tục

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài tập cuối chương 3: Giới hạn Hàm số liên tục

Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 8 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 9 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 10 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 11 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 12 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời
Bài 13 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Toán 11 Chân trời sáng tạo bài tập cuối chương 3: Giới hạn Hàm số liên tục được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo nhé. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để có thêm tài liệu giải bài tập Toán 11 Chân trời sánh tạo nhé.

Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời

$lim\frac{n+3}{n^{2}}$ $lim\frac{n+3}{n^{2}}$ bằng

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Bài làm

$lim\frac{n+3}{n^{2}} = lim\left (\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}} \right ) =lim\frac{1}{n}+lim\frac{3}{n^{2}}=0+0=0$ $lim\frac{n+3}{n^{2}} = lim\left (\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}} \right ) =lim\frac{1}{n}+lim\frac{3}{n^{2}}=0+0=0$

Đáp án: B

Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$M= 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+...+\frac{1}{4^{n}}+$ $M= 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+...+\frac{1}{4^{n}}+$... bằng

A. $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$

B. $\frac{5}{4}$ $\frac{5}{4}$

C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$

D. $\frac{6}{5}$ $\frac{6}{5}$

Bài làm

$M = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ $M = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$

Đáp án: C

Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}$ $\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}$ bằng

A: 0

B. 6

C. 3

D. 1

Bài làm

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6$ $\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6$

Đáp án: B

Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời

Hàm số:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+2x+m; x\geq 2\\3; x<2\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2}+2x+m; x\geq 2\\3; x<2\end{matrix}\right.$ liên tục tại x = 2 khi

A. m = 3

B. m = 5

C. m = -3

D. m = -5

Bài làm

$\lim_{x \to 2^{+}}f(x)= \lim_{x \to 2^{+}}(x^{2}+2x+m)= 2^{2}+2.2+m=m+8$ $\lim_{x \to 2^{+}}f(x)= \lim_{x \to 2^{+}}(x^{2}+2x+m)= 2^{2}+2.2+m=m+8$

$\lim_{x \to 2^{-}}f(x)=\lim_{x \to 2^{-}}3= 3$ $\lim_{x \to 2^{-}}f(x)=\lim_{x \to 2^{-}}3= 3$

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì m + 8 = 3 Hay m = -5

Đáp án: D

Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 Chân trời

$\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x}$ $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x}$ bằng:

A. 2

B. -1

C. 0

D. 1

Bài làm

$\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left ( 2-\frac{1}{x} \right ) = 2-\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=2-0=2$ $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left ( 2-\frac{1}{x} \right ) = 2-\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=2-0=2$

Đáp án: A

Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{3n-1}{n}$ $lim\frac{3n-1}{n}$

b) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n}$ $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n}$

c) $lim\frac{2}{3n+1}$ $lim\frac{2}{3n+1}$

d) $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}}$ $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}}$

Bài làm

a) $lim\frac{3n-1}{n} = lim\left ( 3-\frac{1}{n} \right ) = 3-lim\frac{1}{n}=3-0=3$ $lim\frac{3n-1}{n} = lim\left ( 3-\frac{1}{n} \right ) = 3-lim\frac{1}{n}=3-0=3$

b) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n} = lim\sqrt{\frac{n^{2}+2}{n^{2}}}=lim\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+lim\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+0}=1$ $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n} = lim\sqrt{\frac{n^{2}+2}{n^{2}}}=lim\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+lim\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+0}=1$

c) $lim\frac{2}{3n+1} = lim\frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}= \frac{lim\frac{2}{n}}{3+lim\frac{1}{n}}=\frac{0}{3+0}=0$ $lim\frac{2}{3n+1} = lim\frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}= \frac{lim\frac{2}{n}}{3+lim\frac{1}{n}}=\frac{0}{3+0}=0$

d) $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}} = lim\frac{2n^{2}+4n+2}{n^{2}}=lim\left ( 2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}} \right )$ $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}} = lim\frac{2n^{2}+4n+2}{n^{2}}=lim\left ( 2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}} \right )$

$= 2+lim\frac{4}{n}+lim\frac{2}{n^{2}}=2+0+0=2$ $= 2+lim\frac{4}{n}+lim\frac{2}{n^{2}}=2+0+0=2$

Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác $H_{1}$ $H_{1}$ . Nối các trung điểm của $H_{1}$ $H_{1}$ để tạo thành tam giác $H_{2}$ $H_{2}$. Tiếp theo, nối các trung điểm của $H_{2}$ $H_{2}$ để tạp thành tam giác $H_{3}$ $H_{3}$ (Hình 1). Cứ như thế tiếp tục, nhận dược dãy tam giác $H_{1}$ $H_{1}$, $H_{2}$ $H_{2}$, $H_{3}$ $H_{3}$,...

Tính tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Bài làm

Cạnh của các tam giác $H_{1}, H_{2}, H_{3},$ $H_{1}, H_{2}, H_{3},$... lần lượt là: $a; \frac{1}{2}a, \frac{1}{2^{2}}a;$ $a; \frac{1}{2}a, \frac{1}{2^{2}}a;$....

Tổng chu vi của các tam giác là:

$C = 3.a+3.\frac{1}{2}a+3.\frac{1}{2^{2}}a+....=3a.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+... \right )=3a.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}= 6a$ $C = 3.a+3.\frac{1}{2}a+3.\frac{1}{2^{2}}a+....=3a.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+... \right )=3a.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}= 6a$

Diện tích tam giác $H_{1}$ $H_{1}$ là $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

Diện tích tam giác $H_{2}$ $H_{2}$ bằng $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_{1}$ $H_{1}$ ; Diện tích tam giác $H_{3}$ $H_{3}$ bằng $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_{3}$ $H_{3}$;....

Tổng diện tích các tam giác là:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+.... \right )= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{3}a^{2}$ $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+.... \right )= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{3}a^{2}$

Bài 8 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)$ $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)$

b) $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}$ $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}$

c) $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$ $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$

Bài làm

a) $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)=3.(-1)^{2}-(-1)+2=6$ $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)=3.(-1)^{2}-(-1)+2=6$

b) $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\lim_{x \to 4}(x+4)=4+4=8$ $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\lim_{x \to 4}(x+4)=4+4=8$

c) $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2} = \lim_{x \to 2}\frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}$ $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2} = \lim_{x \to 2}\frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}$

$= \lim_{x \to 2}\frac{9-x-7}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})} = \lim_{x \to 2}\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}} = \frac{-1}{3+\sqrt{2+7}} = \frac{-1}{6}$ $= \lim_{x \to 2}\frac{9-x-7}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})} = \lim_{x \to 2}\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}} = \frac{-1}{3+\sqrt{2+7}} = \frac{-1}{6}$

Bài 9 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}$ $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}$

b) $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}$ $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}$

Bài làm

a) $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-1+0}{1+0}=-1$ $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-1+0}{1+0}=-1$

b) $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}=\lim_{x \to -\infty}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}-\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0-0=0$ $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}=\lim_{x \to -\infty}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}-\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0-0=0$

Bài 10 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4}$ $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4}$

b) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x}$ $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x}$

Bài làm

a) $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4} = +\infty$ $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4} = +\infty$

b) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x} = -\infty$ $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x} = -\infty$

Bài 11 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Xét tính liên tục của hàm số

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+4}; x\geq 0\\2cosx; x<0\end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+4}; x\geq 0\\2cosx; x<0\end{matrix}\right.$

Bài làm

Khi $x \geq 0 : f(x)=\sqrt{x+4}$ $x \geq 0 : f(x)=\sqrt{x+4}$ là hàm căn thức có tập xác định là $(-4;+\infty)$ $(-4;+\infty)$ nên f(x) liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$ $(0;+\infty)$

Khi x < 0: f(x) = 2 cosx là hàm lượng giác nên f(x) liên tục trên khoảng $(-\infty;0)$ $(-\infty;0)$

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x) = \lim_{x \to 0^{-}}2cosx= 2cos0=2$ $\lim_{x \to 0^{-}}f(x) = \lim_{x \to 0^{-}}2cosx= 2cos0=2$

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2$ $\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2$

Suy ra: $\lim_{x \to 0}f(x) = 2= f(0)$ $\lim_{x \to 0}f(x) = 2= f(0)$ Hay f(x) liên tục tại x = 0

Vậy hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Bài 12 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Cho hàm số:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5}; x \neq 5\\a; x = 5\end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5}; x \neq 5\\a; x = 5\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Bài làm

Khi $x \neq 5 : f(x)=\frac{x^{2}-25}{x-5}$ $x \neq 5 : f(x)=\frac{x^{2}-25}{x-5}$ là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;5) \cup (5;+\infty)$ $(-\infty;5) \cup (5;+\infty)$

Để f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ thì f(x) liên tục tại x = 5. Hay $\lim_{x \to 5}f(x) = f(5)$ $\lim_{x \to 5}f(x) = f(5)$

$\lim_{x \to 5}f(x)= \lim_{x \to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\lim_{x \to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\lim_{x \to 5}(x+5)=5+5=10$ $\lim_{x \to 5}f(x)= \lim_{x \to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\lim_{x \to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\lim_{x \to 5}(x+5)=5+5=10$

f(5) = a

Suy ra: a = 10

Bài 13 trang 86 SGK Toán 11 Chân trời

Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiên tăng từ $10^{o}C$ $10^{o}C$ , mỗi phút tăng $2^{o}C$ $2^{o}C$ trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút $3^{o}C$ $3^{o}C$ trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo $^{o}C$ $^{o}C$ trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng

$T(t)=\left\{\begin{matrix}10+2t; 0 \leq t\leq 60 \\ k-3t; 60 < t \leq100\end{matrix}\right.$ $T(t)=\left\{\begin{matrix}10+2t; 0 \leq t\leq 60 \\ k-3t; 60 < t \leq100\end{matrix}\right.$

(k là hằng số)

Biết rằng T(t) liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k

Bài làm

T(t) liên tục trên tập xác định nên T(t) liên tục tại t = 60. Hay $\lim_{t \to 60}T(t)=T(60)$ $\lim_{t \to 60}T(t)=T(60)$

$\lim_{t \to 60^{-}}T(t)=\lim_{t \to 60^{-}}(10+2t)=130$ $\lim_{t \to 60^{-}}T(t)=\lim_{t \to 60^{-}}(10+2t)=130$

$\lim_{t \to 60^{+}}T(t)=\lim_{t \to 60^{+}}(k-3t)=k-180$ $\lim_{t \to 60^{+}}T(t)=\lim_{t \to 60^{+}}(k-3t)=k-180$

T(60) = 10 + 2.60 = 130

Suy ra: k - 180 = 130.

Do đó, t = 310

------------------------------------

Bài tiếp theo: Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 1 trang 88

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Toán 11 Chân trời sáng tạo bài tập cuối chương 3: Giới hạn Hàm số liên tục. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 11 Chân trời sáng tạo. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Ngữ văn 11 Chân trời sáng tạo, Vật lí 11 Chân trời sáng tạo.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

134

Bài trước

Bài sau